重庆市第八中学2021-2022学年高二下学期第一次月考试题 数学

重庆八中高2023 级高二（下）第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．数列 为等比数列， ， ，则 A． B． C． D． 2．二项式 的展开式中，含 项的系数为 A． B． C．10 D．15 3．用1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字的六位数，要求1 与2 相邻，3 与4 相邻，5 与6 不相 邻，这样的六位数有 A．24 个 B．48 个 C．96 个 D．36 个 4．19 世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展， 提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上， 称为蒙日圆，椭圆 的蒙日圆方程为 ．若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为 A． B． C． D． 5．对于数列 ，如果 为等差数列，则称原数列 为二阶等差数列，一般地，如 果 为 阶等差数列，就称原数列 为 阶等差数列．现有一个三阶等差数列， 其前7 项分别为1，5，11，21，37，61， ，则该数列的第7 项为 A．101 B．99 C．95 D．91 6．将12 个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少1 个，乙至少2 个，丙至少3 个，则 不同的分法共有 A．24 种 B．26 种 C．28 种 D．30 种 7．现有语文、数学、外语、物理、化学、生物各一本，均分给3 个人，其中数学和物理不分给 同一个人，则不同的分配方法有 A．36 B．54 C．72 D．84 8．已知 ， 分别是 轴和圆 上的动点，点 ，则 的 最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．有一组样本数据 ， ， ， ，另一组样本数据 ， ， ， ，其中 ， 2， ， ， 为非零常数，则 A．两组样本数据平均数相同 B．两组样本数据标准差相同 C．两组样本数据方差相同 D．两组样本数据极差相同 10．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部手机，用 ， ， 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他 品 牌， 表示可买到的优质品，则 A． B． C． D． 11．已知曲线 的方程为 且 ，则下列结论正确的是 A．当 时，曲线 是焦距为4 的双曲线 B．当 时，曲线 是离心率为 的椭圆 C．曲线 可能是一个圆 D．当 时，曲线 是渐近线方程为 的双曲线 12．已知 是等差数列 的前 项和，且 ，则下列命题正确的是 A． B．该数列的公差 C． D． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．设 ， ， 为三个随机事件，若 与 互斥， 与 对立，且 ， ，则 _________． 14．数列 前四项满足 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数 列，若 ，则 ___________． 15．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线 反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过 抛物线的焦点．如图所示，从 沿直线 发出的光线经抛物线 两次反射后，回到光源接收器 ，则该光线经过的路程为____________． 16．如图，给7 条线段的5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能 同色，现有4 种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有________ 种． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 某校为了解学生平均每天体育锻炼时间，在全体学生中随机抽取 了100 名学生进行调查，并将数据（单位：分钟）分成五组： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，得 到如图所示的频率分布直方图．将平均每天体育锻炼时间不少于 60 分钟的学生评价为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60 分钟的学生评价为锻炼不达标． （1）求 的值，并估计该校学生平均每天体育锻炼时间的中位数； （2）在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的学生，按比例分层抽样的方法抽取6 名同学 了解不达标的原因，再从这6 名同学中随机抽取2 名进行调研，求这2 名同学中至少有一名每天 体育锻炼时间（单位：分钟）在 ， 内的概率． 18．（本小题满分12 分） 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长． 19．（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥 中， ， ， 是等边三角形，平面 平面 ， 是 的中点， ． （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值． 20．（本小题满分12 分） 某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有 ， 两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中 选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正 确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束． 类问题回答正 确得30 分，否则得0 分； 类问题回答正确得10 分，否则得0 分．已知小明同学能正确回答 类中的每一个问题的概率均为0.5，能正确回答 类中的每一个问题的概率均为0.8，且能正确回 答问题的概率与回答次序无关． （1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列和数学期望 ； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 21．（本小题满分12 分） 已知数列 满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2 ）设数列 的前 项和为 ，令 ，求证： ． 22．（本小题满分12 分） 已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，离心率 ， 为椭圆 上任意一 点，且满足 的最小值为1． （1）求椭圆 的标准方程； （2）经过右焦点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，若△ 的三边长 ， ， 成等差数列，求△ 的面积． 重庆八中高2023 级高二（下）第一次月考 数学试题 参 考 答 案 一、选择题 1．解：设等比数列 的公比为 ，则可得 ，解得 ， 故选： ． 2．解：展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ， 则 的系数为 ，故选： ． 3．解：由题意知1 与2，3 与4 分别相邻的数有 个，1 与2，3 与4，5 与6 分别相邻 的数有 个， 与2，3 与4 分别相邻但5 与6 不相邻的数有 个． 故选： ． 4．解：椭圆 的蒙日圆的方程为： ，因为圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，可得两圆外切，所以 ，解得 ，故选： ． 5．解：根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列， 得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，故选： ． ６．解：先将12 个球按甲0 个，乙1 个，丙2 个进行分派；剩余的9 个相同的球，分成3 组，每 组至少1 个球，9 个相同的球形成8 个空位（不算首尾的两个空位）中，插入两个隔板，有即有 种分法故选： ． ７．解：根据题意，用排除法分析：先计算将6 本书平均分给三人的情况数目，分2 步分析： ①，将6 本书分成3 组，有 种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三人，有 种情况，则将6 本书平均分给三人，有 种分配方法； 再计算其中数学和物理分给同一个人的情况，分2 步分析： ①，将除数学和物理之外的4 本书，分成2 组，有 种分组方法， ②，将数学和物理作为1 组，和其他2 组一起全排列，对应三人，有 种情况，则数学和物 理分给同一个人的分配方法有 种分派方法，则数学和物理不分给同一个人的分配方 法有 种；故选： ． 8 ．解：由 ，得 ，故圆 的圆心坐标为 ，半径为2．如图，作点 关于 轴对称的点 ，当 ， ， ， 四点共线时， 取得最小值，且最小值为 ．故选： ． 9．解：设样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，则样本数据 ， ， ， ，其中 ，2， ， 的平均数为 ，故 错误，设样本数据 ， ， ， 的方差 为 ，则样本数据 ， ， ， ，其中 ，2 ， ， 的方差为 ，故 正确，一组样本数据 ， ， ， ，另一组样本数据 ， ， ， ，其中 ，2， ， ， 为非零常数，则样本数据 ， ， ， 中最小 值与最大值变化的量相同，故两组样本数据极差相同．故选： ． 10．解：由题中表格可得， ， ， ，故 正确， ， ， ，故 正确， ，故 错误， 故 正确．故选： ． 11．解：当 时，曲线 ， ， ， ， ， 曲线 是焦距为4 的双曲线，故 正确；当 时，曲线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ，故 错误；由 无解，故曲线 不可能是圆，故 错误；当 时，曲线 的方程为 ， ， ， ， ， 曲线 是渐近线方程为 ，故 正确．故选： ． 12．解：由 可得 ， 可得 ， 可得 ， 等差数列 的公差 ，故 正确； 等差数列 中前6 项为正，第7 项为0，从第8 项 起为负，故 正确； ，故 错误； ，故 正确．故选： ． 二、填空题 13．解： 随机事件 ， ， 中， 与 互斥， 与 对立，且 ， ， ， ．故答案为： ． 14．解：因为数列 前四项满足 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，故可设数列 前四项为 ， ， ， ，因为 ，所以 ，可得 ，则 ．故答案为：2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 15．解：如图，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ． 由抛物线的性质可得， ， ， 该光线经过的路程为 ．故答案为：12． 16．解：第一类：若 ， 相同，先涂 有4 种涂法，再涂 ， 有3 种涂法，再涂 有2 种涂 法， 只有1 种涂法，共有 种，第二类，若 ， 不同，先涂 有4 种涂法，再涂 有3 种涂法，再涂 有2 种涂法，当 和 相同时， 有2 种涂法，当 和 不同时， ， 只有1 种涂法，共有 种，根据分类计数原理可得，共有 种． 三、解答题 17．解：（1）由已知得 ， ．设样本中位数为 ， 则 ， ，估计该校学生每天体育锻炼时间的中位数为64． （2）根据题意可得，抽取的6 名同学中，时间在 ， 内的有3 名，记为 ， ， ，时间不 在 ， 内的有3 名，记为 ， ， ，从6 名同学中随机取2 人的基本事件为： ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ； ， ； ．共15 个，记事件 为2 名 同学中至少有一名每天体育锻炼时间在 ， 内，则 包含的基本事件个数有12 个， 这2 名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在 ， 内的概率 ． 18 ．解：（1 ）因为 ，由正弦定理得， ，整理得， ，由余弦定理得， ，由 为三角形内角得， ；（2）因为 ，所以 ，因为 ， 所 以 ， 所 以 ，所以 ，所以 的周长 ． 19．解：（1）证明：因为 是等边三角形，且 是 的中点，所以 ，又因为平 面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ．（2）取 的中点 ，连接 ， 、 分别为 、 的中点，则 ， ，则 ，又 平面 ，以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为 且 是 等 边 三 角 形 ， 可 得 ， 所 以 ， 则 ，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，可得 ， ，即 ， 设平面 的法向量 ，则 ，令 ，可得 ，即 ，所以 ，由图可知，二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ． 20．解：（1）得分情况有三种可能性，第一个问题错误， 分， ， 第一个问题正确，第二个错误， 分， ，两个问题都正确， 分， ， 的分布列为： 0 30 40 0.5 0.1 0.4 ． （2）由（1）知，若小明先回答 问题，则 ， 若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的可能取值为0，10，40， ， ， ， ， ， 小明应选择先回答 类问题． 21．解：（1）由题可知，当 时， ， 当 时， 也符合上式， ． （2）证明：由（1）知 ， ， 所以 ， ， 设 为数列 的前 项和，则 ． 22．解：（1）设点 ， ， ， ，则 ，即 ， ， 当 时， 取 得最小值为1， ， ，解得 ， 椭圆 的标准方程为 ． （2）由题意可知 ， ，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，将 ，代入 ，得 ，得 ，不符合题意，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，由 ，得 ，设 ， ， ， ，则 ， ， ，整理得 得 ， ，点 到直线 的距离为 ， △ 的面积为 ．