重庆市第八中学2021-2022学年高一下学期第一次月考试题 数学(0001)

重庆八中高2024 级高一（下）第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.在 中， ， ， ，则 的面积为（） A. B. C. D.1 2.已知O 是 所在平面内一点，D 为 边中点，且 ，那么（） A. B. C. D. 3.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则 （） A.0 B.1 C.−2D.−1 4.设 ， 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分不必要条件是（） A. B. C. D. 且 5.若 ，则 （） A. B. C. D. 6.平面上有 ， ， 三点，点C 在直线 上，且 ，连接 并延长 至E，使 ，则点E 的坐标为（） A. B. C. D. 7. 的角A，B，C 所对的边为a，b，c，设 ，则 （） A. B. C. D. 8.已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.下列关于向量 ， ， 的说法错误的是（） A.若 且 ，则 B. 的充要条件是存在不全为零的实数 ， 使得 C.若 ，则 D. ，则 10.设函数 ，则下列选项正确的有（） A. 的最小正周期是 B. 为 的一个对称轴 C. 的最小值是−2 D. 在 上单调递减，那么 的最大值是 11.在 中，角A，B，C 所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有（） A.若 ，则 B.若 ，则 C. D.若 ，则 是等腰三角形 12.已知平面向量 ， ， .若 ， ， ， ， 则下列结论正确的有（） A.若 起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线 B.满足条件的 的模的最大值为 C. 最大值为 D. 最小值为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知向量 ， 不共线，若 与 共线，则实数 ________. 14.若 ，则 ________. 15. 已知 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且满足 ， ， ，则 ________. 16.已知 ，若对任意实数 ，点P 都满足 ，则 的最小值为__ ______. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 如图，在长方形 中，E 为边 的中点，F 为边 上一点，且 .设 ， . （1）试用基底 表示 ， ； （2）若 ，求证：E，G，F 三点共线. 18.（12 分） O 是平面直角坐标系的原点， ， ，记 ， . （1）求 在 上的投影向量坐标； （2）若四边形 为平行四边形，求点C 的坐标； （3）若向量 ，满足条件： 与 互补，求 . 19.（12 分） 已知 的角A，B，C 对边分别为a，b，c，A 为锐角， . （1）求 ； （2）若 ，求 的最大值. 20.（12 分） 在 中，a，b，c 分别是角A，B，C 所对的边，若 ， . （1）求 ； （2）若 ，D 为 上靠近A 的一个三等分点，求 . 21.（12 分） 已知 中，过重心G 的直线 交线段 于P，交线段 于Q，连结 并延长交 于点D，设 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ， ， . （1）用 ， 表示 并求证： . （2）求 的取值范围. 22.（12 分） 已知函数 ，且函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称. （1）求函数 的解析式； （2）若存在 ，使等式 成立，求实数m 的最大值和最小值； （3）若当 时，不等式 恒成立，求实数a 的取值范围. 重庆八中高2024 级高一（下）第一次月考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A A C C B ACD AD AC BD 三、填空题： 13. 14. 15. 16.−16 【解析】 8.由题可得 ，且 ， ，即 终点与 和 终点共线，当且仅当 时， 最小，为 . 11. 对于A ：对于 ，所以 ，利用正弦定理： ，整理得 ，故A 正确； 对于B：由于 ，则 ，即A 为锐角，故B 错误； 对于C：由于 ，利用等比性质 ，故C 正确； 对于D ：由于 ，利用正弦定理得 ，整理得 ，所以 ，故 或 ，所以 或 ，故 为等腰三角形或直角三角形，故D 错误； 12.如图：设 ， ， ， ， ，由 ， 可得 ，∴ 的终点P 在以 为直径的圆上，故A 错；由题知 为等边三角形， 故 ，此时圆的半径为 ，圆心坐标 ，则 的最大值为： ，故B 正确；设 中点为D， ，当A，D， P 三点共线时， ，故C 错；当 与圆相切时 取到最小值，此时 . 16.以A，B 的中点为原点， 所在直线为x 轴，过O 且垂直于 的直线为轴建立平面直角坐 标系，如图所示，设 ，H 为 上一点， ，故 ，所以，P 到直线 的距离为3，则P 点在直线 上，可得： ， ， ，则 ，当且仅当 时， 取最小值−16. 17.（1）由题， ， . （2） ，则 ，∴E，G，F 三点共线. 18.（1） 在 上的投影向量为 ； （2 ）设点 ， 为平行四边形，则有 ， ， ， 解得 ， ，故 . （3） ，因为 与 互补，故 ，即 ，推得 或 （舍），故 . 19.（1）由题及正弦定理可得， . （ 2 ） 由 余 弦 定 理 ， ， 由 ， ，当且仅当 时 取等，故 得最大值为4. 20.（1）解：∵ ， ，由余弦定理， ，故 ，由正弦定理， 其中 ，故 . （2）由题 ，故 ，即 ，则 ，由D 为靠近A 的三等分 点 可 知 ， ， 故 21.（1）证明： ； ∵ ， ，∵P ，G ，Q 三点共线，则存在 ，使得 ，即 ，即 ， ∴ ，整理得 ，证毕. （法二：∵ ，又因为 P，G，Q 三点共线，故 ，则 ） （2）解：由（1） ， ， ∴ ， ∵ ， ，∴ ∴ ，则当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 ，∵ ，则 的取值范围为 . 22.解：（1）函数 ， 化 简 可 得 . 函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称. 即 ∴ . （2） ， ∴ ∴ .令 ，则 .那么： ， 可得： 成立.即 ，当 时取等号， ∴m 的最小值为 .当 或2 时，可得 ，即m 的最大值为3.故得实数m 的最大值为 3，最小值为 . （3）不等式 恒成立，即 恒成立 当 时，∴ ， . 若 时，显然 恒成立.若 时，当 时， 取得最小值. 即 成立.可得： ，解得： . 若 时，当 时， 取得最小值. 即 成立.得： ，∴ . 综上可得：a 的范围是 .