湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题

2021 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考 数 学 试 题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 角 的终边经过点 且 ，则 的值为 A． B． C． D． 2. 如图，在空间四边形 各边 上分别取点 ，若直线 、 相交于点 ，则 A．点 必在直线 上 B．点 必在直线 上 C．点 必在平面 内 D．点 必在平面 内 3. 下列命题中，正确的是 A.垂直于同一个平面的两个平面平行 B. 三个平面两两相交，则交线平行 C.一个平面与两个平行平面相交，则交线平行 D. 平行于同一条直线的两个平面平行 4. 已知 则“ ”是“ ”的 条件. A. 充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 5. 设集合 ，则下列说法一定正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 有4 个元素 D．若 ，则 6. 著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其 中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭 圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道 与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C 的离心率为 A． B． C． D． 7. 为庆祝中国共产党成立100 周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5 位 同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7 分，则称该组为“优秀小组”（满分为10 分且 得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是 甲：中位数为8，众数为7 乙：中位数为8，平均数为8.4 丙：平均数为8，方差小于2 A. 甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 8. 在棱长为2 的正方体 中， 为 的中点，点 在正方体各棱及表面上运 动且满足 , 则点 轨迹的面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元 次复系数多项 式 在复数集中有 个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若 的一个根， 则 = A．0 B．1 C．2 D．3 10. 在 中， ， ， ，则 A． B． C． 外接圆直径是 D． 内切圆半径是 11. 正方体 中， 分别为 的中点，则下列结论正确的是 A. B．平面 平面 C． D．向量 与向量 的夹角是60° 12. 已知椭圆 的左右焦点分别为 是圆 上且不在 轴上的一点， 的面积为 ，设 的离心率为 , ,则 A. B. C. D. 三．填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 第2 题图 第11 题图 13．长轴长为4 且一个焦点为 的椭圆的标准方程是 . 14. 某圆柱的侧面展开图是面积为 的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 ． 15. 在三棱锥 ABC P  中， PAB  是正三角形，平面 ， 平面ABC PAB  1  BC BA 且 ， BC AB  ，则三棱锥 ABC P  的外接球的表面积为 . 16.若 为 的重心， ，则 的最小值为 . 四．解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（10 分）已知直线 （1） 求证：直线过定点，并求出该定点. （2） 若直线与圆 相切，求直线的方程. 18.(12 分)已知 是 三个内角的对边，且 （1）求 . （2）若 ，求 周长的最大值. 19．(12 分)已知四棱柱 的底面是边长为2 的菱形，且 = （1）证明：平面 ； （2）求直线 与平面 所成的角 的正弦值. 20．(12 分) 已知 ，动点 满足： （1）求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线； （2）设动点 的轨迹为 ，对 上任意一点 ，在 轴上是否存在一个与 ( 为坐标原 点)不重合的定点 ，使得 为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理 由. 21．(12 分) 如图，周长为3cm 圆形导轨上有三个等分点 , 在点 出发处放一颗珠子， 珠子只 能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3 的倍数时，珠子滚动2cm 后停 止，每当掷出不是3 的倍数时，珠子滚动1cm 后停止. (1) 求珠子恰好滚动一周后回到 点的概率. (2) 求珠子恰好滚动两周后回到 点（中途不在 点停留）的概率. 22．（12 分）已知椭圆 ： 的离心率为3 3 ，椭圆 的短轴长等于4． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设 , ,过 且斜率为 的动直线与椭圆 交于 ， 两点，直线 ， 分别交 ： 于异于点 的点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 ， 的斜率分别为 4 3 k k ， ． ①求证： 为定值； ②求证：直线 过定点. O Q P A M N B y x D C B A D1 C1 B1 A 1 C · A B C    2021 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考数 学 参考答案 一．选择题： 三．填空题： 四． 解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.解：(1)由 得 ………1 分 令 得 ………………………………………………………………3 分 故不管 取任何实数，直线恒过定点（1，1） ………………………………………4 分 （2） 由 得 平方得： 即 ………………………………6 分 所以 …………………………………………………………………8 分 故所求直线的方程为： ………………………………………10 分 （用点斜式方程并讨论斜率同样给分.） 18 解：（1）由 得 …………2 分 故 ，……………………………………………………4 分 又 ，故 ………………………………………………………6 分 （2）由 及 ……………8 分 故 当且仅当 时等号成立 ………10 分 故周长 ，即 周长的最大值为 ……………12 分 19.解：（1）证明：设 与 的交点为 ，连接 ， 因为 ， ， ，所以 ， 所以 ，……………………………………………………………………………2 分 又因为 是 的中点，所以 …………………………………………………3 分 在 中，在 故 在 中， 故 故 ,故 又 ，所以 …………………5 分 而 ，故平面 …………………………………6 分 （2）（法一）连接 ，由（1）易知： 平面 ， 所以 为直线 与平面 所成的角 ， ………………………………8 分 在 中， ，故 …………………10 分 ，所以 . ………………………………………12 分 （法二）由（1）知： 两两垂直，分别以 为x,y,z 轴建立 空间直角坐标系，依题意，得 ， ， ， ， ， , …………………………………………9 分 平面 的法向量为 ……………………………………………………10 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C C D B A A AD AC D AB C AC D 所以 即直线 与平面 所成的角 的正弦值为19 19 . … ……………………………12 分 20 解： (1)设 由 有 …………………1 分 化简可得轨迹 的方程为： ………………………………3 分 表示圆心为 ，半径为 的圆 ………………………………………………5 分 （2）设 则 ，设 , ………………………7 分 要使 为定值，则 ……9 分 ………………………………………11 分 故存在定点 使得 …………………………………………………12 分 21.解：（1）设掷出3 的倍数为事件 , 掷出不是3 的倍数记为事件 , 则 ……………………………………………………………1 分 珠子恰好转一周回到A 点包含的事件为（M,N）,(N,M),(N,N,N)且这三种情况互斥 …3 分 故所求概率为 ………………………………………5 分 (2) 珠子滚两周回到A 点，则必须经历以下三个步骤：①②③ ①A 至C:此时概率为 ……………………………………………………7 分 ②C 至B:掷出的必须是3 的倍数，此时的概率为 …………………………………9 分 ③B 至A:概率与①相同 …………………………………………………………………11 分 又以上三个步骤相互独立，故所求概率为 ………………………12 分 22.解：（1）由题意            2 2 2 3 3 4 2 a c b a c b 解得         2 6 2 c a b 所以椭圆的标准方程为： 1 4 6 2 2  y x ；…………………………………………………4 分 ①设MN 的方程为y=k1 x−1，与x2 6 + y2 4 =1联立得：(3k1 2+2) x2−6 k1 x−9=0 ，…5 分 设 M ( x1, y1) ， N ( x2, y2) ，则 ……………………………6 分 ∴k3⋅k4= y1−2 x1 ⋅ y2−2 x2 = (k1 x1−3)(k2 x2−3) x1 x2 = k1 2 x1 x2−3k1( x1+x2)+9 x1 x2 =−2 ……8 分 ②设PQ 的方程为y=k2 x+t ，与x2+( y−1)2=1联立得(k2 2+1) x2+2k2 (t−1) x+t (t−2)=0， 设 P(x3, y3) ， Q(x4, y4) 则 { x 3+x 4=− 2k 2 (t−1) k 2 2 +1 ¿{ x 3x 4= t(t−2) k 2 2 +1 ¿¿¿¿……………………………………9 分 ∴kBP⋅kBQ= y3−2 x3 ⋅ y4−2 x4 = (k2 x3+t−2)(k2 x4+t−2) x3 x4 = k2 2 x3 x4+k2 (t−2)(x3+x4)+(t−2)2 x1 x2 = k2 2t (t−2)−2k2 2 (t−2) (t−1)+(k2 2+1) (t−2)2 t (t−2) = k2 2t−2k2 2 (t−1)+(k2 2+1) (t−2) t =t−2 t 由k3⋅k4=kBP⋅kBQ 即t−2 t =−2,∴t=2 3 ,此时 ……………………11 分 ……………………………12 分