四川省资阳市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

资阳市2021—2022 学年度高中一年级第一学期期末质量检测 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上 对应的虚线框内。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1． 已知集合 ，则 A． B． C． D． 2． 函数 的定义域为 A． B． C． D． 3． 已知 ，则 A．3 B．5 C．7 D．15 4． 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合．若点 在角α 终 边上，则 A． B．0 C． D． 5． 函数 的零点所在的区间为 A． B． C． D． 6． 下列函数中为奇函数且在 单调递增的是 A． B． C． D． 7． 为了得到函数 的图象，可将函数 图象上的所有点 A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位 8． 已知函数 为偶函数，则 A． B． C． D． 9． 设 ， ， ，则a，b，c大小关系为 A． B． C． D． 10．某企业注重科技创新，逐年加大研发资金投入．现分析了过去10 年来的研发资金投入 情况，已知2010 年投入研发资金80 万元，2020 年投入研发资金320 万元，且每年投 入研发资金的增长率相同，则该企业在2022 年投入的研发资金约为 （参考数据： ， ） A．346.4 万元 B．368 万元 C．400 万元 D．423.2 万元 11．已知函数 是定义在R 上的奇函数，且 在 单调递增，又 ，则 不等式 的解集为 A． B． C． D． 12．已知函数 若函数 （其中 ）有6 个不同的零点，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．求值： ________． 14．给出两个条件：① ， ；② 在 上单调递增． 请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数________．（写出满足条件的一个函数 即可） 15．已知集合 ， ．若 ，则实数 的取值范围是 ________． 16．已知函数 （ ）．给出以下结论： ①若 ，则函数 的最小正周期为 ； ②若 ，则函数 在区间 上单调递增； ③若 ，函数 的图象的对称轴方程为 ； ④若 ， ， ，则 的最大值为 ； 其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （10 分） 已知全集 ，集合 ， ． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 18. （12 分） 已知 ， ． （1）求 ； （2）求值 的值． 19. （12 分） 已知 （其中 且 ）． （1）若 ， ，求实数 的取值范围； （2）若 ， 的最大值大于1，求a 的取值范围． 20. （12 分） 已知函数 的图象关于点 对称． （1）当 时，求函数 的值域； （2）若将 图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍（其中 ），所得图象的解析式为 ．若函数 在 有两个零点，求 的取值范 围． 21. （12 分） 已知函数 是定义在R 上的奇函数，当 时， ． （1）求函数 的解析式； （2）判断函数 在R 上的单调性，并用调性定义进行证明； （3）令函数 ．若对任意 ， ，求m 的 取值范围． 22. （12 分） 定义在D 上的函数 ，若对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 是D 上的有界函数，其中M 称为函数 的上界．已知函数 （ ）． （1）若 是奇函数，判断函数 （ ）是否为有界函数，并说明理由； （2）若函数 在 上是以 为上界的函数，求实数m 的取值范围． 资阳市2021—2022 学年度高中一年级第一学期期末质量检测 数学参考答案及评分意见 评分说明： 1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。 1－5：BACDB；6-10：CDCAD；11－12：CD 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．2； 14. ( ) 2x f x  , ( ) 4x f x  等（写出满足条件的一个函数即可）； 15．[4, ) ；（注：未写成区间或集合不扣分） 16．①②④． 三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （10 分） （1） 1 a  时， { | 1 4} A x x     ， 2 分 则 { | 4 4} A B x x     ≤ ． 5 分 （2）方法1：若A B   ， 则 2 1 2 2 6 4 a a       ， ， 8 分 解得 1 5 2 a    ，故a 的取值范围是 1 ( 5 ) 2 ，． 10 分 方法2：若A B   ， 则2 6 4 a   ≤ 或2 1 2 a ≥ ，解得 5 a  ≤ 或 1 2 a≥ ， 8 分 所以A B   时，a 的取值范围是 1 5 2 a    ， 即a 的取值范围是 1 ( 5 ) 2 ，． 10 分 注：第2 小题结果未写成区间或集合不扣分 18. （12 分） （1）方法1：由sin 2cos    ，可知 π ( π) 2  ， ， 2 分 由 2 2 sin cos 1    ，得 2 5cos 1 ， 所以 5 cos 5  ，则 2 5 sin 5  ， 4 分 所以 3 5 sin cos 5     ． 6 分 方法2：由已知得tan 2  ，可知 π ( π) 2  ， ， 2 分 于是有 2 5 sin 5  ， 5 cos 5  ， 4 分 所以 3 5 sin cos 5     ． 6 分 （2） sin(3π ) cos(5π ) 3π cos( ) π tan(π ) 2 sin( ) 2             sin cos sin sin cos cos tan              ， 10 分 2 5 5 2 ( ) 5 5 5    ． 12 分 19. （12 分） （1） 2 a 时， 2 ( ) log (2 2) 2 f x x    ， 即有 2 2 log (2 2) log 4 x   ， 2 分 所以 2 2 0 2 2 4 x x        ， ， 解得1 3 x   ， 故实数x 的取值范围是(1 3) ，． 6 分 （2）因为 0 a  ，则 [4 6] x ，时，4 2 2 6 2 a ax a    ≤ ≤ ． 当 1 a 时，则函数 ( ) f x 最大值 max ( ) log (6 2) 1 a f x a   ，解得 1 a ． 8 分 当0 1 a  时，则函数 ( ) f x 最大值 max ( ) log (4 2) 1 a f x a   ，解得1 2 2 3 a   ． 10 分 综上所述，a 的取值范围是 2 ( ) (1 + ) 3 1 2   ， ， ． 12 分 注：结果未写成区间或集合不扣分 20. （12 分） （1）由题， π π ( ) 2sin( ) 0 12 6 f    ， 所以π π 6 k k    Z ， ，即有 π π 6 k k   Z ， ， 2 分 又 π | |< 2  ，则 π 6  ． 3 分 所以 π ( ) 2sin(2 ) 6 f x x = - ， 当 π [0 ] 2 xÎ ，时， π π 5π 2 6 6 6 x - - ≤ ≤ ，则 1 π sin(2 ) 1 2 6 x - - ≤ ≤ ， 所以，函数 ( ) f x 的值域为[ 1 2] ， - ． 6 分 （2）由题可得， π ( ) 2sin( ) 6 g x x w = - ， 8 分 令 π ( ) 2sin( ) 0 6 g x x w = - = ，得 π π 6 x k w - = ，k Î Z ． 即有 π π 6 k x w w = + ，k Î Z ． 9 分 当 0 x≥ 时，( ) g x 的零点依次为π 6 w ，7π 6 w ，13π 6 w ，…， 10 分 因为函数( ) g x 在 π [0 ] 2 ，有两个零点，所以 7π π 6 2 13π π 6 2 w w ì ï ï í ï > ï î ， ， ≤ 解得7 13 3 3 w < ≤ ，即w 的取值范围是7 13 [ ) 3 3 ， ． 12 分 注：第（2）小题结果未写成区间或集合不扣分 21. （12 分） （1）由于 ( ) f x 是定义在R 上的奇函数，则 (0) 0 f = ， 2 分 当 0 x < 时， 0 x   ， 则 3 3 ( ) ( ) [( ) ( ) ] f x f x x x x x =- - =- - + - = + ． 所以 ( ) f x 的解析式为 3 ( ) f x x x = + ． 4 分 （2）函数 ( ) f x 在R 上的单调递增， 5 分 证明如下： 任取 1 2 x x ， ，且 1 2 x x  则 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( )( 1) f x f x x x x x x x x x x x - = - + - = - + + + 2 2 2 1 2 1 2 3 ( )[( ) 1] 2 4 x x x x x = - + + + ， 由 1 2 x x  ，知 2 2 2 1 2 1 2 3 ( )[( ) 1] 0 2 4 x x x x x - + + + < ， 则 1 2 ( ) ( ) f x f x < ， 所以，函数 ( ) f x 在R 上的单调递增． 8 分 （3）由（2）知，函数 ( ) f x 在R 上的单调递增， 则 ( ) f x 在 [1 2] x ， Î 时最小值 min ( ) (1) 2 f x f = = ． 又知函数 1 2 ( ) 2 log x g x m x - = + + 在[1 2] ，上单调递增， 则g(x)在[1 2] ，上的最大值g(x)max＝g(2) 2 2 4 m m = + + = + ． 10 分 因为任意 1 2 [1 2] x x ， ， Î ， 1 2 ( ) ( ) f x g x > ， 所以有f(x)min ＞g(x)max，则2 4 m > + ，所以 2 m <- ． 故m 的取值范围是( 2) ， -¥ - ． 12 分 注：第（3）小题结果未写成区间或集合不扣分 22. （12 分） （1）若 ( ) f x 是奇函数，则 ( ) ( ) f x f x   ， 则1 2 1 2 1 2 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x m m m m                  ， 所以( 1)(2 1) 0 x m   恒成立， 则 ( ) f x 是奇函数时， 1 m ． 2 分 此时 1 2 2 (1 2 ) 2 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 x x x x x f x           ， 由xR 知2 0 x  ，则1 2 1 x  ，于是 2 0 2 1 2x    ，则 2 1 1 1 1 2x      ， 故xR 时，1 ( ) 1 f x   ， 4 分 所以，函数 ( ) f x （xR ）为有界函数． 5 分 （2）若函数 ( ) f x 在[1 2] ，上是以 1 2 为上界的函数，则有 1 | ( ) | 2 f x ≤ 在[1 2] ，上恒成立． 则 1 1 ( ) 2 2 f x  ≤ ≤ 恒成立，即 1 1 2 1 2 1 2 2 x x m     ≤ ≤ 恒成立， 6 分 所以 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x x x x m m               ， ， ≤ ≥ 即 1 1 ( ) 2 2 2 1 3 ( ) 2 2 2 x x m m            ， ， ≥ ≤