浙江省宁波市九校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题

宁波市九校2021-2022 学年高一上学期期末联考数学试题 选择题部分 一、选择题：本大题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知全集U={1,2,3,4}, 集合A={1,2,3},B={3,4}, 则A ∩(∁U B)=¿( ) A. {1,2} B. {1,3} C. {1,4} D. {1,2,4} 2. 已知弧长为4 π的扇形圆心角为π 6 , 则此扇形的面积为( ) A. 24 π B. 36 π C. 48 π D. 96 π 3. 已知a,b,c∈R ,a≠0, “ 则关于x的不等式a x 2+bx+c>0 ” “ 有解是b 2−4 ac>0 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数f ( x)= x cos x x 2−4 , 则其图象可能是( ) 5. 酒精是严重危害交通安全的违法行为, 为了保障安全, 根据国家有关规定: 100ml血液中酒 精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车, 80mg及以上人定为醉酒驾车, 某驾驶员喝了一 定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg/ml, 如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会 以每小时25%的速度减少, 那么他至少要经过几个小时后才能驾车(参考数据: lg2=0.301,lg3=0.477 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知f ( x)是定义在R上的偶函数, 且在(0,+∞)为减函数, 则( ) A. f (log 1 3 2)<f (sin 3 π 2 )<f (2 2 3) B. f (sin 3 π 2 )<f (log 1 3 2)<f (2 2 3) C. f (2 2 3)<f (sin 3 π 2 )<f (log 1 3 2) D. f (2 2 3)<f (log 1 3 2)<f (sin 3 π 2 ) 7. 已知k<−4, 则函数f ( x)=cos2 x+k(1−sin x) 的最大值为( ) A. −1 B. 1 C. 2k −1 D. 2k+1 8. 已知函数f ( x)={ 4 sin πx 2 , x ≤2, 1 2 f ( x−2), x>2, 则方程f ( x)=lg( x+2)的根的个数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题: 本题共4 小题, 每小题5 分, 共20 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得5 分, 有选错的得0 分, 部分选对的得2 分。 9. 下列命题是真命题的是( ) A. 若a>b>0, 则ac 2>bc 2 B. 若a>b>0, 且c<d<0, 则ac<bd C. 若1 a > 1 b , 则a<b D. 若a>b>c>0, 则a+c b+c < a b 10. 下列等式成立的是( ) A. sin 275 ∘−cos 275 ∘= ❑ √3 2 B. 1 2 sin15 ∘+ ❑ √3 2 cos15 ∘= ❑ √2 2 C. sin ⁡75 ∘cos ⁡75 ∘= 1 4 D. tan165 ∘=2−❑ √3 11. 已知f ( x)为定义在R上的函数, 满足f (2−x)=f ( x), 当x∈[−1,1] 时, f ( x)=ln (❑ √x 2+1+x), 则下列说法正确的是( ) A. f (2k )=0,k ∈Z B. f (2k −1)=ln(❑ √2+1),k ∈Z C. ∃x0∈R ,f (x0+2)−f (x0)=1 D. 方程¿ f ( x)∨¿ 1 2在[−4,2]的各根之和为−6 12. 对f : D→R , g: D→R, 若∃k>0, 使得∀x1, x2∈D, 都有 |f (x1)−f (x2)|≤k|g (x1)−g (x2)|, 则称f ( x)在D上相对于g( x) “ 满足k- ” 利普希兹条件. 下列说 法正确的是( ) A. 若f ( x)=log2 x , g( x)=x, 则f ( x)在(0,+∞)上相对于g( x) “ 满足2 - ” 利普希兹条件 B. 若f ( x)=❑ √x ,g( x)=x ,f ( x)在[1,4]上相对于g( x) “ 满足k- ” 利普希兹条件, 则k的最小值 为1 2 C. 若f ( x)=ax ,g( x)= 1 x ,f ( x)在[2,3]上相对于g( x) “ 满足4 -利普希兹"条件, 则a的最大值 为4 9 D. 若f ( x)=x , g( x)=log2(4 x+1),f ( x)在非空数集D上相对于g( x) “ 满足1 -利普希兹" 条 件, 则D⊆(−∞,0¿ 非选择题部分 三、填空题: 本题 共4 小题, 每小题5 分, 共20 分。 13. 计算8 2 3 −log327=¿_____________. 14. 若tan α ,tan β是方程x 2−4 x−2=0的两根, θ=α+β, 则 2cos ⁡(π+θ)+cos ⁡( 3 π 2 −θ) sin ⁡( 11π 2 −θ)+sin ⁡(5 π −θ) =¿¿. 15. 已知f ( x)=(e x−∞−1)ln( x+2a−1), 若f ( x)≥0对x∈(1−2a,+∞)恒成立, 则实数a=¿ _____________. 16. 已知正实数a,b满足 8 (b+1) 3 + 10 b+1 ≤a 3+5a, 则3a+2b的最小值是_____________. 四、解答题: 本大题共6 小题, 共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. ( 本题满分10 分) 从(1) A={x∣log 1 2 ⁡( x+1)≥−2}; (2) A={x∣1 8 ≤( 1 2) x <2}; A={x∣x−3 x+1 ≤0} 三个条件中任选一个, 补充在下面问题中, 并求解. 已知集合¿¿, 集合B={x∣2m<x<m 2,m∈R}. (I) 当m=−1 时, 求A ∪B; (II) 若A ∪B=A, 求实数m的取值范围. 18. ( 本题满分12 分) 已知函数f ( x)=sin( 5 π 6 −2 x)−2sin(x−π 4)cos(x+ 3 π 4 ). (I) 求f ( x)的最小正周期及单调递增区间; (II) 将f ( x)的图象向左平移π 6 个单位, 再将此时图象的横坐标变为原来的2 倍、纵坐标保持不 变, 得到g( x)的图象, 求g( x)图象的对称轴方程. 19. ( 本题满分12 分) 已知函数f ( x)=a−2 x 1+2 x (a∈R) 是定义在R 上的奇函数. (I) 求实数a 的值; (II) 若不等式f [k ⋅(4 x+2 x)]+f (a−2 x)≤0 对x∈[1,2]恒成立, 求实数k的取值范围. 20. ( 本题满分12 分) 如图, 某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污 水净化管道(直角三角形FHE三条边, H是直角顶点) 来处理污水, 管道越长, 污水净化效果越 好. 要求管道的接口H是AB的中点, E , F分别落在线段BC , AD 上(含线段两端点), 已知 AB=40米, AD=20 ❑ √3 米, 记∠BHE=θ. (I) 试将污水净化管道的总长度L (即△FHE 的周长) 表示为θ的函数, 并求出定义域; (II) 问θ取何值时, 污水净化效果最好? 并求出此时管道的总长度. 21. ( 本题满分12 分) 已知函数f ( x)=ln (x 2−kx+2k )(k ∈R). (I) 若f ( x)在[0,3]单调递减, 求实数k的取值范围: (II) 若方程f (x 2)=ln(x 4+x 3+ 4 x)在[2,6]上有两个不相等的实根, 求k的取值范围. 22. ( 本题满分12 分) 已知函数f ( x)=( x−2)∨x−a+1∨(a∈R). (I) 若a=−2, 写出f ( x)的单调递增区间(不要求写出推证过程); (II) 若存在b∈R, 使得对任意x∈[4,8] 都有¿ f ( x)−b∨≤9 2, 求实数a的取值范围.