浙江省宁波市金兰教育合作组织2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2022 学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考 高二年级数学学科试题 命题：宁波市第二中学 本卷共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟. 选择题部分（共60 分） 一、选择题： （本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若点 (1,2) A ， (2,1) B ，则直线AB 的斜率是 A. 2  B. 1  C. 1 D. 2 2. 圆 2 2 1 x y  上的点到直线 2 0 x y    距离的最小值是 A. 2 1  B. 2 C. 2 1  D. 4 3. 若方程 2 2 1 2 2 x y k k     表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A. ( ,2)  B. ( 2,2)  C. ( 2,0)  D. (0,2) 4. 在四面体OABC 中，记OA a  uur r ，OB b  uuu r r ，OC c  uuu r r ， 若点M 、N 分别为棱OA、BC 的中点，则MN  uuur A. 1 1 1 2 2 2 a b c   r r r B. 1 1 1 2 2 2 a b c    r r r C. 1 1 1 2 2 2 a b c   r r r D. 1 1 1 2 2 2 a b c   r r r 第4 题图 5. 圆 2 2 1 : 4 0 C x y    与圆 2 2 2 : 4 4 4 0 C x y x y      的公共弦的弦长等于 A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 2 6. 设{ , , } a b c r r r 为空间一组基底， 若向量p xa yb zc    u r r r r ， 则向量p u r 在基底{ , , } a b c r r r 下 的坐标为( , , ) x y z .若q r 在基底{ , , } a b c r r r 下的坐标为(2,3,4) ，则向量q r 在基底 { , , } a b b c c a    r r r r r r 下的坐标为 A. 5 1 9 ( , , ) 2 2 2   B. 5 1 9 ( , , ) 2 2 2  C. 5 1 9 ( , , ) 2 2 2  D. 5 1 9 ( , , ) 2 2 2   7. PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线,每两条射线夹角均为60o ， 则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 A. 3 3 B. 6 3 C. 3 6 D. 6 6 8. 已知A ，B 为椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     长轴的两个端点，点P 为椭圆C 上 异于A ，B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为 1 k ， 2 k ，若 1 2 k k  的最 小值为1 2 ，则椭圆C 的离心率为 A. 2 4 B. 3 4 C. 5 4 D. 15 4 二、选择题： （本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的 得2 分） 9. 正方体 1 1 1 1  ABCD A B C D 中，M 为 1 AA 中点， O 为 1 BD 中点，以下说法正确的是 A. // OM 平面ABCD B. // OM 平面 1 1 BCC B C. OM 平面 1 1 BB D D D. OM 平面 1 1 BCC B 第9 题图 10. 已知曲线 :3 4 2 (2 2) 0 C x y x y        ，则下列说法正确的是 A. R   ，曲线C 为一个点 B. R   ，曲线C 为一条直线 C. R   ，曲线C 为直线 0 x y   D. R   ，曲线C 恒过点( 2,2)  11. 在空间直角坐标系中， 已知向量 ( , , ) u a b c  r （其中 0 abc  ） ， 定点 0 0 0 0 ( , , ) P x y z ， 异于点 0 P 的动点 ( , , ) P x y z ，则以下说法正确的是 A. 若u r 为直线 0 PP 的方向向量，则 0 0 0 x x y y z z a b c      B. 若u r 为直线 0 PP 的方向向量，则 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 a x x b y y c z z       C. 若u r 为平面的法向量，面经过 0 P 和P ，则 0 0 0 x x y y z z a b c      D. 若u r 为平面的法向量， 面经过 0 P 和P ， 则 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 a x x b y y c z z       12. 设 1 F ， 2 F 为椭圆 2 2 1 4 3 x y  的左，右焦点，直线l 过 1 F 交椭圆于A ，B 两点， 则以下说法正确的是 A. 2 ABF  的周长为定值8 B. 2 ABF  的面积最大值为2 3 C. 2 2 1 2 AF AF  的最小值为8 D.存在直线l ， 使得 2 ABF  的重心为1 1 ( , ) 6 4 非选择题部分（共90 分） 三、填空题： （本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 直线 3 3 0 x y    的倾斜角为 . 14. 在空间直角坐标系Oxyz 中，若点 (1,2,3) A 和点B 关于坐标平面Oxz 对称，则 点B 的坐标为 . 15. 点(2, 3) 在圆 2 2 2 2 2 3 3 0 x y ax y a      外， 则a 的取值范围为 . 16. 在空间直角坐标系Oxyz 中，( ,0,2) A a ，(0, , 1)  B b 满足 3 2 AB  ， 则线段AB 与平面Oxy 交点 ( , ,0) P x y 的轨迹方程为 . 四、解答题: （本题共6 个小题，其中17 题10 分，18 至22 题每题12 分，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知直线1 : 2 0 l ax y    与直线2 : 2 ( 1) 4 0 l x a y     （1）若直线1 l 与直线2 l 平行，求a 的值； （2）若直线1 l 与直线2 l 垂直，求a 的值. 18. 在棱长为2 的正方体 1 1 1 1  ABCD A B C D 中， E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点. （1）求点A 到平面 1 C EF 的距离； （2）求平面 1 C EF 与平面CEF 夹角的余弦值. 第18 题图 19. 已知圆心在x 轴正半轴上的圆C ，过点(3,0) ，(1,2) . （1）求圆C 的标准方程； （2）过点 (0,2) P 的直线l 与圆C 交于两点 , A B ，若 120 ACB   ，求直线l 的 方程. 20. 在平行六面体 1 1 1 1  ABCD A B C D 中， 1 1 AB AD AA    ， 90   o BAD ， 1 1 60    o BAA DAA . （1）求 1 1 AC BA  uuur uuu r ； （2）求 1 AC 和 1 BA 所成角的余弦值. 第20 题图 21. 在三棱锥P ABC  中，PA 平面ABC ， 2 2 PA AB AC    ， 60 BAC   o ， F 为棱PC 上一点，满足AF PC  于F . （1）求证：平面ABF 平面PBC ； （2）求PB 与面ABF 所成角的正弦值. 第21 题图 22. 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y C a b a b     ： 经过点 (0,1) A ，且离心率为 6 3 . （1）求椭圆C 的方程； （2）椭圆C 上的两个动点 , M N （ , M N 与点A 不重合） ，直线AM ，AN 的斜 率之和为4，作AH MN  于H . 问： 是否存在定点P ， 使得PH 为定值. 若存在， 求出定点P 的坐标及PH 的值； 若不存在，请说明理由.