《KS5U发布》辽宁省辽东南协作体2021-2022学年高二上学期第一次月考 数学 Word版含答案bychun【KS5U 高考】

2021－2022 学年度上学期月考试卷 高二数学(A) 考试时间：120 分钟 满分：150 分 范围：选择性必修一第一章空间向量与立体几何 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。 1.若数组 ＝(－2，1，3)和 ＝(1，－ ，x)满足 ＝－2 ，则实数x 等于 A.－3 B.－2 C.－ D.－ 2.若a＝(2，2，0)，b＝(1，3，z)，<a，b>＝ ，则z 等于 A. B.－ C.± D.± 3.若直线l 的方向向量为 ＝(3，－1，2)，平面α 的法向量为 ＝(2，3，－1)，则 A.l//α B.l⊥α C.l α D.l 与α 斜交 4.已知正四面体A－BCD 的棱长为1，且 ， ，则 ＝ A. B. C.－ D.－ 5.已知向量 ＝(，1，0)， ＝(－1，0，2)，且 ＝(4，6，4)与k ＋ 平行，则k 的值是 A.－ B.3 C.－3 D. 6.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。据 说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数” 联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐 标系的雏形。在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于y 轴对称的点的坐 标是 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com A.(－1，－1，1) B.(1，－1，1) C.(1，－1，－1) D.(－1，－1，－1) 7.已知四面体O－ABC 的各棱长均为1，D 是棱OA 的中点，则异面直线BD 与AC 所成角 的余弦值为 A. B. C. D. 8.在三棱锥P－ABC 中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C 到平面PAB 的距离是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。全部选对的得分5 分，部分选对 的得2 分，有选错的得0 分。 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，则 下列结论中正确的是 A.A1E⊥AC1 B.BF//平面ADD1A1 C.BF⊥DG D.A1E//CH 10.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点如果 ＝(2，－1，－4)， ＝(4， 2，0)， ＝(－1，2，－1)。对于结论：①AP//AB；②AP⊥AD；③ 是平面ABCD 的 法向量；④ // 。其中正确的是 A.① B.② C.③ D.④ 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 11.在以下命题中，不正确的命题有 A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b 共线的充要条件 B.若a//b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb C.对空间任意一点O 和不共线的三点A，B，C，若 ，则P，A， B，C 四点共面 D.若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④AB 与CD 所 成的角为60°。其中正确的结论是 A.① B.② C.③ D.④ 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。把答案填在题中横线上。 13.已知平面α 和平面β 的法向量分别为 ＝(1，2，2)， ＝(x，－2，3)，若α β ⊥，则x＝ 。 14.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是 (填序号) ① ； ② ； ③ ； ④ 。 15.已知 ＝(4，－2，6)， ＝(－1，4，－2)， ＝(7，5，2)，若 ， ， 三向量共面， 则λ＝ 。 16.在三棱锥D－ABC 中，已知AB＝AD＝2，BC＝1， ＝－3，则CD＝ 。 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分10 分)如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，侧棱 PA 的长为2，且PA 与AB、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设 ＝a， ＝ b， ＝C。 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com (1)试用a，b，C 表示向量 ； (2)求BM 的长。 18.(本题满分12 分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－ 2，－2，2)。 (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB 上，是否存在一点E，使得 ⊥b？(O 为原点) 19.(本题满分12 分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝ ，D 是棱AC 的中点， 且AB＝BC＝BB1＝2。 (1)求证：AB1//平面BC1D； (2)求异面直线AB1与BC1所成的角。 20.(本题满分12 分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝ BC＝2，CC1＝3，点D，E 分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M 为棱A1B1的 中点。 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com (I)求证：C1M⊥B1D； (II)求二面角B－B1E－D 的正弦值； (III)求直线AB 与平面DB1E 所成角的正弦值。 21.(本题满分12 分)如图，在三棱锥P－ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA ＝AC＝2BC。 (1)若PA⊥PB 求证：平面PAB⊥平面PBC； (2)若PA 与平面ABC 所成角的大小为60°，求二面角C－PB－A 的余弦值。 22.(本题满分12 分)在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形， AB//CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB。 (I)求证：AC⊥平面FBC； (II)线段ED 上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论。 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 高二数学(A)试题答案 一．单选题：CCDD BACB 二．多选题：BCD BC AB ABD 三．填空题：13.-2 14.②③ 15. 16. 四解答题：.17.解：（1） 是PC 的中点， . ， ， ， 结合 ， ， ，得 . （2） ， ， ， . ， ， ， . 由（1）知 ， 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com ， ，即BM 的长等于 . 18．解:(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a＋b|＝＝5． (2)OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋ t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)， 若OE¡Íb，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t ＝，因此在直线AB 上存在点E，使得OE¡Íb，此时点E 的坐标为E． 19．[解] (1)证明：如图，连接B1C 交BC1于点O，连接OD． 因为O 为B1C 的中点，D 为AC 的中点，所以OD¡ÎAB1． 因为AB1?平面BC1D，OD⊂平面BC1D， 所以AB1¡Î 平面BC1D． (2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)， 因此AB1＝(0，－2,2)，BC1＝(2,0,2)． 所以cos〈AB1，BC1〉＝＝＝， 设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ¡Ê，故θ＝． 20.解：以C 为原点，CA � ，CB � ， 1 CC � 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 标系，如图所示， 则 (0 C ，0，0) ， (2 A ，0，0) ， (0 B ，2，0) ， 1(0 C ，0，3) ， 1(2 A ，0，3) ， 1(0 B ，2，3) ， (2 D ，0，1) ， (0 E ，0，2) ， (1 M ，1，3) ， （Ⅰ）证明：依题意， 1 (1 C M  � ，1，0) ， 1 (2 B D  � ，2  ，2)  ，  1 1 2 2 0 0 C M B D     � ， 1 1 C M B D   ； （Ⅱ）依题意， (2 CA  � ，0，0) 是平面 1 BB E 的一个法向量， 1 (0 EB  � ，2，1) ， (2 ED  � ，0，1)  ， 设 ( n x   ，y ，) z 为平面 1 DB E 的法向量， 则 1 0 0 n EB n ED        �  �  ，即2 0 2 0 y z x z        ，不妨设 1 x ，则 (1 n   ，1  ，2) ， cos CA   � ， 6 6 | | | | CA n n CA n     �   �  ， sin CA   � ， 1 30 1 6 6 n     ， 二面角 1 B B E D   的正弦值 30 6 ； （Ⅲ）依题意， ( 2 AB  � ，2，0) ， 由（Ⅱ）知， (1 n   ，1  ，2) 为平面 1 DB E 的一个法向量， 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com cos AB   � ， 3 3 | | | | AB n n AB n     �   �  ， 直线AB 与平面 1 DB E 所成角的正弦值为 3 3 ． . 21. 解：（1）证明： 因为平面 平面ABC， 平面 平面 , 平面ABC, ， 所以 平面PAC. 因为 平面PAC，所以 . 又 所以C 因为PA ,所以平面 （2）如图，过点P 作 于点H, 因为平面 平面ABC，所以 平面ABC，所以 ， 不妨设 ，则 ， 以C 为原点，CA,CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过C 点且平行于PH 的直线为z 轴，建 立如图所示的空间直角坐标系, 则 ， ， ， ， 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 因此 ， ， ， . 设 为平面PAB 的一个法向量,则 即 令 ，可得 ， 设 为平面PBC 的一个法向量，则 即 令 ，可得 ， 所以 ， 易知二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 . 22.解：（Ⅰ）证明： ， ， 在 中，由余弦定理可得 ， ， ． ． 又 ， ， 平面 ． 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com （Ⅱ） 线段 上不存在点 ，使平面 平面 ． 证明如下： 因为 平面 ，所以 ． 因为 ，所以 平面 ． 所以 ， ， 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 ． 在等腰梯形 中，可得 ． 设 ，所以 ， ． 所以 ， ． 设平面 的法向量为 ， ， ，则 ， 所以 取 ，得 ，2， ． 假设线段 上存在点 ，设 ，所以 ． 设平面 的法向量为 ， ， ，则 所以 取 ，得 ． 要使平面 平面 ，只需 ， 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 即 ，此方程无解． 所以线段 上不存在点 ，使平面 平面 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com