安徽省宣城市2021-2022学年度高二第一学期期末调研测试数学答案

宣城市２０２１— ２０２２学年度第一学期期末调研测试 高二数学参考答案 一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答 案 Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ 二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分） １３６ １４３ １５３２ ３ １６２ ２０２２－１３ ３ 三、解答题（本大题共６小题，共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７解：（Ⅰ）由 ２ｘ＋ｙ－４＝０ ４ｘ＋３ｙ { －１０＝０ ，得 ｘ＝１ ｙ { ＝２ ， 所以点Ｍ的坐标为（１，２） ２分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 因为ｌ∥ｌ０，则设直线ｌ的方程为ｘ－２ｙ＋ｔ＝０， 又ｌ过点（１，２），代入得ｔ＝３，故直线ｌ方程为ｘ－２ｙ＋３＝０ ５分 … … … … … … … （Ⅱ）设Ａ（ａ，０）．Ｂ（０，ｂ），因为Ｍ（１，２）为线段ＡＢ的中点，则 ａ＋０ ２ ＝１， ０＋ｂ ２ { ＝２ ，所以 ａ＝２ ｂ { ＝４ ，故Ａ（２，０），Ｂ（０，４） ８分 … … … … … … … … … … … … … 则△ＡＯＢ的面积为１ ２× ｜ＯＡ｜· ｜ＯＢ｜＝１ ２× ２× ４＝４ １０分 … … … … … … … … … １８解：（Ⅰ）当ｎ≥２时，２Ｓｎ－１＝３ａｎ－１＋１， 所以２Ｓｎ－２Ｓｎ－１＝２ａｎ＝３（ａｎ＋１）－（３ａｎ－１＋１）＝３ａｎ－３ａｎ－１，即ａｎ＝３ａｎ－１，（ｎ≥２） 当ｎ＝１时，２Ｓ１＝２ａ１＝３ａ１＋１，得ａ１＝－１，则 ａｎ ａｎ－１ ＝３（ｎ≥２） 所以数列｛ａｎ｝是首项为－１，公比为３的等比数列 所以ａｎ＝（－１）· ３ ｎ－１＝－３ ｎ－１ ６分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （Ⅱ）由（Ⅰ）得：ｂｎ＝ｌｏｇ３（－ａ２ｎ）＝ｌｏｇ３３ ２ｎ－１＝２ｎ－１ ７分 … … … … … … … … … … … … 所以 １ ｂｎｂｎ＋１ ＝ １ （２ｎ－１）（２ｎ＋１）＝１ ２（ １ ２ｎ－１－ １ ２ｎ＋１）， ９分 … … … … … … … … … 所以Ｔｎ＝１ ２ （１－１ ３）＋（１ ３－１ ５）＋… ＋（ １ ２ｎ－１－ １ ２ｎ＋１ [ ] ） ＝１ ２（１－ １ ２ｎ＋１） ＝ ｎ ２ｎ＋１ １２分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ） 页 ４ 共 （ 页 １ 第 案 答 考 参 学 数 二 高 市 城 宣 １９证明：（Ⅰ）因为Ｑ为ＡＤ的中点，ＰＡ＝ＰＤ＝２，所以ＰＱ⊥ＡＤ， 又因为平面ＰＡＤ⊥底面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＤ∩底面ＡＢＣＤ＝ＡＤ，ＰＱ平面ＰＡＤ， 所以ＰＱ⊥平面ＡＢＣＤ，又ＡＢ平面ＡＢＣＤ， 所以ＰＱ⊥ＡＢ． ５分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （Ⅱ）由题可知ＱＡ、ＱＢ、ＱＰ两两互相垂直， 以ＱＡ为ｘ轴、ＱＢ为ｙ轴、ＱＰ为ｚ轴建立空间坐标系，如图， 根据题意，则Ｑ（０，０，０），Ａ（１，０，０），Ｂ（０，槡３，０），Ｃ（－１，槡３，０），Ｐ（０，０，槡３）， 由Ｍ是棱ＰＣ的中点可知Ｍ（－１ ２，槡３ ２，槡３ ２），ＢＰ →＝（０， 槡 －３，槡３）， 设平面ＭＱＢ的法向量为ｎ＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０），ＱＢ →＝（０，槡３，０），ＱＭ →＝（－１ ２，槡３ ２，槡３ ２）， 则 ｎ· ＱＢ →＝０ ｎ· ＱＭ → { ＝０ ，即 槡３ｙ０＝０ －１ ２ｘ０＋槡３ ２ｙ０＋槡３ ２ｚ０ { ＝０ ， 令ｚ０＝１，则ｘ０ 槡 ＝３，ｙ０＝０，故平面ＭＱＢ的一个法向量为ｎ＝（槡３，０，１）， ９分 … … … 所以ｃｏｓ＜ｎ，ＢＰ →＞＝ ｎ· ＢＰ → ｜ｎ｜· ｜ＢＰ →｜ ＝ 槡３ 槡４· 槡６ ＝槡２ ４， １１分 … … … … … … … … … … … … 所以直线ＰＢ与平面ＭＱＢ所成角的正弦值为槡２ ４． １２分 … … … … … … … … … … … … ２０解：（Ⅰ）由 ＭＦ１ － ＭＦ２ ＝２＜ Ｆ１Ｆ２ ＝４， 则轨迹Ｃ是以点Ｆ１、Ｆ２为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹Ｃ的方程为ｘ ２ ａ ２－ｙ ２ ｂ ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），则２ａ＝２，可得ａ＝１，ｂ＝ ４－ａ 槡 ２ 槡 ＝３， 所以Ｃ的方程为ｘ ２－ｙ ２ ３＝１（ｘ≥１）； ５分 … … … … … … … … … … … … … … … … … （Ⅱ）设Ｐ（ｘ０，ｙ０），则ｘ０ ２－ｙ０ ２ ３＝１，且ｘ０≥１，圆心Ｄ（６，０），则 ＰＡ →· ＰＢ →＝（ＰＤ →＋ＤＡ →）· （ＰＤ →＋ＤＢ →）＝（ＰＤ →＋ＤＡ →）· （ＰＤ →－ＤＡ →）＝ＰＤ →２－ＤＡ →２ ） 页 ４ 共 （ 页 ２ 第 案 答 考 参 学 数 二 高 市 城 宣 ＝（ｘ０－６） ２＋ｙ０ ２－１＝（ｘ０－６） ２＋３（ｘ０ ２－１）－１ ＝４ｘ０ ２－１２ｘ０＋３２ ＝４（ｘ０－３ ２） ２＋２３ 因为ｘ０≥１，则当ｘ０＝３ ２时，ＰＡ →· ＰＢ →取最小值２３ １２分 … … … … … … … … … … … ２１解：（Ⅰ）设第ｎ年的销售量为ａｎ万辆，则该汽车的年销售量构成首项为１０，公差为１０的 等差数列，所以ａｎ＝１０ｎ， ２分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 设第ｎ年每辆车的平均销售利润为 ｂｎ元，则每辆汽车的平均销售利润构成首项 为３０００，公比为０９的等比数列，所以ｂｎ＝３０００× ０９ ｎ－１， ４分 … … … … … … … 记第ｎ年的销售利润为ｃｎ，则ｃｎ＝ａｎ× ｂｎ＝３００００ｎ× ０９ ｎ－１万元； 即第ｎ年的销售利润为３ｎ× ０９ ｎ－１亿元 ５分 … … … … … … … … … … … … … … … （Ⅱ）到２０２７年年底，设销售利润总和为Ｓ亿元， 则Ｓ＝３（１＋２× ０９＋３× ０９ ２＋４× ０９ ３＋５× ０９ ４＋６× ０９ ５＋７× ０９ ６）①， ６分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ０９Ｓ＝３（１×０９＋２×０９ ２＋３×０９ ３＋４×０９ ４＋５×０９ ５＋６×０９ ６＋７×０９ ７）②， ①－②得Ｓ＝３（１００－１７０× ０９ ７）≈５５２亿元， １０分 … … … … … … … … … … … 而总投资为２０＋３０＝５０亿元， 因为５５２＞５０，则到２０２７年年底，该集团能通过该品牌汽车实现盈利． １２分 … ２２解：（Ⅰ）因为ｅ ２＝ｃ ２ ａ ２＝１－ｂ ２ ａ ２＝１ ２，所以ｂ ２ ａ ２＝１ ２， 又因为２ ａ ２＋１ ｂ ２＝１，解得ａ ２＝４，ｂ ２＝２，所以椭圆的方程为ｙ ２ ４＋ｘ ２ ２＝１； ３分 … … … （Ⅱ）①证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 依题意，直线ｌ斜率存在，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋２， 联立方程 ｙ＝ｋｘ＋２ ｘ ２＝２ { ｙ ，消去ｙ得 ｘ ２－２ｋｘ－４＝０，所以ｘ１ｘ２＝－４， 又因为ｙ１ｙ２＝ｘ１ ２ｘ２ ２ ４ ＝４，所以ＯＡ →· ＯＢ →＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０， 因此，ＯＡ⊥ＯＢ． ６分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ） 页 ４ 共 （ 页 ３ 第 案 答 考 参 学 数 二 高 市 城 宣 ②证明：设Ｃ（ｘ３，ｙ３），Ｄ（ｘ４，ｙ４），设直线ＣＤ方程为ｙ＝ｍｘ＋ｎ， 因为ＯＡ⊥ＯＢ，所以ＯＣ⊥ＯＤ， 则ＯＣ →· ＯＤ →＝ｘ３ｘ４＋ｙ３ｙ４＝０， 联立 ｙ＝ｍｘ＋ｎ ｙ ２ ４＋ｘ ２ ２ { ＝１，得（ｍ ２＋２）ｘ ２＋２ｍｎｘ＋ｎ ２－４＝０ 当△＝４ｍ ２ｎ ２－４（ｍ ２＋２）（ｎ ２－４）＝１６ｍ ２－８ｎ ２＋３２＞０时， ｘ３＋ｘ４＝－２ｍｎ ｍ ２＋２，ｘ３ｘ４＝ｎ ２－４ ｍ ２＋２ ８分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 则ｘ３ｘ４＋ｙ３ｙ４＝ｘ３ｘ４＋（ｍｘ３＋ｎ）（ｍｘ４＋ｎ）＝（１＋ｍ ２）ｘ３ｘ４＋ｍｎ（ｘ３＋ｘ４）＋ｎ ２ ＝（１＋ｍ ２）（ｎ ２－４）－２ｍ ２ｎ ２＋ｎ ２（ｍ ２＋２） ｍ ２＋２ ＝０ 所以３ｎ ２＝４（ｍ ２＋１），即｜ｎ｜＝槡 ２３ ３ １＋ｍ 槡 ２满足△＞０ １０分 … … … … … … … 则｜ＯＨ｜＝ ｜ｎ｜ １＋ｍ 槡 ２＝槡 ２３ ３，即｜ＯＨ｜为定值． １２分 … … … … … … … … … … … … （以上各题其它解法参照评分标准酌情赋分） ） 页 ４ 共 （ 页 ４ 第 案 答 考 参 学 数 二 高 市 城 宣