河南省豫北名校联盟2021-2022学年高二下学期联考二数学（理）试题(1)

河南省豫北名校联盟高二下学期联考二 理科数学试题 本试卷共150 分，考试时间120 分钟. 一、单选题 1. 已知复数 3 2 z i  ，则 2 3 | |   i z A. 1 B. 13 C. 13 13 D. 13 2. 设, a b R  ，“ 0 a ”是“复数a bi  是纯虚数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙、丙、丁、戊5 个文艺节目在 , , A B C 三家电视台播放，要求每个文艺节目只能独家播 放，每家电视台至少播放其中的一个，则不同的播放方案的种数为（ ） A. 150 B. 210 C. 240 D. 280 4. 淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5 盆月季花和4 盆菊 花，各盆大小均不一样，将其中4 盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ） A. 960 B. 1080 C. 1560 D. 3024 5. 二项式  10 3i x  （i 为虚数单位）的展开式中第8 项是（）. A. 7 135x  B. 7 135x C. 7 360 3ix D. 7 360 3ix  6. 函数   2 x x x x e y e        „ 的图象大致是 A. B. C. D. 7. 已知函数 3 x x f x e  ，那么（ ） A.  f x 有极小值，也有大极值 B.  f x 有极小值，没有极大值 C.  f x 有极大值，没有极小值 D.  f x 没有极值 8. 设直线 1 y 与y 轴交于点A ，与曲线 3 y x  交于点B ，O 为原点，记线段OA ，AB 及曲线 3 y x  围成的区域为．在内随机取一个点P ，已知点P 取在OAB  内的概率等于 2 3 ，则图 中阴影部分的面积为（） A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 6 9. 已知直线y m  分别与函数 1 x y e   和 1 y x  交于A 、B 两点，则A 、B 之间的最短距 离是（ ） A. 3 ln 2 2  B. 1 ln 2 2  C. 3 ln 2 2  D. 5 ln 2 2  10. 假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,如有至 少50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功飞行.若使4 引擎飞机比双引擎飞机更为安全,则p 的 取值范围是( ) A. 1 ,1 3       B. 2 0, 3       C. 2 ,1 3       D. 1 0, 4       11. 已知0 1 k   ，0 1 x   ，随机变量X 的分布列如下： X 0 2x 2 4 1 x  P k 1 2 1 4 当 E X 取最大值时，  D X （） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 2  12. 已知e 为自然对数的 底数， ( )  f x 为函数 ( ) f x 的导数.函数 ( ) f x 满足 2( 1) e ( 2) ( )( ) x f x f x x     R ，且对任意的 1  x 都有， ( ) ( ) 0 f x f x    ，则下列一定判断 正确的是（） A. 2 e (2) (0) f f  B. (3) (2) ef f  C. 4 e (3) ( 1) f f   D. 5 e (3) ( 2) f f   二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡上. 13. 已知函数 3 ( ) 2 f x x   ，则 (2) f  ______． 14. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概率是_____. 15. 某公司招聘员工，甲、乙、丙、丁四人去应聘，最后只有一人被录用．关于应聘结果四人说 法如下：甲说“我没有被录用”；乙说“丙被录用”；丙说“丁被录用”；丁说“我没有被录用”，现知 道他们只有一人说的是真话．根据以上条件，可以判断被录用的人是______ 16. 若对任意 (1, ) x ，不等式 1 (ln 1) ln x x a x e x a     恒成立，则a 的范围__________． 三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分，第17 题10 分，其它每题12 分） 17. 求由曲线 3 , 4 4 y sinx x                和 3 , 4 4 y cosx x                所围成的平面图形的面积. 18. 观察如图所示的“三角数阵” 记第  1 n n  行的第2 个数为   * 2, n a n n N   ，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成 下列各题： （1）第6 行的6 个数依次为_____、_____、_____、_____、_____、_____； （2）依次写出 2 a 、 3 a 、 4 a 、 5 a ； （3）归纳出 1 n a 与 n a 的关系式． 19. 2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生 在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生 的人数之比为11:13 ，其中男生30 人对于线上教育满意，女生中有15 名表示对线上教育不满 意． 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 120 （1）完成2 2 列联表，并回答能否有99% 的 把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； （2）从被调查中对线上教育满意的 学生中，利用分层抽样抽取8 名学生，再在8 名学生中抽取 3 名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为 ，求出 的分布列及期望值． 附公式及表：        2 2 n ad bc K a b c d a c b d       ，其中n a b c d  ． 2 0 ( ) P K k  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3. 841 5.024 6.635 7.879 10.828 20. 已知函数 2 1 ( ) ( 1) ln 1 2 f x x a x a x      ． （I）若 3 x 是 ( ) f x 的极值点，求 ( ) f x 的单调区间； （II）求a 的范围，使得 ( ) 1 f x  恒成立． 21. 2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大 突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.某社区组织了80 名社区居民参加防疫 知识竞赛，他们的成绩全部在40 分至100 分之间，现将成绩按如下方式分成6 组：第一组，成 绩大于等于40 分且小于50 分；第二组，成绩大于等于50 分且小于60 分； 第六组，成绩 大于等于90 分且小于等于100 分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求社区居民成绩的众数及a 的值； （2）我们将成绩大于等于80 分称为优秀，成绩小于60 分称为不合格.用分层抽样的方法从这 80 个成绩中抽取20 个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少个？再从抽取的不合格成 绩和优秀成绩中任选3 个成绩，记优秀成绩的个数为X 个，求X 的分布列和数学期望. 22. 已知函数 2 1 ( ) ln , ( ) 2 f x x g x x bx    (b 为常数) （1）若b=1,求函数H(x)=f(x)﹣g(x)图象在x=1 处的切线方程; （2）若b≥2,对任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实数b 的值. 【1 题答案】 【答案】A 【2 题答案】 【答案】B 【3 题答案】 【答案】A 【4 题答案】 【答案】B 【5 题答案】 【答案】C 【6 题答案】 【答案】A 【7 题答案】 【答案】C 【8 题答案】 【答案】B 【9 题答案】 【答案】B 【10 题答案】 【答案】C 【11 题答案】 【答案】A 【12 题答案】 【答案】B 【13 题答案】 【答案】12 【14 题答案】 【答案】 1 9 【15 题答案】 【答案】甲 【16 题答案】 【答案】  1, 【17 题答案】 【答案】 2 . 【18 题答案】 【答案】（1）6、16 、25 、25 、16 、6；（2） 2 2 a ， 3 4 a ， 4 7 a ， 5 11 a  ；（3）   1 1 3, n n a a n n n N        . 【19 题答案】 【答案】（1）有99% 的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）分布列见解析， 期望为 9 8 ； 【详解】解：（1）120 名学生中男生有 11 120 55 11 13    （人) ，女生有65 人， 结合题意填写列联表如下： 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 计算 2 2 120 (30 15 50 25) 960 6.713 80 40 55 65 143 K           ，且6.713 6.635  ， 所以有99% 的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； （2）利用分层抽样抽取8 名学生，男生有3 人，女生5 人， 从这8 名学生中抽取3 名，抽取男生的个数 的可能取值为0，1，2，3； 计算 3 5 3 8 5 ( 0) 28 C P C    ， 1 2 3 5 3 8 15 ( 1) 28 C C P C      ， 2 1 3 5 3 8 15 ( 2) 56 C C P C      ， 3 3 3 8 1 ( 3) 56 C P C    ； 所以 的分布列为：  0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 的数学期望值为 5 15 15 1 63 9 ( ) 0 1 2 3 28 28 56 56 56 8 E        ． 【20 题答案】 【答案】（I） ( ) f x 的单调增区间为(0,1),(3, )   ，减区间为(1,3) ；（II） 1 2 a  【详解】（I）函数 ( ) f x 的定义域为(0 )  ， ，    1 a f x x a x     ， 因为 3 x 是 ( ) f x 的极值点，所以    3 3 1 0 3 a f a      ，解得a=3， 当a=3 时，       1 3 3 3 1 x x f x x x x        ， 令 ( ) 0 f x   ，得0 1 x  或 3 x  ；令 ( ) 0 f x   ，得1 3 x   ， 所以函数 ( ) f x 的单调增区间为(0,1),(3, )   ；单调减区间为(1,3) . （II）要使得 ( ) 1 f x 恒成立，即 0 x  时 2 1 ( 1) ln 0 2 x a x a x     恒成立， 设 2 1 ( ) ( 1) ln 2 g x x a x a x     ，则    1 a g x x a x     ( 1)( ) x x a x    ， 当 0 a 时，由 ( ) 0 g x   得单调减区间为(0 ) 1 ， ，由 ( ) 0 g x   得单调增区间为(1 )  ， ， 故 min 1 ( ) (1) 0 2 g x g a     ，得 1 2 a  ； 当0 1 a  时，由 ( ) 0 g x   得单调减区间为( 1) a， ， 由 ( ) 0 g x   得单调增区间为(0 ) a ， ，(1 )  ， ；此时 1 (1) 0 2 g a    ，不合题意； 当 1 a 时， ( ) f x 在(0 )  ， 上单调递增，此时 1 (1) 0 2 g a    ，不合题意； 当 1 a 时，由 ( ) 0 g x   得单调减区间为(1 ) a ， ，由 ( ) 0 g x   得单调增区间为(0 ) 1 ， ，( ) a  ，∞ ， 此时 1 (1) 0 2 g a    ，不合题意； 综上所述： 1 2 a  时， ( ) 1 f x 恒成立. 【21 题答案】 【答案】（1）众数为65 ， 0.035 a  ；（2）成绩不合格的个数为3 ，成绩优秀的个数为4 ，分 布列答案见解析，数学期望为 12 7 . 【详解】（1）由频率分布直方图得众数为 60 70 65 2   ， 由于所有矩形的面积和为1，则  0.005 0.010 0.030 0.015 0.005 10 1 a       ，得 0.035 a  ； （2）成绩不合格有20 0.15 3   个，优秀有 20 0.2 4   个，X 可能取值为 0 、1、2 、3 ，   3 3 3 7 1 0 35 C P X C    ，  2 1 3 4 3 7 12 1 35 C C P X C    ，  1 2 3 4 3 7 18 2 35 C C P X C    ，   0 3 3 4 3 7 4 3 35 C C P X C    ， X  的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35  12 36 12 60 12 35 35 35 35 7 E X       . 【22 题答案】 【答案】（1）2 2 1 0 x y   .（2）2 【详解】（1）若b=1，函数 2 1 ( ) ln ( 0) 2 H x x x x x     ， ∴ 1 ( ) 1 H x x x    ，故 (1) 1 H 又切点为 1 1, 2      ， 故所求切线方程为2x﹣2y﹣1=0; （2）不妨设x1>x2， ∵函数f(x)=lnx 在区间[1，2]上是增函数， ∴f(x1)>f(x2)， ∵函数g(x)图象的对称轴为x=b，且b>2， ∴当b≥2 时，函数g(x)在区间[1，2]上是减函数， ∴g(x1)<g(x2)， ∴|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|等价于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)， 等价于函数 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 h x f x g x nx x bx      在区间[1，2]上是增函数， 等价于 1 ( ) 0 h x x b x    … 在区间[1，2]上恒成立， 等价于 1 b x x  „ 在区间[1，2]上恒成立， ∴b≤2， 又b≥2，故b=2.