河南省豫北名校联盟2021-2022学年高二下学期联考二数学（文）试题(1)

河南省豫北名校联盟高二下学期联考二 文科数学试题 本试卷共150 分，考试时间120 分钟． 第Ⅰ卷阅读题 独立性检验        2 2 n ad bc K a b c d a c b d       ，其中n a b c d  ．   2 0 P K k  0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 0 k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 一、选择题：（每小题5 分，共60 分．在每小题给出的个选项中，只有一项是符合 题目要求） 1. (1 )(2 ) i i    A. 3 i   B. 3 i   C. 3 i  D. 3 i  2. 对变量x, y 有观测数据理力争（ 1 x ， 1 y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测 数据（ 1 u ， 1 v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断． A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 3. 下列说法错误的是( ) A. 回归直线过样本点的中心( ) , x y B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C. 对分类变量X 与Y ，随机变量 2 K 的观测值k 越大，则判断“ X 与Y 有关系”的把握程度越小 D. 在回归直线方程 0.2 0.8 y x   中，当解释变量x 每增加1 个单位时，预报变量 y 平均增加 0.2 个单位 4. 下面使用类比推理正确的是（）． A. “若 3 3 a b ，则a b ”类推出“若 0 0 a b ，则a b ” B. “若  a b c ac bc    ”类推出“  a b c ac bc    ” C. “若  a b c ac bc    ”类推出“   0 a b a b c c c c     ” D. “  n n n ab a b  ”类推出“  n n n a b a b    ” 5. 已知x 与y 之间的一组数据： x 1 2 3 4 y 0. 5 3.2 4.8 7.5 若y 关于x 的线性回归方程为y bx a   $ $ $ ，则 a 的值为（） A. 1.25 B. -1.25 C. 1.65 D. -1.65 6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设i 为虚数单位，复数2 a i i   为纯虚数，则  a ． A. 2 B. -2 C. 1 2  D. 1 2 8. 观察 2 ' ( ) 2 x x  ， 4 ' 3 ( ) 4 x x  ， ' (cos ) sin x x  ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数 ( ) f x 满足 ( ) ( ) f x f x   ，记( ) g x 为 ( ) f x 的导函数，则( ) g x  = A. ( ) f x B. ( ) f x  C. ( ) g x D. ( ) g x  9. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 2 3 b ac a   ”索的因应是（ ） A. 0 a b   B. 0 a c   C. ( ) > 0 )( a b a c   D. ( ) < 0 )( a b a c   10. 若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是（ ） A. lg(1＋a2)＞0 B. a2＋b2≥2(a－b－1) C. a2＋3ab＞2b2 D. 1 1 a a b b    11. 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 等价条件 12. 通过随机询问110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 2 2 2 2 ( ) 110 (40 30 20 30) , 7.8 ( )( )( )( ) 60 50 60 50 n ad bc K K a b c d a c b d                算得 附表： 2 ( ) P K k  0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（） A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡上． 13. 已知函数 3 ( ) 2 f x x   ，则 (2) f  ______． 14. 将一颗质地均匀的 正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概率是_____. 15. 某公司招聘员工，甲、乙、丙、丁四人去应聘，最后只有一人被录用．关于应聘结果四人说 法如下：甲说“我没有被录用”；乙说“丙被录用”；丙说“丁被录用”；丁说“我没有被录用”，现知 道他们只有一人说的是真话．根据以上条件，可以判断被录用的人是______ 16. 若对任意 (1, ) x ，不等式 1 (ln 1) ln x x a x e x a     恒成立，则a 的范围__________． 三、解答题（本大题共6 小题，共70．0 分，第17 题10 分，其它每题12 分） 17. 在ABC  中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且      sin sin sin 3 a b A B C c b     . （1）求角A； （2）若ABC  的面积 2 3 ABC S  △ ，求a 的取值范围. 18. 在数列  n a 中， 1 2 a ， 1 2 1 n n n a a    （1）求证：数列  2n n a  为等差数列； （2）若数列 n b 满足 2 log ( 1 ) n n b a n   ，求证： 1 3 2 4 3 5 2 1 1 1 1 3 4 n n bb b b b b b b        . 19. 2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒 “热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从 该校一年级学生中抽取了100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 2 3 ，而男生有10 人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成2 2 列联表，并回答能否有90% 的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计 （2）已知在被调查的女生中有5 名数学系的学生，其中3 名对冰球有兴趣，现在从这5 名学生 中随机抽取3 人，求至少有2 人对冰球有兴趣的概率． 附表： 2 0 ( ) P K k  0.150 0.100 0.050 0. 025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc K a b c d a c b d       20. 定义在D 上的函数  f x ，若满足：对任意x D  ，存在常数 0 M  ，都有  f x M  成立， 则称  f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数  f x 的上界． （1）设  1  x f x x ，判断  f x 在 1 1 , 2 2       上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出  f x 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由； （2）若函数 1 1 1 3 9 x x f x a              在  0,上是以4 为上界的有界函数，求实数a 的取值 范围． 21. 定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当﹣1≤x＜0 时，f（x）= 2 4 1 x x   . （1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式； （2）当x∈（0，1]时，函数g（x）= 2 2 ( ) x x f x  ﹣m 有零点，试求实数m 的 取值范围． 22. 已知函数  5 3 sin 2 2sin cos 6 4 4 f x x x x                          ． （1）求函数  f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若 , 12 3 x        ，且   4 cos 4 3 F x f x x           的最小值是 3 2  ，求实数的值． 【1 题答案】 【答案】D 【2 题答案】 【答案】C 【3 题答案】 【答案】C 【4 题答案】 【答案】C 【5 题答案】 【答案】D 【6 题答案】 【答案】B 【7 题答案】 【答案】D 【8 题答案】 【答案】D 【9 题答案】 【答案】C 【10 题答案】 【答案】B 【11 题答案】 【答案】A 【12 题答案】 【答案】A 【13 题答案】 【答案】12 【14 题答案】 【答案】 1 9 【15 题答案】 【答案】甲 【16 题答案】 【答案】  1, 【17 题答案】 【答案】（1）30 ；（2） 2 a  【详解】（1）由已知结合正弦定理可得     3 a b a b c c b     ，即 2 2 2 3 b c a bc    ， 则由余弦定理可得 2 2 2 3 3 cos 2 2 2 b c bc A bc bc a      ，   0 ,180 A    ， 30 A   ； （2） 1 1 sin 2 3 2 4 ABC S bc A bc    △ ，则 8 4 3 bc  ， 由 2 2 2 3 2 3 4 a b c bc bc bc      ，当且仅当b c 时等号成立， 2 a  . 【详解】分析：（1）由   1 1 1 2 2 2 1 n n n n n n n a a a a          可得数列  2n n a  为首项 为0 ，公差为1 的等差数列，进而可得结果；（2 ）由（1 ）知： 2 1 n n a n   ，∴ 1 2n n a n   ，   2 2 log 1 log 2n n n b a n n    ， 2 1 1 1 2 n n b b n n           ，利用裂项相消 法求和，根据放缩法可得结论. 详解：（1）∵ 1 2 1 n n n a a   . ∴   1 1 1 2 2 2 1 n n n n n n n a a a a           又∵ 1 2 a ，∴ 1 2 0 a   ∴数列  2n n a  为首项为0，公差为1 的等差数列. （2）由（1）知： 2 1 n n a n   ，∴ 1 2n n a n   ∴   2 2 log 1 log 2n n n b a n n     ∴ 1 3 2 4 3 5 2 1 1 1 1 n n b b b b b b b b        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 4 3 5 1 1 2 n n n n                                                    1 1 1 1 1 2 2 1 2 n n             3 1 1 1 4 2 1 2 n n            ∵ * n N  ∴ 1 1 1 0 2 1 2 n n           ∴ 3 1 1 1 3 4 2 1 2 4 n n            ∴ 1 3 2 4 3 5 2 1 1 1 1 3 4 n n b b b b b b b b         【19 题答案】 【答案】（1）有（2） 7 10 p  【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 由列联表中的数据可得 因为 ， 所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”． (2)记5 人中对冰球有兴趣的3 人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2 人为m、n， 则从这5 人中随机抽取3 人，所有可能的情况为：（A,m,n）,（B,m,n）,（C,m,n）,（A,B,m）, （A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n）,（A,B,C），共10 种情况， 其中3 人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C），共1 种，2 人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m）, （A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n），共6 种， 所以至少2 人对冰球有兴趣的情况有7 种， 因此，所求概率为 7 10 P  ． 【20 题答案】 【答案】（1）是有界函数，理由见解析，  1,；（2）  6,2  . 【详解】 1 1 1 1 1 x f x x x     ， 则  f x 在 1 1 2 2        ， 上是增函数； 故  1 1 2 2 f f x f               ； 即  1 1 3 f x   ， 故  1 f x ，故  f x 是有界函数； 故  f x 的所有上界的值的集合是  1  ， ；  2 由题意知，  4 f x 对   0 x  ， 恒成立． 即：  4 4 f x   ，令 1 3 x t      ， 0 x   ，   01 t  ，， 所以 2 4 1 4 at t    ， 5 3 t a t t t          对   0 t  ，1 恒成立， 5 3 [ ] ( ) max min t a t t t           ， 设 5 h t t t        ， 3 p t t t  ，由   01 t  ，， 由于 h t 在   0 t  ，1 上递增， p t 在   0 t  ，1 上递减，  h t 在   0 t  ，1 上的最大值为 1 6 h  ，  p t 在   0 t  ，1 上的最小值为 1 2 p ， 实数a 的取值范围为  6 2 ，． 【21 题答案】 【答案】（1） 2 , 1 0 4 1 ( ) 0, 0 2 ,0 1 4 1 x x x x x f x x x                  ；（2）（1，3]. 试题解析： （1）∵f（x）在[﹣1，1]上的奇函数，∴f（0）=0， 设0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0， 故f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣ ）= ， 故 2 , 1 0 4 1 0, 0 2 ,0 1 4 1 x x x x x f x x x                  ； （2）当x∈（0，1]时，函数g（x）=  2 2 x x f x  ﹣m=4x+1﹣2x﹣m， 故m=4x+1﹣2x=（2x﹣ ）2+ ， ∵x∈（0，1]，∴2x∈（1，2]， ∴1＜4x+1﹣2x≤13， 故实数m 的取值范围为（1，3] 【22 题答案】 【答案】（1） ，   , 6 3 k k k Z              ；（2） 1 2  . 【详解】试题分析：（1 ）化简得  f x sin 2 6 x          2 2 T     ，又 2 2 2 2 6 2 k x k           单调增区间为   6 3 k k k              Z ， ；（2 ）化简得  F x 2 2 2 sin 2 1 2 6 x                     ．又 12 3 x         ，  0 2 6 2 x       0 sin 2 1 6 x           ．然后对 0  、0 1   和 1 分三种情况进行讨 论. 试题解析：（1）∵  5 3 sin 2 2sin cos 6 4 4 f x x x x                              1 3 cos2 sin 2 sin cos sin cos 2 2 x x x x x x      2 2 1 3 1 3 cos2 sin 2 sin cos cos2 sin 2 cos2 2 2 2 2 x x x x x x x     