2021-2022学年江苏省南通市海安高二期末数学考试

2021-2022 学年江苏省南通市海安高二期末考试 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分） 1. 若A6 3=m! A5 2，则m=() A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 根据样本点A(0,2.2)，B(2,4.4)，C(4 ,n)绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且 线性回归方程为y ̂ =0.65 x+2.5，则n=() A. 6.6 B. 5.1 C. 4.8 D. 3.8 3. 一个袋子中共有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，则 取到红球的个数的期望为() A. 3 4 B. 4 5 C. 5 4 D. 4 3 4. 第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在中国成功举行.已知从某高校4名男志 愿者，2名女志愿者中选出3人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者， 且仅有1名女志愿者入选，则不同的选择方案共有() A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 72种 5. 投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)分别如下表： 则下列说法正确的是() A. 投资甲种股票期望收益大 B. 投资乙种股票期望收益大 C. 投资甲种股票的风险更高 D. 投资乙种股票的风险更高 6. 在四面体OABC中，OA ⃗ =a ⃗，OB ⃗ =b ⃗，OC ⃗ =c ⃗，点D满足BD ⃗ =λ BC ⃗，E为AD的中 点，且OE ⃗ =1 2 a ⃗ + 1 4 b ⃗ + 1 4 c ⃗ ，则λ=( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 3 D. 2 3 7. 六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在 电器工业方面具有广泛用途.已知六氟化硫分子构型呈正八面体(每个面都是正三角形)， 如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形ABCD的一条边的条件 下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为()． A. 2 9 B. 4 9 C. 2 11 D. 4 11 8. 若(1+2 x) 3( x −2) 4=a0+a1 x+a2 x 2+⋯+a7 x 7，则a2+a4+a6=() A. −54 B. −43 C. −27 D. 54 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分） 9. 对于样本相关系数r，下列说法不正确的是() A. r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. r=0，成对样本数据没有任何相关关系 C. r刻画了样本点集中于某条直线的程度 D. 成对样本数据相关的正负性与r的符号(正负)相同 10. 已知a ⃗，b ⃗，c ⃗是空间的三个单位向量，下列说法正确的是() A. 若a ⃗ /¿b ⃗，b ⃗ /¿ c ⃗，则a ⃗ /¿ c ⃗ B. 若a ⃗，b ⃗，c ⃗两两共面，则a ⃗，b ⃗，c ⃗共面 C. 对于空间的任意一个向量p ⃗，总存在实数x，y，z，使得p ⃗ =x a ⃗ + y b ⃗ +z c ⃗ D. 若{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一组基底，则{a ⃗ +b ⃗ ,b ⃗ +c ⃗ ,c ⃗ +a ⃗ }也是空间的一组基底 11. 箱中共有包装相同的3件正品和2件赝品，从中不放回地依次抽取2件，用A表示“第 一次取到正品”，用B表示“第二次取到正品”，则() A. P( A )=P(B) B. P( AB)=P( A )P(B) C. P( A+B)=0.9 D. P(B∨A )=0.5 12. 在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，AB=AD=A A1， ∠A1 AB=∠A1 AD=∠DAB=60 ∘，点P在线段BC1上，则() A. AP⊥B1C B. P到A1B1和CD的距离相等 C. AP与A1B1所成角的余弦值最小为 ❑ √6 3 D. AP与平面ABCD所成角的正弦值最大为1 3 三、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 试写出一个点C的坐标： ，使之与点A(−1,1,0)，B(−1,0,1)三点共线． 14. 已知( x− 1 2❑ √x ) n的展开式中第3项和第4项的二项式系数相同，则展开式中x 2项的系 数为 ． 15. 请在下面两题中选择一题作答： 题1:设点A是抛物线C1: x 2=2 py( p>0)与双曲线C2: x 2−y 2=1在第一象限的唯一公 共点，点B，C分别是C1的准线与C2的两条渐近线的交点，则△ABC的面积为 ． 题2:已知球的体积V 和表面积S均是球半径R的函数，分别记为V ( R)，S( R).若球O 的半径R满足V ′( R)=3 S′( R)，点P到球心O的距离为1，过点P作平面α，则平面α 截球O所得截面圆的面积的最小值为 ． 16. 某商场共有三层，最初规划第一层为35家生活用品店，第二层为35家服装店，第三层 为30家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量(单位：家)统计如下表： 生活用品店 服装店 餐饮店 第一层 25 7 3 第二层 4 27 4 第三层 6 1 23 若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为 ;若从该商场 所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为 ． 四、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分） 17. 请在下面两题中选择一题作答： 题1:已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S5=25，求：(1) 数列{an}的通项公式;(2) 数列{ 1 anan+1 }的前n项和T n． 题2:在△ABC中，已知AB=3，AC=2❑ √3，B= π 3 ，点D在边BC上，且BD=1， 求： (1) AD; (2)sin(C −π 3 ). 18. 某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了100位学生进行调查，结果如 下： 回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女 生人数的3 7 ;在回答“不满意”的人中，女生人数占1 5． (1)请根据以上信息填写下面2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验， 判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关⋅ 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：χ 2= n(ad −bc) 2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n=a+b+c+d． (2)为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体 育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于60分为达标，超过96%的学生达标则 认为达标效果显著.已知这100名学生的测试成绩服从正态分布N (70,25)，试判断该 校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著⋅ 附：若X∽N ( μ,σ 2)，则P( μ−σ ≤X ≤μ+σ )≈0.6827， P( μ−2σ ≤X ≤μ+2σ )≈0.9545，P( μ−3σ ≤X ≤μ+3σ )≈0.9973． 19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB和△PAD均为正三角形，且边长为❑ √3， BC=CD=❑ √2，∠BAD=90 ∘，AC与BD交于点O．(1) 求证：BD⊥平面PAC ;(2) 求二面角P−CD−B的余弦值． 20. 已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左焦点F(−2,0)，右顶点A(3,0)． (1)求C的方程; (2)设B为C上一点(异于左、右顶点)，M为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OM 与直线l: x=−9 2交于点N，求证：AB⊥NF． 21. 已知函数f ( x)=x−x ln x−1． (1)证明：f ( x)≤0; (2)若e x≥ax+1，求a． 某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为p． (1)若p=0.9，从中随机取出2只鸡，记取到病鸡的只数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望; (2)对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡.方案如下：按每k(k ∈N ∗)只 鸡一组分组，并把同组的k只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组k只鸡 逐只化验.设每只鸡的化验次数为随机变量η，当且仅当2≤k ≤8时，η的数学期望E(η)<1， 求p的取值范围．