2021-2022学年江苏省南通市海安高二期末数学考试答案

2021-2022 学年江苏省南通市海安高二期末考试 答案和解析 1.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查排列公式的计算，属于基础题． 【解答】 解：由 A6 3=m! A5 2 ，则 m=3 ． 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了回归直线方程，属于基础题． 【解答】 解：由已知得 x=2, y=6.6+n 3 ， 而 a ¿ = y −b ¿ x ，所以 2.5=6.6+n 3 −0.65×2 ， 解得 n=4.8 ． 3.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题． 由题意知 X=0,1,2 ，再计算出概率可得其分布列，再利用数学期望计算公式即可得 出 【解答】 解：由题意可得取到红球的个数 X 的取值为： X=0,1,2 ， P( X=0)=C5 2 C8 2= 5 14 ， P( X=1)=C3 1C5 1 C8 2 =15 28 ， P( X=2)=C3 2C5 0 C8 2 = 3 28 ， X 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 E( X )=0× 5 14 +1× 15 28 +2× 3 28= 3 4 ． 故答案为 3 4 ． 4.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查排列组合的综合运用，属于基础题． 【解答】 解：由题意可得需要选 2 名男生， 1 名女生， 所以不同安排方案有 C4 2C2 1 A3 3=72 种 . 5.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了均值、方差与风险评估，属于基础题． 【解答】 解：甲收益的期望E( X )=−1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1， 方差D( X )=(−1−1.1) 2×0.1+(−1.1) 2×0.3+(2−1.1) 2×0.6=1.29， 乙收益的期望E(Y )=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1， 方差D(Y )=(0−1.1) 2×0.2+(1−1.1) 2×0.5+(2−1.1) 2×0.3=0.49， 所以E( X )=E(Y )，D( X )>D(Y )，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲 比投资股票乙的风险高． 6.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查空间向量的线性运算以及向量中点公式的应用，属于基础题． 【解答】 解： OE ⃗ =1 2 a ⃗ + 1 4 b ⃗ + 1 4 c ⃗ =1 2 OA ⃗ + 1 4 OB ⃗ + 1 4 OC ⃗ ， 其中 E 为中点，有 OE ⃗ =1 2 OA ⃗ + 1 2 OD ⃗ ，故可知 OD ⃗ =1 2 OB ⃗ + 1 2 OC ⃗ ， 则知 D 为 BC 的中点，故点 D 满足 BD ⃗ =1 2 BC ⃗ ， λ=1 2 ． 7.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查利用空间线线的位置关系求解概率，属于中档题． 【解答】 解：根据题意可得，假设四边形 ABCD 取 AB ，则与 AB 异面的直线为 CE ， DE ， CF ， DF ，同理可得 BC ， CD ， AD 的异面直线，则 p=2×4×2 11×4 = 4 11 ． 8.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了指定项的系数与二项式系数，属于中档题． 【解答】 解：令 x=1 可得： a0+a1+a2+⋯+a7=(1+2) 3(1−2) 4=27 ， 令 x=−1 可得： a0−a1+a2+⋯−a7=(1−2) 3(−1−2) 4=−81 ， 两式相加可得： 2(a0+a2+a4+a6)=−54 ， 所以 a0+a2+a4+a6=−27 ， 令 x=0 可得 a0=(1+0) 3(0−2) 4=16 ， 所以 a2+a4+a6=−27−a0=−43 ． 9.【答案】AB 【解析】 【分析】 本题考查了相关系数的概念，属于基础题． 相关系数是一个绝对值小于等于 1 的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大， 得到结论． 【解答】 解：相关系数是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的 . 相关系数是一个绝对值小 于等于 1 的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以 A 不正确， 相关系数为 0 说明两变量不存在直线相关关系，但这并不意味着两个变量之间不存在 其他类型的关系，故 B 不正确， C 与 D 的阐述均正确． 10.【答案】AD 【解析】 【分析】 本题考查空间向量的判断，属于中档题． 【解答】 解： a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 是空间的三个单位向量， 由 a ⃗ /¿b ⃗ ， b ⃗ /¿ c ⃗ ， 则 a ⃗ /¿ c ⃗ ，故 A 正确． a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 两两共面，但是 a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 不一定共面，故 B 错误． 由空间向量基本定理，可知只有当 a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 不共面，才能作为基底，得到后面的结 论，故 C 错误 ; 若 {a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ } 是空间的一组基底， 则 a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 不共面，可知 {a ⃗ +b ⃗ ,b ⃗ +c ⃗ ,c ⃗ +a ⃗ } 也 不共面，所以 {a ⃗ +b ⃗ ,b ⃗ +c ⃗ ,c ⃗ +a ⃗ } 也是空间的一组基底，故 D 正确． 11.【答案】ACD 【解析】 【分析】 本题考查了条件概率的计算，属于基础题． 【解答】 解： ∵P( A)=3 5 ， P( AB)=3 5 × 2 4 = 3 10 ， P( A B)=2 5 × 3 4 = 3 10 ， ∵P(B)=P( AB)+P( A B)= 3 10 + 3 10=3 5 ，故 A 选项对； ∵P( A)P(B)=3 5 × 3 5 ≠P( AB) ，故 B 选项错； ∵P( A+B)=P( A )+P(B)−P( AB)=0.9 ，故 C 选项正确； ∵P(B∨A )= P( AB) P( A ) = 3 10 3 5 =0.5 ，故 D 选项正确． 12.【答案】BCD 【解析】 【分析】 本题考查了空间向量数量积运算性质、利用空间向量求线线角问题，考查了空间想象 能力，推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】 解：若 AP⊥B1C , 且 B1C ⊥BC1,B1C ⊥BP ， AP∩BC1=P ，可知 B1C ⊥ 面 APB ，则 B1C ⊥ 面 ABC1 D1 ，显然矛盾，故错误 ; 对于选项 B ，其中 P 点在线段 BC1 上， BC1 平分 ∠B1BC ，且 BC1⊥B1C ，可 知 BC1 上所有点到 A1B1 与 CD 的距离相等，故 B 正确 ; 设平行六面体 ABCD−A1B1C1 D1 的边长为 a ， 易得 AC=❑ √3a ，其中 |A C1 ⃗|=|AB ⃗ +BC ⃗ +C C1 ⃗| ，可得 |A C1 ⃗|= ❑ √|AB ⃗| 2 +|BC ⃗| 2 +|C C1 ⃗| 2 +2 AB ⃗ ·BC ⃗ +2 AB ⃗ ·C C1 ⃗ +2BC ⃗ ·C C1 ⃗ =❑ √6a ， 当 P 点运动到 C1 点处时，此时 AP 与 A1B1 所成角的余弦值最小， cos∠C1 AB= (❑ √6a) 2+(a) 2−(❑ √3a) 2 2×❑ √6a×a = ❑ √6 3 ，故 C 正确； 当 P 点运动到 C1 点处时，此时 AP 与平面 ABCD 所成角的正弦值最大， 则有 cos∠C1 AC= (❑ √6a) 2+(❑ √3a) 2−a 2 2×❑ √6a×❑ √3a =2❑ √2 3 ，故正弦值最大为 1 3 ， D 选项正 确． 13.【答案】(−1, 1 2 , 1 2 )(注：答案不唯一，形如(−1,m,n)(m+n=1)均正确) 【解析】 【分析】 本题考查空间向量的共线，属于基础题． 【解答】 解：根据题意可得，设 C( x , y , z) ，则设 AB ⃗ =λ AC ⃗ ， 故 x=−1, y+z=1 ，则 C(−1, 1 2 , 1 2) ． 14.【答案】5 2 【解析】 【分析】 本题考查了二项展开式及其通项，属于基础题． 【解答】 解：由已知可得Cn 2=Cn 3，所以n=5， 则二项式 ( x− 1 2❑ √x ) 5 的展开式的通项公式为 T r+1=C5 r x 5−r(− 1 2❑ √x ) r=¿ C5 r(−1 2 ) r· x 5−3 2 r ， 令5−3 2 r=2，解得r=2， 所以展开式中x 2的系数为C5 2·(−1 2 ) 2=¿ 5 2 ． 15.【答案】3 4 35 π 【解析】 【分析】 题 1 考查抛物线与双曲线的性质，为中档题； 题 2 考查球中的截面问题，求出 R ，再计算出截面圆的半径即可算出截面圆面积的最 小值． 【解答】 解：选择题 1 ： 因为抛物线 C1: x 2=2 py( p>0) 与双曲线 C2: x 2−y 2=1 在第一象限只有唯一公共点， 将 x 2=2 py( p>0) 带入 x 2−y 2=1 内，有 y 2−2 py+1=0 ， Δ=4 p 2−4=0 ，解 得 p=1 ． 可得点 A (❑ √2,1) ，双曲线的渐近线方程为 y=± x ，可知 B(−1 2 ,−1 2) ， C( 1 2 ,−1 2) ， 则 △ABC 的面积 S=1 2 ×(1+ 1 2)×( 1 2 + 1 2)= 3 4 ， 选择题 2 ： V ′ (R )=( 4 3 π R 3)′=4 π R 2 ， 3 S′ (R )=3×(4 π R 2)′=3×8 πR=24 πR ， 其中 V ′( R)=3 S′( R) ，可得 R=6 ，故截面圆半径的最小值为 ❑ √R 2−1=❑ √35 ， 则截面圆面积的最小值为 35 π ． 16.【答案】5 7 3 4 【解析】 【分析】 本题考查古典概型，属于基础题． 根据条件结合古典概型概率公式直接计算即可得到答案． 【解答】 解：若从第一层店铺中随机抽一家， 则该店铺与最初规划一致的概率为 25 35=5 7 ， 若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为 25+27+23 100 = 3 4 ． 17.【答案】解：若选题1， (1)设等差数列an的公差为d，则S5=5a1+ 5×4 2 d=5×1+10d=25，所以d=2． 所以an=1+(n−1)×2=2n−1， (2)由(1)知， 1 anan+1 = 1 (2n−1)(2n+1)=1 2 ( 1 2n−1 − 1 2n+1 )， 所以T n=1 2 ×( 1 1 −1 3 + 1 3 −1 5 +⋯+ 1 2n−1 − 1 2n+1 )=1 2 ×(1− 1 2n+1 )= n 2n+1， 解：(1)在△ABD中，由余弦定理A D 2=A B 2+D B 2−2× AB× DB×cos B， 得A D 2=3 2+1 2−2×3×1×cos π 3 =7，所以AD=❑ √7; (2)在△ABC中，由正弦定理AB sinC = AC sin B ， 得sinC= AB AC ×sin B= 3 2❑ √3 ×sin π 3 = 3 4 ， 在△ABC中，由AB< AC , 知0<C<B< π 2 ， 所以cosC>0，故cosC= ❑ √1−sin 2C= ❑ √7 4 ． 所以sin(C −π 3 )=sinC ⋅cos π 3 −cosC ⋅sin π 3 =3−❑ √21 8 ． 【解析】题1考查了等差数列求通项，裂项相消，属于中档题． 题2考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，属于中档题． 18.【答案】解：(1)补充2×2列联表如图： 满意 不满意 合计 男生 15 40 55 女生 35 10 45 合计 50 50 100 零假设为H 0:学生对于体育锻炼时长的满意度与性别没有关联． 则χ 2=100×(15×10−35×40) 2 55×45×50×50 =2500 99 ≈25.25>10.828=x0.001， 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为学生对于体育锻炼 时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． (2)因为学生的测试成绩服从正态分布N (70,25)，所以μ=70，σ=5，且 60=70−2×5， 所以P( X ≥60)=1−P( X<60) ¿1−1−P(60≤X ≤80) 2 ¿1−1−0.9545 2 ¿0.97725>0.96． 答：该校增加锻炼时长后达标效果显著． 【解析】本题考查独立性检验与正态分布性质的运用，为中档题． 19.【答案】证明：(1)因为△PAB和△PAD均为正三角形，所以AB=AD． 又BC=CD，所以AC为BD的中垂线． 所以O为BD的中点． 又PB=PD，所以PO⊥BD． 又AC ∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC．(2) 因为∠BAD=90 ∘，O为BD的中点，所以AO=OB=OD． 又因为PA=PB=PD，所以△PAO，△PBO，△PDO为全等三角形． 所以∠POA=∠POB=∠POD=90 ∘，所以PO⊥AC． 结合(1)知，不妨以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系O−xyz，则B( ❑ √6 2 ,0,0)，D(− ❑ √6 2 ,0,0)，C(0, ❑ √2 2 ,0)， P(0,0, ❑ √6 2 )，所以DC ⃗ =( ❑ √6 2 , ❑ √2 2 ,0)，DP ⃗ =( ❑ √6 2 ,0, ❑ √6 2 )，OP ⃗ =(0,0, ❑ √6 2 ). 设平面PCD的一个法向量为n ⃗ =( x , y , z)， 则n ⃗ ⋅DC ⃗ =0，n ⃗ ⋅DP ⃗ =0， 故 ❑ √6 2 x+ ❑ √2 2 y=0， ❑ √6 2 x+ ❑ √6 2 z=0， 令x=1，则y=−❑ √3，z=−1， 所以n ⃗ =(1,−❑ √3,−1)． 设二面角P−CD−B的大小为θ， 则¿cosθ∨¿∨cos<n ⃗，OP ⃗ >¿=| n ⃗ ·OP ⃗ |n ⃗|·|OP ⃗|| =¿ − ❑ √6 2 ❑ √5× ❑ √6 2 ∨¿ ❑ √5 5 ． 又二面角P−CD−B为锐二面角，所以二面角P−CD−B的余弦值为 ❑ √5 5 ． 【解析】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求解二面角，属于中档题． 20.【答案】解：(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0)． 因为椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左焦点F(−2,0)，右顶点A(3,0)， 所以a=3，c=2． 所以b 2=a 2−c 2=5，故C 的方程为：x 2 9 + y 2 5 =1； (2)设点B( x0, y0)( x0>0, y0>0)，且x0 2 9 + y0 2 5 =1， 因为M为线段AB的中点，所以M ( x0+3 2 , y0 2 )， 所以直线OM的方程为：y= y0 x0+3 x， 令x=−9 2，得y=− 9 y0 2( x0+3)，所以点N (−9 2 ,− 9 y0 2( x0+3) )， 此时，NF ⃗ =( 5 2 , 9 y0 2( x0+3) )，AB ⃗ =( x0−3, y0)， 所以AB ⃗ ⋅NF ⃗ =5 2 ( x0−3)+ 9 y0 2 2( x0+3) ¿ 5 2 ( x0−3)+ 5(9−x0 2) 2( x0+3) ¿ 5 2 ( x0−3)+ 5 2 (3−x0) ¿0， 所以AB ⃗ ⊥NF ⃗，所以AB⊥NF． 【解析】本题考查了椭圆的标准方程，利用向量求椭圆的相关问题，属于中档题． 21.【答案】证明：(1)f ( x)=x−x ln x−1的定义域为(0,+∞)，且 f ′( x)=1−(ln x+x⋅1 x )=−ln x . 令f ′( x)=0，得x=1． 当0<x<1时，f ′( x)>0，f ( x)单调递增; 当x>1时，f ′( x)<0，f ( x)单调递减， 所以f ( x)max=f (1)=0，所以f ( x)≤0. (2)令g( x)=e x−ax−1，则g′( x)=e x−a． 当a≤0时，有g(−1)=1 e −1+a<0，与题设矛盾，故舍去． 当a>0时，令g′( x)=0，得x=ln a. 当x<ln a时，g′( x)<0，g( x)单调递减;当x>ln a时，g′( x)>0，g( x)单调递增， 所以g( x)min=g(ln a)=a−aln a−1≥0. 由(1)知，a−a ln a−1≤0(当且仅当a=1时，取等号)， 所以a−aln a−1=0，所以a=1． 【解析】问题(1)考查利用导数证明不等式成立，问题(2)不等式成立求参数的范围， 为中档题． 22.【答案】解：(1)依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2． 且P(ξ=0)=C2 0×0.9 0×0.1 2=0.01， P(ξ=1)=C2 1×0.9×0.1=0.18， P(ξ=2)=C2 2×0.9 2×0.1 0=0.81， 所以ξ的概率分布表为 ξ 0 1 2 P 0.01 0.18 0.81 所以E(ξ)=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8．(2) 设q=1−p． 若同一组的k只鸡无感染，则η=1 k ;否则，η=1 k +1． 所以P(η=1 k )=q k，P(η=1 k +1)=1−q k． 所以E(η)=1 k q k+( 1 k +1)(1−q k)=1 k +1−q k