浙江省宁波市慈溪市2021-2022学年高一下学期期末考试 数学

慈溪市2021 学年第二学期高一期末测试 高中数学学科试题 一､选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.） 1. 复数 的虚部为（） A. 1 B. C. D. 【答案】B 2. 已知向量 ，若 ，则 （） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 3. 若把数据 ，改变为 ，则它们的（） A. 平均数与方差均不改变 B. 平均数改变，方差保持不变 C. 平均数不变，方差改变 D. 平均数与方差均改变 【答案】B 4. 已知两条不重合的直线 ，平面 ，（） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 5. 若经研究得出某地10 名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为 ，则 这10 个数据的第80 百分位数是（） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 6. 若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为（） A. B. C. D. 【答案】D 7. 在 中，设 ，若 ，则 的最大值为（） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 8. 在三棱锥 中， 平面 ，且 ，若球 在三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球 为三棱锥 的内切球），则球 的表面积为（） A. B. C. D. 【答案】A 二､多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分.） 9. 某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件 “只选择甲兴趣班"， =“至少 选择一个兴趣班”， =“至多选择一个兴趣班”， “一个兴趣班都不选”，则（） A. 与 是互斥事件 B. 与 既是互斥事件也是对立事件 C. 与 不是互斥事件 D. 与 是互斥事件 【答案】BC 10. 若复数 满足： 为 的共轭复数，则（） A. B. C. 在复平面对应的点位于第二象限 D. 是纯虚数 【答案】ABD 11. 如图，在长方体 中， ， 在线段 上运动，则（） A. 平面 平面 B. 存在 点 ，使得 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 12. 已知关于向量 的方程： ，其中向量 ，则（） A. 关于向量 的方程的解为 （因为 ） B. 向量 与 的夹角是锐角 C. 满足该方程的向量 有无穷个 D. 【答案】CD 三､填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13. 已知向量 、 满足 ， ，则 ___________. 【答案】 14. 给出下列关于“用样本估计总体”中的四个结论： ①中位数对极端值不敏感； ②若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生变化； ③标准差的大小不会超过极差； ④方差越小，说明这组数据越集中. 其中，正确的结论是___________.（用序号表示，把你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】①③④ 15. 宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍，建于清同治十一年（公元1872 年）.光绪二十五年（1899 年）增建钟楼，整座建筑由教堂､钟楼､偏屋组成，造型具有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成 由一个正四棱锥和一个正方体所组成的几何体，若正四棱锥的侧棱长､底面边长与正方体的棱长均为 ， 则顶端部分的体积为_____________ 【答案】 ## 16. 设复平面内的不同三点 对应复数分别为 ，若 （是虚数单位），则 的值为___________. 【答案】 四､解答题（本题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.） 17. 已知向量 满足， ，且 . （1）求 ； （2）设向量 ，记 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 18. 某校数学期末考试中有8 道单项选择题，满分40 分，每道题有4 个选项，其中有且仅有一个是正确的， 评分标准规定：答对得5 分，不答或者答错得0 分.某考生每道选择题都选出了一个答案，能确定其中有4 道题的答案是正确的，而其余4 题中，有一道题可以排除两个错误选项，有两道题都能排除一个错误选项， 还有一道题因题意理解不清，只能随机猜测. （1）求该考生得满分40 分的概率； （2）问该考生得多少分的概率最大？ 【答案】（1） ； （2）该考生得25 分的概率最大. 19. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 是等腰三角形且 为 的中点， 在 上且 底面 . （1）求证： 侧面 ； （2）当底面 为正方形且侧面 为等边三角形时，求二面角 的平面角 的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【小问1 详解】 因为 是等腰三角形且 ，M 为PD 的中点，所以 ，因为 侧面 ，且 底面 ， 所以侧面 底面 ，因为 ，所以 侧面 ，因为 侧面 ，所以 ， 因为DC， 侧面 ，且 ，所以 侧面 . 【小问2 详解】 连接AC，过O 作 ，交 于点N，因为 是正方形，所以 ，所以 ， 又因为 底面 ， 底面 ，所以 ，又 平面 ， ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，所以 ，不妨设等边三角形 的边长为2， 则 ， ，所以在直角三角形 中， . 20. 核酸检测的物质是病毒的核酸.核酸检测是查找患者的呼吸道标本中是否存在外来入侵的病毒的核酸， 来确定是否被新冠病毒感染.新冠病毒感染人体之后，首先会在呼吸道系统中进行繁殖，因此可以通过检测 痰液，鼻咽拭子中的病毒核酸，来判断人体是否感染病毒.所以说，核酸检测阳性可以作为新型冠状病毒感 染确诊的标准.为了解某核酸检测点检测人群的排队等待时间，随机调查了该检测点某天检测的100 人，制 成如下频率分布直方图. （1）求样本中等待时间大于15 分钟的人数及 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100 名检测者等待时间的 （i）中位数（结果用分数表示）； （ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表） 【答案】（1） 人， （2）（i） ；（ii） 21. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 是锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围. 【答案】（1） ； （2） 22. 如图，在多面体 中， ， ，平面 平 面 是棱 上一点. （1）求证： ； （2）若 ，求证： 平面 ； （3）若 平面 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3） 【小问1 详解】 连接AC，交BD 于点O，连接OP，在 中， ，所以 ， 又 ，可知 是等腰直角三角形，且 ，所以 ， 即 ，又 ，所以 ； 【小问2 详解】 由（1）显然知 与 相似，所以 ，又 ， 所以 ，又因为 平面PBD， 平面PBD，所以 平面PBD； 【小问3 详解】 取CD 中点M，连接AM 交BD 于点N，连接PN，则 ，且 ，所以四边形 是平 行四边形， 则 ，N 为BD 中点， .因为SA⊥平面PBD，所以直线PN 是直线AM 在平面PBD 内的射影， 所以 是直线 与平面 所成的角，即为直线BC 与平面PBD 所成角的平面角. 过点A 作 ，垂足为E，连接SE，PE，在等腰直角 中， ，所以 ， 因为平面 平面ABCD，交线为BD， 平面 ，所以 平面SBD，又 平面 ， 所以 ，所以 ，在直角 中，由 平面 ， 平面 ， 则 ， ，可求得 ，所以 .所以直线BC 与平面PBD 所成角 的正弦值