福建省福州市2021-2022学年高一下学期期中质量抽测数学试题

2021-2022 学年第二学期福州市高一期中质量抽测 数学试卷 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位，越界答题! ─、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 复数1 i 的共轭复数为（） A. 1 i   B. 1 i  C. 1 i  D. 1 i  2. 已知向量     1, 1 , ,2 a m b m      ，若a b    ，则实数 = m （） A. 2 B. 2 3 C. -1 D. -2 3. 已知为锐角，且 1 sin 4 2           ，则cos 4           （） A. 1 2 B. 1 2  C. 3 2 D. 3 2  4. 在四边形ABCD 中，若AB DC  � ，且AB AD AB AD    � ，则该四边形一定是（） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形 5. 0 b 是复数 i( , R) a b a b   为虚数的（） A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 6. 多项式 2 2 4 x x   在复数集中因式分解的 结果是（） A.    1 3i 1 3i x x   B.    1 3i 1 3i x x    C.    1 3i 1 3i x x     D.    1 3i 1 3i x x    7. 在边长为2 的正方形ABCD 中，点E 为边BC 上的动点，点F 为边CD 上的动点，且DF CE  ， 则BF EF  � 的最小值为（） A. 3 B. 5 C. -1 D. 0 8. 已知 2 3 lg2, log 3, log 4 a b c    ，则a，b，c 的大小关系为（） A. a b c   B. a b c   C. a c b   D. c a b   二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选 对的得2 分，有选错的得0 分 9. 已知函数 1, 0 0, 0 1, 0 x s x x x          ，则函数   h x s x x   的零点是（） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知函数  f x 是定义在R 上的偶函数，当 0 x 时  2 2 f x x x   ，则（） A.  f x 的最小值为-1 B.  f x 在  2,0  上单调递减 C.  0 f x  的解集为    , 2 2,       D. 存在实数x 满足     2 0 f x f x     11. 在 直角坐标系xOy 中，已知点        1,1 , 2,3 , 3,2 , , , A B C OP mAB nAC m n   R � ，则 （） A. 若OP BC � ∥ ，则 0 m n   B. 若点P 在BC 上，则 1 m n   C. 若 0 PA PB PC    � ，则 0   m n D. 若AP � 在AC � 方向上的 投影向量是  2,1 ，则 1 m n   12. 在ABC  中，三个角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， 1 sin sin sin 8 A B C  ，ABC  的 面积为2，则（） A. 16 2 abc  B. 若 2 a  ，则 3 A   C. ABC  外接圆半径 2 2 R  D. 2 1 1 32sin sin sin C A B         三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 已知a，bR ，i 是虚数单位，若 i 1 i a b  ，则 2 ( i) a b  _________． 14. 已知向量, a b  的夹角为60°， 2 2 3, 1 a b b     ，则a   __________． 15. 在ABC  中，三个角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 2, 3 a A    ，则ABC  周长的 最大值为__________． 16. 如图，半圆O 的半径为1，A 为直径所在直线上的一点，且 2 OA  ，B 为半圆弧上的动点． 将线段AB 绕点A 顺时针旋转2  得到线段AC，则线段OC 长度的最大值是__________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在ABC  中，已知 2, 5, 60 AB AC BAC      ，BC，AC 边上的中线AM，BN 相交于点 P．设 , AB a AC b   � ． （1）用, a b  表示BN � ； （2）求AP � ． 19. 在复平面内，已知正方形ABCD 的三个顶点A，B，C 对应的复数分别是1 i,2 3i,6 2i    ． （1）求点D 对应的复数； （2）若________，求TA TB TC   � 对应的复数． 在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分． ①点T 是ABC  的垂心． ②点T 是ABC  的外心． 21. 已知向量 3 1 ,cos 2 , sin 2 , 2 3 2 a x b x                            ，设  f x a b    ． （1）求  f x 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式  0 f x m  在 , 12 2         恒成立，求m 的取值范围． 23. 在锐角ABC  中，三个角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知   2 cos 2 2 2cos 0 A B C   ， 2 15 a b   ，且ABC  的外接圆半径为2 3 ． （1）求角C； （2）求AB 边上的高h． 25. 函数  f x 的定义域为  0,   ，且存在唯一常数 0 k  ，使得对于任意的x 总有    1 f kx f x k   ，成立． （1）若  1 0 f ，求  1 f k f k       ； （2）求证：函数 ln g x x  符合题设条件． 27. 在ABC  中，向量等式AC AB BC   � 或 0 AB BC CA    u u u r u u u r u u r ，沟通了几何与代数的联系， 利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性． （1）如图，ABC  的三个角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．设向量e  为ABC  在平面的一 个单位向量，记向量e 与AB � 的夹角为．现构造等式 e 0 AB BC CA    u u u r u u u r u u r r ，据此，请你探 究 0 及 2   时ABC  的边和角之间的等量关系； （2）已知AD 是ABC  的角平分线，请你用向量法证明： AB BD AC CD  【1 题答案】 【答案】D 【2 题答案】 【答案】B 【3 题答案】 【答案】C 【4 题答案】 【答案】C 【5 题答案】 【答案】C 【6 题答案】 【答案】A 【7 题答案】 【答案】A 【8 题答案】 【答案】C 【9 题答案】 【答案】ABC 【10 题答案】 【答案】ACD 【11 题答案】 【答案】AC 【12 题答案】 【答案】ACD 【13 题答案】 【答案】2i  【14 题答案】 【答案】2 【15 题答案】 【答案】6 【16 题答案】 【答案】3 【17 题答案】 【答案】（1） 1 2 BN b a   � （2） 39 3 【小问1 详解】 1 2 BN AN AB b a     � ； 【小问2 详解】 因为AM，BN 分别为BC，AC 边上的中线 所以点P 为ABC  的重心，则 3 2 AP AM  � 由于     1 1 2 2 AM AB AC a b     � 所以   2 1 3 3 AP AM a b    � ， 2 2 1 1 1 39 2 4 2 2 5 cos60 25 3 3 3 3 AP a b a a b b          � ． 【19 题答案】 【小问1 详解】 因为点A，B，C 对应的复数分别是1 i,2 3i,6 2i    ， 所以  1,1 A ,   2, 3 B  ,   6, 2 C  ,所以   1, 4 AB   � . 设   , D x y ，则   6 , 2 DC x y     � . 因为ABCD 为正方形，所以AB DC  � ，所以 6 1 2 4 x y        ，解得： 5 2 x y      ， 所以   5,2 D ，即点D 对应的复数5 2i  . 【小问2 详解】 选①：因为ABC  为直角三角形，且B 为直角顶点， 所以ABC  的垂心为B,即  2, 3 T  , 所以       1,4 , 0,0 , 4,1 , TA TB TC    � 所以      1,4 0,0 4,1 3,5 TA TB TC       � , 对应的复数为3 5i  ； 选②：因为ABC  为直角三角形，且B 为直角顶点， 所以ABC  的外心为斜边AC 的中点,即 7 1 , 2 2 T       . 所以 5 3 3 5 5 3 , , , , , , 2 2 2 2 2 2 TA TB TC                        � 所以 5 3 3 5 5 3 3 5 , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 TA TB TC                                  � , 对应的复数为 3 5 i 2 2   . 【21 题答案】 【答案】（1）   , , Z 6 3 k k k               （2） 1 , 2       【小问1 详解】 因为向量 3 1 ,cos 2 , sin 2 , 2 3 2 a x b x                            ，且  f x a b    ， 所以  3 1 sin 2 cos 2 2 2 3 f x a b x x             3 1 sin2 cos2 4 4 x x   1 sin 2 2 6 x         . 要求  f x 的单调递增区间，只需 2 2 2 , Z 2 6 2 k x k k             , 解得： , Z 6 3 k x k k          ，即  f x 的单调递增区间为   , , Z 6 3 k k k               . 【小问2 详解】 因为关于x 的不等式  0 f x m  在 , 12 2         恒成立，所以 max m f x  . 由（1）可知，  f x 在   , , Z 6 3 k k k               上单调递增，所以  f x 在 , 12 3         上单 增，在 , 3 2       上单减， 所以 max 1 1 sin 2 3 2 3 6 2 f x f                     ，所以 1 2 m  . 故m 的取值范围是 1 , 2      . 【23 题答案】 【答案】（1）3  （2） 2 3 3 【小问1 详解】 由   2 cos 2 2 2cos 0 A B C   得   2 2 2cos 1 2cos 0 A B C     则 2 2 2cos 1 2cos 0 C C   ，因为 0, 2 C       ，则 1 cos 2 C  ， 3 C   ； 【小问2 详解】 由正弦定理得 2 4 3 sin c R C   ，所以 4 3sin 4 3sin 6 3 c C     由余弦定理得   2 2 2 2 2 36 1 cos 2 2 2 a b ab a b c C ab ab         ，又 2 15 a b   ，所以 8 ab ； 由 1 1 sin 2 2 ABC S ab C ch    ，得 3 8 sin 2 3 2 6 3 ab C h c     ． 【25 题答案】 【小问1 详解】 解：因为    1 f kx f x k   ，所以   1 1 f k f k   ， 又  1 0 f ，所以  1 f k k  ，又  1 1 1 1 f f k f k k k                 ，所以 1 1 f k k        ， 所以  1 1 1 0 f k f k k k           【小问2 详解】 解：因为 ln g x x  的定义域为  0,   ， 假设存在常数 0 0 k  满足   0 0 1 g k x g x k   ，即   0 0 1 ln ln k x x k   ，所以 0 0 1 ln k k  ， 设 1 ln h x x x   ，显然 h x 在  0,   上单调递增，又 1 1 ln1 1 0 1 h     ，  1 1 e ln e 1 0 e e h     ， 所以存在唯一的常数   0 1,e k  使得 0 0 0 1 ln 0 h k k k    ，即存在唯一的常数   0 1,e k  使得 函数 ln g x x  符合题设条件； 【27 题答案】 【小问1 详解】 0  时， e AB AB  u u u r r u u u r ,则    e 0 AB BC CA AB BC A A B AB C        u u u r u u u r u u r r u u u r u u u r u u u r u u u u r ur 即 2 0 AB AB BC AB CA AB AB AB      u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r , 即     cos cos 0 AB BC B AB CA A AB AB AB          u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r 即 cos cos 0 AB BC B CA A    u u u r u u u r u u r , 即 cos cos AB BC B CA A   u u u r u u u r u u r 当 2   时，e 0 AB   r u u u r ，由 e 0 AB BC CA    u u u r u u u r u u r r 则 e 0 BC CA   u u u r u u r r ，即 e e 0 BC CA   u u u r r u u r r 则 cos cos 0 2 2 BC B CA A                   u u u r u u r 或 cos cos 0 2 2 BC B CA A                   u u u r u u r 所以 sin sin BC B CA A  u u u r u u r ,即 sin sin BC CA A B  u u u r u u r 【小问2 详解】 设e AD  r u u u r ，如图，设 CAD    ,则e, , e, 2 2 AB AC         r u u u r r u u u r 所以 cos e 2 e cos 2 AB AB AB AC AC AC                         u u u r u u u r u u u r r u u u r r u u u r u u u r 设e, , e, DB DC      �        e cos e e e e cos e AD DB DB DB AB DB AC DC DC DC AD DC    