黑龙江省哈尔滨市第六中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题(1)

1 高二数学试题 第 页 共3 页 哈尔滨市第六中学2020 级9 月份阶段性总结 高二数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求． 1．总体由编号01，02，…，29，30 的30 个个体组成．利用下面的随机数表选取5 个个体，选取方法是从如 下随机数表的第1 行的第6 列和第7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6 个个体的编号为 （ ） 第1 行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第2 行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A．27 B．26 C．25 D．19 2.已知一组数据 的方差是1，那么另一组数据 ， ， ， ， ， 的方差是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．从3 名男老师和4 名女老师中任选3 名老师，那么互斥而不对立的事件是（ ） A．至少有一名男老师与都是男老师 B．至少有一名男老师与都是女老师 C．恰有一名男老师与恰有两名男老师 D．至少有一名男老师与至少有一名女老师 4．某项密码破译工作需甲、乙、丙、丁四人完成，已知每人独立译出密码的概率为0.6，若二人合为一组则该 组破译的概率为0.9，现分为两组每组两人，两组独立翻译，则密码能被译出的概率是（ ） A. 0.18 B. 0.54 C. 0.81 D. 0.99 5.环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是 0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是( ) A. 0.4 B. 0.25 C. 0.1 D. 0.05 6．设离散型随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量Y =|X−1|，则P(Y =1)等于（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 7．一袋中装有除颜色外完全相同的3 个黑球和3 个红球，从袋中任取2 球．已知取出的2 球中有黑球，则取 出的两个球都是黑球的概率为（ ） A. 1 4 B. 1 5 C. 1 2 D. 2 5 8.某市有 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 的概率为 ，游览 和 的概率都 是 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量 表示该游客游览的景点的个数，则下列判断不正 确的是( ) A.游客至多游览一个景点的概率是 17 24 B. C. P( X=4)= 1 12 D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目 要求,全部选对得5 分，有错选得0 分，部分选对得3 分. 9.下图是2020 年2 月15 日至3 月2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图.则下列说法正确的是( ) A.2020 年2 月19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B.武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C.2020 年2 月19 日至3 月2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400 人的有8 天 D.2020 年2 月15 日到3 月2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多1549 人 10．某工厂生产A､B､C 三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为5：3：2，现用分层抽样方法抽出一个 容量为n 的样本，样本中B 型号产品有24 件，则（ ） A．此样本的容量n 为20 B．此样本的容量n 为80 C．样本中A 型号产品有40 件 D．样本中A 型号产品有16 件 11．为了认真贯彻落实关于做好中小学生“停课不停学”工作要 求，各校 以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极 开展工作， 并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自 主学习和 锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100 人，获得了他 们一天中 用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3)，[3，4)， [4， 5)，...，[8，9)，[9，10)（单位：小时）的数据，整理得到的 数据绘制 成频率分布直方图（如图）. 由图中数据估计可以得出如下结论，其中正确的是（ ） A.抽取的100 人中，任取一名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6)的概率为0.2 B.抽取的100 人中，用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的90 百分位数为7.5. C.抽取的100 人中，用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为6.5. D.该校高三年级所有学生中，用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5. 12．甲口袋中有3 个红球，2 个白球和1 个黑球，乙口袋中有3 个红球，2 个白球和3 个黑球，先从甲口袋中 随机取出2 球放入乙口袋，记 “从甲袋中取出的两球中含有个红球”的事件(i=0,1,2)；再从乙口袋中 随机取出一球，以 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A P(B)=13 25 B． P(B|A2)= 1 10 C．事件A1与事件 相互独立 D．A0, A1, A2是两两互斥的事件 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13.甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，3 局2 胜制(每局都分出胜负)，每局甲赢的概率是0.6，乙赢的概率是 0.4，则甲获胜的概率为_____. 2 高二数学试题 第 页 共3 页 14．从编号分别为1，2，3，4，5 的五个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则三个小球编号中最 小号码不小于2 的概率为____． 15.某校有高中生2000 人，其中男女生比例约为 ，为了获得该校全体高中生的身高信息，采用分层随机抽 样方法，抽取了男、女生样本量均为25 的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均 值为160，方差为20，则总样本的方差为______. 16.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h 内生产出的次品数分别为 ， 其分布列 分别为： 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 则随机变量X1和随机变量X 2 的方差的和为______；（3 分） 哪台机床比较好_____（填甲、乙）（2 分） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为 ， ， ，乘火车迟到的概率为 ，乘轮船迟 到的概率为 ，乘飞机迟到的概率为 . （Ⅰ）求这个人迟到的概率； （Ⅱ）如果这个人迟到了，求他乘飞机迟到的概率. 18.（本小题满分12 分） 已知三角形Δ ABC 内角A ,B,C 所对边分别为a,b,c ，面积S 满足2S=c2−(a−b)2 。 （Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）若c=5 ，且2sin A cosC=sin B ，求b 的长. 19.（本小题满分12 分） 某公司在2013～2020 年生产经营某种产品的相关数据如表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10 年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75 年利润（单位：百万元） 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 注：年返修率=年返修台数 年生产台数． （Ⅰ）从2013～2020 年中随机抽取2 年，求这2 年中恰有1 年平均利润不小于100 元/台的概率； （Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀．现从2013～2020 年中随机 选出3 年，记 表示这3 年中生产部门获得考核优秀的次数．求 的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12 分） 在某单位的职工食堂中，食堂每天以2 元/个的价格从面包店购进面包，然后以4 元/个的价格出售．如果当天 卖不完，剩下的面包以元/个的价格全部卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频 率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90 个面包，以 （单位：个， ）表示面包的需求量， （单位：元）表示利润． （Ⅰ）求 关于 的函数解析式； （Ⅱ）根据直方图估计利润 不少于120 元的概率； （III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为 需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量 ，则取 ，且 的概率等于需求量落入 的频率)，求 的分布列和数学期望． 21.（本小题满分12 分） 频率/组距 0 60 70 80 90 100 110 0.020 0.025 0.015 需求量/个 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 0.3 0.5 0.2 3 高二数学试题 第 页 共3 页 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2 的菱形， ，平面 平面 ，点 为棱 的中点． （Ⅰ）若E 为棱AB 的中点，证明：AF // 平面PCE ； （Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成角为 π 3 ，求二面角D−FC−B 的余弦 值. 22（本小题满分12 分） 某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参 与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为 1 2 ，1 2 ，3 4 ，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为 3 4 ，1 2 ，1 2 ，笔试三 个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分 每个环节通过的概率依次为 2 3 ，1 2 ，乙面试部分每个环节通过的概率依次为 4 5 ，3 4 ，若面试部分的两个环节都通 过，则可以成为该学校的在职教师.甲、乙两人通过各个环节相互独立. （Ⅰ）求甲未能参与面试的概率； （Ⅱ）记乙本次应聘通过的环节数为X ，求P( X=3)的值； （Ⅲ）记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望 4 高二数学试题 第 页 共3 页 9 月月考数学答案 1-4 DDCB 5-8 ABAC 9-12 ABC BC ABD CD 13.0.648 14.2 5 15.43 16.1.49；乙 17.（Ⅰ）设事件A1= “这个人乘火车”，事件A2= “这个人乘轮船”，事件A3= “这个人乘飞机”，事件 B= “这个人迟到”，所以P(B)=P( A1B)+P( A2B)+P( A3B)=0.1×0.4+0.5×0.1+0.4×0.3=0.21 （Ⅱ）P( A3|B)= P( A3B) P(B) =0.4×0.3 0.21 = 4 7 18.（Ⅰ）因为2S=c2−a2−b2+2ab ，所以absinC=−2abcosC+2ab ，所以sinC=−2cosC+2， 所以 2sin C 2 cos C 2 =4sin2 C 2 ，所以 tan C 2 =1 2 ，因为sinC=2sin C 2 cos C 2 = 2tan C 2 1+tan2 C 2 = 4 5 （Ⅱ）因为2sin A cosC=sin B ，所以2sin A cosC=sin( A+C )=sin A cosC+cos A sinC ，所以 sin A cosC=cos A sinC ，所以tan A=tanC ，所以A=C ，又因为 cosC=cos2 C 2 −sin2 C 2 = 1−tan2 C 2 1+tan2 C 2 =3 5 所以sin B=sin(π−2C)=sin2C=2sinC cosC=24 25 ，因为 c sinC = b sin B ，所以b=6 19.（Ⅰ）由题意可知，平均利润小于100 元/台的年份是2013 年和2015 年，设事件A= “这2 年中恰有1 年平均利润不小于100 元/台”，所以P( A )=C2 1C6 1 C8 2 =3 7 （Ⅱ）X 的可能取值为1,2,3 P( X=1)=C6 1 C8 3= 3 28 , P( X=2)=C6 2C2 1 C8 3 =15 28 , P( X=3)=C6 3 C8 3= 5 14 所以X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 28 15 28 5 14 E( X )= 9 4 20.（Ⅰ）T=¿{3x−90,60≤x<90¿¿¿¿ （Ⅱ）P(T≥20)=P(70≤X≤110)=0.75 （Ⅲ）T 的分布列为 T 105 135 165 180 P 0.25 0.15 0.2 0.4 E(T )=151.5 21.（Ⅰ）取PC 中点G ，连接FG, EG 因为F ,G 分别是PD,PC 的中点，所以FG // DC ，FG=1 2 DC ，因为AE // DC ，AE=1 2 DC ，所以 FG // AE，FG=AE ，所以四边形AFGE 是平行四边形，所以AF // GE ，所以AF // 平面PCE （Ⅱ）PB 与平面ABCD 所成角为∠PBD ，所以∠PBD= π 3 ，所以PD=2√3 以D 为坐标原点，⃗ DE,⃗ DC ,⃗ DP 为x , y , z 轴建立空间直角坐标系 平面DFC 的法向量⃗ m=(1,0,0)，平面FCB 的法向量⃗ n=(1,√3,2)，设二面角D−FC−B 的平面角为 θ,θ∈[0,π ] 所以cosθ= ⃗ m⋅⃗ n |⃗ m||⃗ n| =√2 4 22.（Ⅰ）设事件A= “甲未能参与面试”，所以P( A)=3 8 （Ⅱ）P( X=3)=13 80 （Ⅲ）甲应聘成功的概率为5 24 ，乙应聘成功的概率为3 8 所以Y 的分布列为 Y 0 1 2 5 高二数学试题 第 页 共3 页 P 95 192 41 96 5 64 E(Y )= 7 12