浙江省金衢六校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考数学答案

参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C A C B A 8．由题意可设右焦点为 1 F ，因为 2 2 2 + = a b c ，且圆O ： 2 2 2 2 x y a b + = + ，所以点P 在以焦距 为直径的圆上，则 1 90 FPF  = ， 设PF 的中点为点M ，则MO 为 1 FPF 的中位线，所以 1 // MO PF ， 则 90 FMO  = ，又点M 在渐近线上， 所以tan b FM MOF a MO  = = ，且 2 2 2 FM MO OF + = ，则FM b = ， MO a = ，所以 1 2 2 PF MO a = = ，所以 4 PF a = ， 则在 1 Rt FPF 中，可得， 2 2 2 1 1 PF PF FF + = ，即 2 2 2 4 16 4 a a c + = ，解得 2 5 e = ，所以 5 e = ， 故选：A． 二、多选题 题号 9 10 11 12 答案 CD BCD AB BCD 10． 【详解】 因为 1 1 / / D D C C ，而 1 C C 与AF 显然不垂直，因此 1 DD 与AF 不垂直，A 错； 取 1 1 BC 中点H ， 连接 1 , A H GH ， 1 BC ， 由 , , G E F 分别是 1 1 , , BB BC CC 中点， 得 1 // // HG BC EF ， 又 1 1 // // HE BB AA ， 1 1 HE BB AA = = ，1 A HEA是平行四边形， 所以 1 // A H AE ，AE EF E  = ， , AE EF 平面AEF ，所以 1 / / A H 平面AEF ， // HG 平面AEF ， 而 1 A H HG H = ， 1 , AH HG 平面 1 A HG ，所以平面 1 // A HG 平面AEF ， 又 1 AG 平面 1 A HG ，所以 1 / / AG 平面AEF ．B 正确； 由正方体性质，连接 1 1 , FD AD ，则截面AEF 即为四边形 1 AEFD ，它是等腰梯形， 1 2 2, 2 AD EF = = ， 1 5 D F AE = = ，等腰梯形的高为 2 2 2 2 2 3 2 ( 5) 2 2 h   − = − =       ， 截面面积为 1 3 2 9 ( 2 2 2) 2 2 2 S =  +  = ，C 正确， 设 1 1 AD AD O  = ，易知O是 1 A D 的中点，所以 1, A D 两点到平面 1 AEFD 的距离相等．D 正确． 故选：BCD． 11． 【详解】解：对A，由椭圆 2 2 : 1 9 8 x y C + = ，可得 1 2 PF F △ 的周长为： 1 2 1 2 2 3 2 9 8 8 PF PF F F + + = + − = ，故A 正确； 对B， 当P 为椭圆短轴顶点时， 1 2 PF F △ 的面积最大， 且最大面积为： 1 2 2 2 2 2 2 S =  = ， 故B 正确； 对C，当P 为椭圆短轴顶点时， 1 2 F PF  为最大，此时 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 9 9 4 7 cos 0 2 2 3 3 9 PF PF F F F PF PF PF + − + −  = = =    ，即 1 2 F PF  为锐角，所以不存在点P 使得 1 2 0 PF PF  = ，故C 错误； 对D，由椭圆 2 2 : 1 9 8 x y C + = ，所以 ( ) 2 1,0 F ，又 ( ) 1,1 M ，所以 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 1 1 MF = - + - = ， 所以|𝑃𝑀| + |𝑃𝐹 1| = |𝑃𝑀| + 6 −|𝑃𝐹 2| = 6 + |𝑃𝑀| −|𝑃𝐹 2| ≤6 + |𝑀𝐹 2| = 7，故D 错误. 12．BCD 【详解】由 ( ) f x 函数解析式可得图象如下： ∴由图知： 1 2 2 x x + = −， 1 2 1 x − −，而当 1 y = 时，有 2 | log | 1 x = ，即 1 2 x = 或2， ∴ 3 4 1 1 2 2 x x   ，而 3 4 ( ) ( ) f x f x = 知 2 3 2 4 | log | | log | x x = ： 2 3 2 4 log log 0 x x + = ， ∴ 3 4 1 x x = ， 2 1 2 3 4 1 2 1 ( 1) 1 (0,1) x x x x x x x = = − + +  . 故选：BCD 13．4 14． 4 y 1 x 2 2 = + + ） （ 15．2 16． 6 − 【详解】由题意，取线段AB 的中点M ，由极化恒等式可知 2 2 4 1 AB PM PB PA − =  , 而PM 最小值为2 ， 2 4 = AB ,故最小值为 6 − . 17． （1）π，1（ 2）当 3 A  = 时，△ABC 的面积为3 3 4 . （1）  = T 2 分 1 ) ( max = x f 4 分 （2）由 2 3 ) ( = A f ， 为锐角 A  3 A   = . 6 分 由余弦定理得： 2 2 2 2 cos 3 a b c bc  = + − ，即 ( ) 2 2 3 a b c bc + − = 又 5 , 4 = + = c b a ，解得： 3 = bc 8 分 4 3 3 2 3 3 2 1 sin 2 1 =   = =  A bc S 10 分 18． （1）众数75；平均数71，中位数73.3. 每个2 分，共6 分 （2）得出在区间 ) 40,50 和  90,100 内的成绩样本数据分别有4 个和2 个，从6 个样本选2 个共有为( ) 15 n = 个结果，记事件A =“调查对象来自不同分组”的结果有 ( ) 4 2 8 n A =  = 9 分 所以 ( ) 8 ( ) ( ) 15 n A P A n = =  ； 12 分 19． （1）直线过定点 (4,3) P ， 3 分 又圆C 标准方程为 2 2 ( 3) ( 4) 4 x y − + − = ，圆心为 (3,4) C ，半径为 2 r = ， 而 2 2 (4 3) (3 4) 2 PC r = − + − =  ，所以P 在圆内， 所以不论k 取何值，直线和圆总有两个不同交点． 6 分 （2）由圆的性质知，当直线与PC 垂直时，弦长最短． 3 4 1 4 3 PC k − = = − − ，所以 1 k = 时弦长最短． 9 分 弦长为 2 2 2 2 4 2 2 2 l r PC = − = − = ． 12 分 20． （1）证明见解析； （2）3 1 ． （1）由题意BC OA = ，又 / / BC OA，所以BCOA是平行四边形，所以 / / AB OC ，2 分 又AB 平面POC ，OC 平面POC ，所以 / / AB 平面POC ； 5 分 （2） , // BC OD BC OD = ， 所以BCDO是平行四边形， 所以 / / OB DC ， OB CD = ， 而CD AD ⊥ ， 所以OB AD ⊥ ， 以 , , OB OD OP为, , x y z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则(1,0,0) B ， (0, 1,0) A − ，(0,0,1) P ， (1,1,0) AB = ， (0,1,1) = AP ， 7 分 设平面ABP的一个法向量为 ( , , ) n x y z = ，则 0 0 n AB x y n AP y z  = + =  = + =  ，取 1 x = ，则 1, 1 y z = − = ，即 (1, 1,1) n = − ， 9 分 ) 1 , 1 , 1 ( − = PC 所以线面角， 3 1 sin =   = PC n PC n  ， 12 分 第二问用等体积变换求得点C 到平面PAB 距离为 3 3 = d ， 3 = PC 4 分 线面角， 3 1 sin = = PC d  7 分 21． （1） ； 2 , 1 − = − = b a （2） 8 b = −； （3） ) 0,1 . （1） 由已知可知方程 0 2 = + + b ax x 的两个根为 2 , 1 − . 2 分 由韦达定理得 b a =  − − = + − 2 ) 1 ( , 2 1 ，故 2 , 1 − = − = b a 4 分 （2） 由题意得 1 2 = + b a ， 9 2 2 5 ) 2 )( 1 2 ( 1 2  + + = + + = + b a a b b a b a b a 7 分 当且仅当 3 1 = = b a 时取等号. 8 分 （3）若 2 a = ， 2 ( ) 2 f x x x b = + + ，不等式 ( ) ( ) 2 0 f x x  −  恒成立. 当 2 x  时， 2 0 x −  ，此时 2 ( ) 2 0 f x x x b = +  + ， 即 2 2 b x x − − 对于 2 x  恒成立， ( ) 2 2 2 1 1 y x x x = − − = + + − 在 ) 2,+单调递减， 此时当 2 x = 时， 2 2 y x x = − − 的最大值为8 −，所以 8 b −， 10 分 当0 2 x   时， 2 0 x −  ，此时 ( ) 0 f x  ，即 2 ( ) 2 0 f x x x b = +  + 即 2 2 b x x − − 对于0 2 x   恒成立， ( ) 2 2 2 1 1 y x x x = − − = + + − 在( ) 0,2 单调递减，此时 2 2 2 2 2 2 8 y x x = − − − − = −，所以 8 b −， 所以 8 b = −； 12 分 22． （1） 2 2 1 6 4 x y + = ； （2） 3 3 8 . （1）由题知： ( ) ,0 A a − ，( ) ,0 B a ， ∵ 2 2 2 4 2 3 MA MB k k a a a  =  = − = − − ，∴ 2 6 a = ， 3 分 又 2 4 b = ， ∴椭圆 2 2 : 1 6 4 x y C + = . 5 分 （2）延长 2 QF 交椭圆于N 点，连接 1 F N ， 1 FQ ，如下图所示： ∵ ( ) 2 2,0 F ， ∴设直线 2 : 2 QF x ty = + ， ( ) 1 1 , Q x y ， ( ) 2 2 , N x y . 由 2 2 1 6 4 2 x y x ty  + =   = +  ，得 2 2 3 2 2 4 0 2 t y ty   + + − =     ， ∴ 1 2 2 2 2 3 2 t y y t − + = + ， 1 2 2 4 3 2 y y t − = + ， 8 分 ∴ ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 6 1 4 3 2 t y y y y y y t + − = + − = + 2 2 2 2 2 6 1 2 6 1 1 1 2 2 1 1 t t t t + = = + + + + + . ∵ 2 1 1 t + ， ∴ 3 6 4 2 1  −y y 10 分 根据对称性得： 1 2 PF NF = ，且 1 2 PF NF ∥ ， ∴ 1 1 2 PQF N F F S S = △ △ ， ∴𝑆𝐹 1𝑃𝑄𝐹 2 = 𝑆△𝐹 1𝐹 2𝑄+ 𝑆△𝐹 1𝐹 2𝑁= 𝑆△𝐹 1𝑄𝑁= 1 2 |𝐹 1𝐹 2| ⋅|𝑦1 −𝑦2| 3 3 8  ∴四边形 1 2 F PQF 面积的最大值为 3 3 8 . 12 分