2022-2023学年度春学期四校期中联考试卷 高一数学试卷

试卷第1页，共3页 （北京）股份有限公司 2022-2023 学年度春学期四校期中联考试卷 高一数学 命题人：颜 金 复核人：王 慧 考生注意： 客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。 一、单选题（本大题共8 小题，每小题只有一个正确选项，每题5 分，共40 分） 1．已知复数 ，则 （ ） A．1 B． C．2 D． 2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观 图恰好是一个边长为2 的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A． B． C．8 D． 3．一质点在力 ， 的共同作用下，由点 移动到 ，则 ， 的合力 对该质点所做的功为（ ） A．16 B． C．110 D． 4．在 中， ，则 一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 5．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为 “牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不 得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200 年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后 世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3） （4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长 的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积 之比为（ ） 第2页，共3页 A． B． C． D． 6．已知 ， ，则 的值为（ ） A．0 B． C． D． 7．设 、 、 、 为平面直角坐标系中两两不同的点，若 ， ，且 ，则称点 、 和谐分割点 、 .已知平面上两两不同的点A、B、 C、D，若C、D 和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（ ） A．点C 可能是线段AB 的中点 B．点 可能是靠近点A 的线段AB 的三等分点 C．点C、D 可能同时在线段AB 上 D．点C、D 可能同时在线段AB 的延长线上 8．已知 的内角A，B，C 满足 ， 的面积S 满足 ，记a，b，c 分别为A，B，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4 小题，每小题有多个正确选项，错选得0 分，漏选得2 分，每题 5 分，共20 分） 9．下列结论正确的是（ ） A．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C 是异面直线 B．不共面的四点可以确定4 个平面 C．圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的2 倍 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10．在复平面内，下列说法正确的是（ ） A．若复数z 满足 ，则 B．若复数 、 满足 ，则 试卷第3页，共3页 （北京）股份有限公司 C．若 ，且 ，则 D．若 ，则 的最大值为 11．下列选项中正确的是（ ） A．设向量 ， ，若 ， 共线，则 B．已知点 ，向量 ，点 是线段 的三等分点，则点 的坐标是 C．若 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 D．若平面向量 ， 满足 ，则 的最大值是5 12．下列结论正确的是（ ） A．若 ，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是 B．点O 在△ABC 所在的平面内，若 ，则点O 为△ABC 的重心 C．点O 在△ABC 所在的平面内，若 ， ， 分别表示△AOC，△ABC 的面 积，则 D．点O 在△ABC 所在的平面内，满足 ，且 ，则点O 是△ABC 的外 心 三、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共20 分） 13．已知 是关于 的方程 的一个根，则 的值是 . 14．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底 在同一个水平 面 内的两个测量基点A 与 ，现测得 ， ， 米，在 点 A 处测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 为 米. 15．已知正四棱台 中， ，若该四棱台的体积为 ，则这个四棱台的表 面积为 ． 16．在平面内，定点 ，满足 ，且 ，则 __________； 第4页，共3页 平面内的动点 满足 ， ，则 的最大值是__________． 四、解答题（本大题共6 小题，作答各题时须有必要的计算和推理过程，共70 分） 17．（本题10 分）根据要求完成下列问题： (1)已知复数 在复平面内对应的点在第四象限， ，求 ； (2)复数 为纯虚数，求实数 的值． 18．（本题12 分）已知向量 ， 满足 ， ，且 . (1)若 ，求实数 的值； (2)求 与 的夹角的余弦值. 19．（本题12 分）从① ；② ；③ 的 外接圆的半径为2，且 ，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，__________. (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的面积. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分. 20．（本题12 分）如图，直三棱柱 的高为 ，底面三角形的边长分别为 ， ， . (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积 ； (2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积. 试卷第5页，共3页 （北京）股份有限公司 21．（本题12 分）如图，在 中， 在线段BC 上，满足 ， 是线段 的中点． (1)延长 交 于点Q（图 1），求 的值； (2)过点 的直线与边 ， 分别交于点E，F（图2），设 ， ． （i）求证 为定值； （ii）设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值． 22．（本题12 分）如图，某公园改建一个三角形池塘， ， 百米， 百米，现准备 养一批观赏鱼供游客 观赏. (1)若在△ABC 内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶 点，且 ，求连廊 的长（单位为百米）； (2)若分别在AB，BC，CA 上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类 第6页，共3页 供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF 为正三角形，设 为图②中△DEF 的面积，求 的最小值；方 案三如图③，使得DE 平行于AB，且EF 垂直于DE，设 为图③中△DEF 的面积，求 的最大值. 试卷第7页，共3页 （北京）股份有限公司