2023-2024学年江苏省盐城中学高二上学期上月基础性学情检测数学试题Word版含解析试卷(1)

高二年级基础性学情检测 数学试卷 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 一条直线过点 和 ，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得答案 【详解】设直线的倾斜角为 （ ）， 因为直线过点 和 ，且斜率存在， 所以 ， 因为 ，所以 ， 故选：B 2. 已知复数 （为虚数单位），则复数 的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】复数的乘法运算求解即可. 【详解】 ，即复数 的虚部为2， 故选: . 3. 已知过点 和点 的直线为l1， . 若 ，则 的值为（ ） A. B. C. 0 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出 的值. 【详解】因为 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 ， 解得 .所以 . 故选：A. 4. 直线按向量 平移后得直线 ，设直线与 之间的距离为 ，则 的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与 的位置关系考虑. 【详解】当直线的方向向量与 共线时，这时候直线与 重合，距离为最短， ； 当直线的方向向量与 垂直时，这时候直线与 平行且距离为最长， . 故选：B. 5. 苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，对数是简化大数运 算的有效工具.若一个正整数n 的32 次方仍是一个20 位整数m，则根据下表数据，可知 （ ） x 2 3 7 A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得 ，同取以10 为底的对数再化简得 ，查对数表进 行估值运算即可求解. 【详解】因为正整数n 的32 次方是一个20 位整数m，所以 ， 将以上不等式同时取以10 为底的对数得 ， 所以 ，即 ，而 ， ，因为 ，由选项知 故选：B 6. 若直线y=x+b 与曲线 有公共点，则b 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如图所示：曲线 即 （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3）， 表示以A（2，3）为圆心，以2 为半径的一个半圆， 直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，可得 =2， b=1+2 ∴ ，b=1-2 当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1 结合图象可得 ≤b≤3 故答案为C 7. 在三棱锥 中， 是等腰直角三角形， ，且 平面 ，则 三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明出 ，判断出AP 为球的直径，求出AP,即可得到半径，求出表面积. 【详解】因为 是等腰直角三角形， ，所以 . 因为 平面 平面 ，所以 ，所以AP 为球的直径，且 ，所以三棱锥 的外接球的半径为2，所以三棱锥 的外接球的表面积为 . 故选: . 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作 《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A，B 的距离之 比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆 O：x2＋y2＝1 上的动点M 和定点A ，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论点M 在x 轴上与不在x 轴上两种情况，若点M 不在x 轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三 角形的相似性得到 ，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案. 【详解】①当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(－1，0)或(1，0)． 若点M 的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2× ＋ ； 若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2× ＋ ． ②当点M 不在x 轴上时，取点K(－2，0)，如图， 连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝ ，|OK|＝2， 所以 ． 因为∠MOK＝∠AOM， 所以△MOK∽△AOM，则 ， 所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|． 易知|MB|＋|MK|≥|BK|， 所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|． 因为B(1，1)，K(－2，0)， 所以(2|MA|＋|MB|)min ＝|BK|＝ ． 又 <1＋ <4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为 ． 故选：C 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5 分.部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线 的倾斜角 的取值范围是 B. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件 C. 圆 上有且仅有3 个点到直线： 的距离都等于1 D. 经过平面内任意相异两点 ， 的直线都可以用方程 表示. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据 可求倾斜角 的取值范围；对B：根据两直线垂直的条件求 出 的值即可判断；对C：求出圆心到直线的距离，可以找到到直线的距离为1 的圆上的点只有3 个； 对D ：对斜率为0 、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用 表示. 【详解】对A：直线 的倾斜角为 ，则 ， 因为 ，所以 ，故A 正确. 对B：当 时，直线 与直线 斜率分别为 ，斜率之积为 ， 故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线 与直线 互相垂直”， 则 ，故 或 ， 所以得不到 ，故必要性不成立，故B 错误. 对C：圆心 到直线 的距离 ，圆的半径 ， 作 交圆于 ，则 到直线的距离为1，过 作 交圆于 ， 则 到直线的距离为1，圆上不存在其它的点到直线的距离为1，故C 正确. 对D：经过任意两个不同的点 的直线： 当斜率等于0 时， ，方程为 ，能用方程 表示； 当斜率不存在时， ，方程为 ，能用方程 表示； 当斜率不为0 且斜率存在时，直线方程为 也能用此方程表示，故D 正确； 故选：ACD. 10. 已知实数 满足曲线 的方程 ，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点 作曲线 的切线，则切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】由 表示圆 上的点到定点 的距离的平方，可判定A 错误；由 表示圆上的点 与点 的斜率 ，设 ，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B 正确；由 表示圆上任意一点到直线 的距离的 倍，进而可判定C 错误；根据点 在 圆 上，结合圆的切线的性质，可判定D 正确. 【详解】由圆 可化为 ，可得圆心 ，半径为 ， 对于A 中，由 表示圆 上的点到定点 的距离的平方， 所以它的最大值为 ，所以A 错误； 对于B 中， 表示圆上的点与点 的斜率 ，设 ，即 ， 由圆心 到直线 的距离 ，解得 ， 所以 的最大值为 ，所以B 正确； 对于C 中，由 表示圆上任意一点到直线 的距离的 倍， 圆心到直线的距离 ，所以其最小值为 ，所以C 错误； 对于D 中，因为点 满足圆 的方程，即点 在圆 上， 则点 与圆心连线的斜率为 ， 根据圆的性质，可得过点 作圆 的切线的斜率为 ， 所以切线方程为 ，即 ，所以D 正确. 故选：BD. 11. 已知动直线 ： 和 ： ， 是两直线的交点， 、 是两直线 和 分别过的定点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为10 D. 的轨迹方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点 的坐标，判断A ，证明直线 垂直，判断B ，再结合 判断C，D. 【详解】直线 的方程 可化为 ， 所以直线 过定点 ， 直线 的方程 可化为 ， 所以直线 过定点 ， 所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，所以A 错误， 由已知 ， 所以直线 与直线 垂直，即 ，B 正确， 因为 ，所以 ， 故 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， C 正确； 因为 ，故 ， 设点 的坐标为 ， 则 ， 化简可得 ， 又点 不是直线 的交点，点 在圆上， 故点 的轨迹为圆 除去点 ，D 错误； 故选：BC. 12. 设 中角 ， ， 所对应的边长度分别为 ， ， ，满足 ， 则以下说法中正确的有（ ） A. 为钝角三角形 B. 若 确定，则 的面积确定 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用给定条件结合三角形内角和定理、诱导公式、和角的正弦公式求出 ， 再逐项分析即可作答. 【详解】在 中，因 ，令 ，则 ， ， 显然 ，若 ，即 ，因 ， ，则 ，有 ，同理， ， ，矛盾， 于是得 ，即角A，B，C 都为锐角，A 不正确； ， 即有 ，亦即： ，显然， 都小于0，否 则 ，矛盾， 则 ，即 ，而 ， 解得 ， ，于是得 ， ，C 正确； 从而有 ， ， ，因此， 的内角 ， ， 是定值，若 确定， 即 确定，其面积确定，B 正确； ，D 正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 设集合 ， ，若 ，则 实数 ________． 【答案】 或4##4 或-2 【解析】 【分析】化简集合A、集合B，再结合 ，确定直线 与 平行或直线 过点 ，最后求实数a 的 值. 【详解】集合A 表示直线 ，即 上的点，但除去点 ， 集合B 表示直线 上的点， 当 时， 直线 与 平行或直线 过点 ， 所以 或 ， 解得 或 ． 故答案为 ： 或4 14. 袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2 个红球、3 个黄球，从中不放回地依次随机摸出2 个球， 则两次都摸到红球的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】解：由题意可得所求概率为 ， 故答案为： 15. 已知圆 ： ，圆 ： ，M，N 分别为圆 和圆 上的 动点，P 为直线l： 上的动点，则 的最小值为___________ 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用配方法求出圆的圆心坐标和半径，利用圆和直线的对称性，结合两圆位置关系进行转化求解 即可． 【详解】解：圆的标准方程为 ，圆 ， 则圆心坐标 ，半径为1，圆心坐标 ，半径为2， 设 关于 对称的点的坐标为 . 所以圆 关于 对称的点的坐标为圆 ，半径为1， 由对称性知问题转化为 到 ， 的距离之和的最小值， 由图象知当 ， ， 三点共线时， 的距离最小， 此时最小值为 ， 故答案为： 16. 已知函数 的图象关于 对称，且对 ， ，当 且 时， 恒成立，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数 的图象关于 对称，得到 是偶函数，再根据 且 时， 恒成立，得到 在 上递减，在 上递增， 将 对任意的 恒成立，转化为 对任意的 恒成立求解. 【详解】解：因为函数 的图象关于 对称， 所以函数 的图象关于 对称， 所以 是偶函数， 又因为 ，当 且 时， 恒成立， 所以 在 上递减，则在 上递增， 因为 对任意的 恒成立， 所以 对任意的 恒成立， 所以 对任意的 恒成立， 当 时， 对任意的 恒成立， 当 时， 对任意的 恒成立， 令 ，则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 ，即 ， 则实数 的取值范围为 ， 故答案为： 四、解答题：本题共6 小题，17 题10 分，其余每小题12 分共70 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 17. 已知直线 . （1）当直线l 在x 轴上的截距是它在y 上的截距3 倍时，求实数a 的值： （2）当直线l 不通过第四象限时，求实数a 的取值范围. 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出 且 ，再求出直线l 在x 轴上的截距，在y 上的截距，列出方程，求出a 的 值； （2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a 的 取值范围. 【小问1 详解】 由条件知， 且 ， 在直线l 的方程中，令 得 ，令 得 ∴ ，解得： ，或 ， 经检验， ， 均符合要求. 【小问2 详解】 当 时，l 的方程为： .即 ，此时l 不通过第四象限； 当 时，直线/的方程为： . l 不通过第四象限，即 ，解得 综上所述，当直线不通过第四象限时，a 的取值范围为 18. 已知圆C： ． （1）若点 ，求过点 的圆 的切线方程； （2）若点 为圆 的弦 的中点，求直线 的方程． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆 的圆心与半径，分过点 的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距 离等于半径，即可求出切线方程； （2）根据圆心与弦中点的连线垂直线，可求出直线 的斜率，进而求出结果. 【小问1 详解】 解：由题意知圆心的坐标为 ，半径 ， 当过点 的直线的斜率不存在时，方程为 ． 由圆心 到直线 的距离 知，此时，直线与圆相切． 当过点 的直线的斜率存在时，设方程为 ， 即 ．由题意知 ， 解得 ，∴方程为 ． 故过点 的圆 的切线方程为 或 ． 【小问2 详解】 解：∵圆心 ， ，即 ， 又 ， ∴ ，则 . 19. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 是正方形， ，点E 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设 与 的交点为O，连接 ，则 ，由 平面 ，可证得 平面 ，则 ，而由正方形的性质可得 ，所以由线面垂直的判定可证得结论， （2）以A 为坐标原点， 所在的直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 利用空间向量求解即可. 【小问1 详解】 证明：设 与 的交点为O，连接 ． 因为底面四边形 为正方形， 所以 ． 又点E 为 的中点， 所以 ． 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 所以 , 因为 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以 ． 因为 ， 平面 ， 所以 平面 ． 【 小问2 详解】 解：设 ，则 ． 以A 为坐标原点， 所在的直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， 可得 ． 由（1）知，平面 的一个法向量为 ． 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 ，可得 ，所以 ， 设平面 与平面 所成锐二面角为 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 即平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ． 20. 为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 进行分流，已知穿城公路 自 西向东到达城市中心点 后转向东北方向（即 ）.现准备修建一条城市高架道路 ， 在 上设一出入口 ，在 上设一出入口 .假设高架道路 在 部分为直线段，且要求市中心 与 的距离为 . （1）求两站点 ， 之间距离的最小值； （2）公路 段上距离市中心 处有一古建筑群 ，为保护古建筑群，设立一个以 为圆心， 为半径的圆形保护区.在古建筑群 和市中心 之间设计入口 ，使高架道路 所在直线不经过保护 区（不包括临界状态），求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点O 作 于点E，则 ，设 ，则 ， ，然后由 ，利用 三角函数的性质求解.， （2）以O 为原点建立平面直角坐标系，得到圆C 的方程为： ，设直线AB 的方程为： ，根据题意由 ，且 求解. 【小问1 详解】 如图所示： 过点O 作 于点E，则 ，设 ， 则 ， ， 所以 ， 而 ， ， 所以当 时， ， . 【小问2 详解】 以O 为原点建立平面直角坐标系， 则圆C 的方程为： ， 设直线AB 的方程为： ， ， 由题意得： ，且 ， 所以 ，代入 ， 化简得： ， 解得 或 （舍去）， 因为 ，所以 ， 所以 ， 当 时， ，又 ， 所以 ， 所以 . 21. 已知函数 （1）若 的最小正周期为 ，求 ， 的单调区间 （2）将（1）中的函数 图像上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 ， 且 图像关于 对称.若对于任意的实数 ，函数 ， 与 的公共 点个数不少于6 个且不多于10 个，求正实数 的取值范围. 【答案】（1）在 上单调递增,在 上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）使用降幂扩角公式和辅助角公式将 化简为正弦型函数 ，再使用 正弦函数的单调性性质求解； （2）根据图像平移的知识得到 ，由 为偶函数可得 ，进一步化简 ，对于 ，结合函数图像列不等式组求解. 【小问1 详解】 的最小正周期为 , , , 由 ,可得 ， 在 上单调递增,在 上单调递减. 【小问2 详解】 将(1)中的函数 图像上所有的点向右平移 得 ， ， 图像关于 对称, ，又 ， ， ， 又对于任意的实数 ,函数 与 的公共点个数不少于6 个且不多于10 个， 设 的周期为 ，则 . 所以正实数 的取值范围 . 22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 ，圆 与x 轴的负半轴的交点是Q， 过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A，B． （1）设直线QA，QB 的斜率分别是 ，求 的值： （2）设AB 的 中点为M，点 ，若 ，求 的面积． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）由已知可得直线的斜率存在，设出直线方程，与圆的方程联立，由斜率公式结合根与系数 的关系即可求得 的值； （2）设中点 ，由（1）知求得M 的坐标，再由 ，得 ， 把M 的坐标代入，即可求得 值，然后利用垂径定理求弦长，再求出Q 到直线的距离，则 的面积 可求． 【详解】（1）当直线垂直于 轴时，不合题意，设直线方程为 ， 联立 ，整理得 ， 设 ，则 ， 所以 即 . （2）设中点 ，由（1）知， ，① 代入直线l 的方程得 ，② 又由 ，得 ， 化简得： ， 将①②代入上式，可得 ， 所以圆心到直线l 的距离 ，所以 ， Q 到直线l 的距离 ， 所以 ＝ ． 【点睛】解决直线与圆的位置关系的常见方法： 1、几何法：圆心到直线的距离与圆的半径比较大小，结合圆的性质，判断直线与圆的位置关系，这种方 法的特点时计算量较小； 2、代数法：将直线方程与圆的方程联立方程组，转化为一元二次方程，结合一元二次方程解得个数，判 断直线与