辽宁省六校协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学答案

2021—2022 学年度（上）高二年级省六校协作体期中考试答案 一、单项选择题： 1．C 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8. B 二、多项选择题： 9．AC 10．BCD 11．ABC 12．BD 三、填空题： 13． 14．[0,4) 15．30 16．8 四、解答题： 17．（1） ；（2） 设 ，由 ，则点 的轨迹方程为 …… …………………………………………………………5 分. 由 ，则点 的轨迹方程为 ，( 或 ). 设 ，则 ，将 代入 可得: ，化简得: ，( 或 ).…… ……………………………………………………………10 分（不抠点减2 分） 18．（1）证明见解析；（2） ． （1）证明：在直三棱柱 中，有 ， 又 ， ， 平面 ，又 平面 ， ． ， ， 如图，分别以AC， ，AB 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ． 设 ，则 ， ， ， ．………………………………………………6 分 （2）当D 为 的中点时， ， ， ， 设平面DEF 的法向量为 ，则 ，即 令 得， ， 易知平面ABC 的法向量为 ，所以 ， 即平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦 值为 ．………………………………6 分 19．（1） 或 ；（2） . 圆 的方程化为标准式为: （1）当斜率不存在时， 代入圆方程得 ，弦长为 ，满足条件; …2 分 当斜率存在时，设 ，即 ，圆心到直线的距离 解得: ， ……………………………………………………………………………… 4 分 ， 所以直线方程为 或 ………………………………………………6 分 （2）当 时，四边形 面积取得最小值， … …………………………………………………………8 分 .…………………………………………………12 分 20．（1） ；（2）存在， . （1）连接 ，交 于点 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ，设 ，则 ， ， . ∵ 平面 ，∴ ， ，∴ ，∴ ，即 ， ∴ ， ， 设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，则 ， 又平面 的一个法向量为 ， ∴ ，由图知二面角 的平面角为锐角， ∴二面角 的平面角的大小为 ；……………………………………………6 分 （2）假设在线段 上存在点 满足题意，设 ， 得 ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ∵ 平面 ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴存在点 使 平面 ，此时 .……………………………………………12 分 21．（1） ；（2） 解：建立以 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立直角坐标系， （1）设假想敌舰的位置 ，由题意可知 ， 由圆锥曲线的定义可知，该曲线是以 ， 为焦点，4 为实轴长的双曲线的左支， 即， ， ， ， 点的轨迹方程为： ……………4 分 （2）设方程 上一点 ，由题意知， 即： ………………………………………6 分 故 = = = ， ………………………………………10 分 当 时， ．……………………………………………………12 分 22．（1） ；（2）证明见解析；（3） . （1）因为点P 的横坐标为1，由 得P 的坐标为 或 ．F 的 坐标为 ． 当P 的坐标为 时，直线PQ： ，即 ， 代入椭圆方程， ，即 ，得Q 的横坐标为 . 当P 的坐标为 时，同样得Q 的横坐标为 .因此，点Q 的横坐标为 ；……… ………………………………………………………………………………………………4 分 （2）联立方程组 ，其解为 ， ． 消去y，得 ，即 ． 由 ， 所以N 的横坐标为 ， 得N 的纵坐标为 ，得N 的坐标为 ．………6 分 所以直线ON 的斜率为 ，方程为 ，与直线 交于点 ． 故直线FM 的斜率为 ，于是 ，因此 ；…………………..…8 分 （3） ． 令 ，由 ，得 ， …… ………………....……10 分 又 ，得 ． 即 ，所以 的取值范围为 ，最大值为 ．……………12 分