湖南省邵阳市2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题

（北京）股份有限公司 2023 年邵阳市高一联考试题卷 数学 本试卷共4 页，22 个小题．满分150 分．考试用时120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需 改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的． 1．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．幂函数 在区间 上单调递增，则 （ ） A．9 B．27 C． D． 3．设 ， ，若 ，则 的最小值为（ ） A． B．4 C．9 D． 4．如图，给出奇函数 的局部图象，则 的值为（ ） （北京）股份有限公司 A． B．7 C．5 D． 5．若 ， ， ，则它们大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知角 终边经过点 ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数 若 有4 个零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．函数 ，若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分． 9．下列命题是真命题的是（ ） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B．若命题 的否定是“ ， ”，则命题 可写为“ ， ” C．若“ ， ”是假命题，则实数 的范围为 D．若 ， ，则 对 恒成立 10．已知 是 上的减函数，那么 的取值可能是（ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 11．已知函数 的图象为 ，则下列结论中正确的是（ ） A．图象 关于直线 对称 B．图象 的所有对称中心都可以表示为 （ ） C．函数 在 上的最小值为 D．函数 在区间 上单调递减 12．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 是奇函数 B． 是偶函数 C． 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数 D． 有最大值 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．若 ，则 ______． 14．函数 的单调递增区间为______． 15．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图，则 ______． （北京）股份有限公司 16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急． 约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对 数与指数的关系，即 ．现已知 ， ，则 ______， ____ __．（第一空3 分，第二空2 分） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 已知 ． （1）求 的值； （2）求 的值． 18．（本小题满分12 分） 已知全集 ，集合 ，______． 在下面三个条件中任选一个，补充在上面的已知条件中并作答： ① ② ③ （1）当 时，求 ； （2）当 时，“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． （北京）股份有限公司 19．（本小题满分12 分） 函数 的图象如图所示，该图象由幂函数 与对数函数 “拼接”而成． （1）求 的解析式； （2）若 ，求 的取值范围． 20．（本小题满分12 分） 某药品企业经过市场调研，生产某种药品需投入月固定成本3 万元，每生产 万件，需另投入流动成本 万元，在月产量不足7 万件时， ；在月产量不小于7 万件时， ，每件药品售价6 元，通过市场分析该企业的药品能当月全部售完． （1）写出月利润 （万元）关于月产量 （万件）的函数解析式（注：月利润＝月销售收入－固定成本 －流动成本）； （2）月产量为多少万件时，该企业在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 21．（本小题满分12 分） 设函数 ． （1）求使不等式 成立的 的取值范围； （2）先将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变；再向右平移 个单位；最后向 下平移 个单位得到函数 的图象，若不等式 0 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 22．（本小题满分12 分） 6 （北京）股份有限公司 某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“ ”： （ 为自然对数的底数， ）， ， ．进一步研究，发现该运算有许多奇 妙的性质，如： ， 等等． （1）对任意实数 ， ， ，请判断 是否成立？若成立请证明；若不成立， 请举反例说明． （2）若 （ ）， ， ， ．定义闭区间 （ ）的长度为 ，若对任意长度为1 的区间 ，存在 ， ， ， 求正数的最小值． 2023 年邵阳市高一联考参考答案与评分标准数学 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B D A C 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分． 题号 9 10 11 12 答案 ACD AC ABC BC 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13． 14． 15．0 16．2 3（第一空3 分，第二空2 分） 四、解答题： 17．∵ ， （北京）股份有限公司 ∴ ∴ ． ． （2） ． 18．（1）当 时， ， ． 选①， ，∴ ． 选②， ，∴ ． 选③， ，∴ ． （2）当 时， ， ∵“ ”是“ 的充分不必要条件，∴ 解得 ． 故 的范围为 ． 19．（1）依题意得 解得 8 （北京）股份有限公司 所以 ． （2）由 得 解得 ∴ 取值范围为 ． 20．（1）由题意得，当 时， ， 当 时， ， 故 （2）当 时， ，当 时， 最大值为5 万元． 当 时， ， 当且仅当 ，即 时等号成立，即 最大值为10 万元． ∵ ，∴当月产量为12 万件时，该企业所获利润最大值为10 万元． 21．由题意得： ．2 ① 得 ，∴ ． （北京）股份有限公司 则 的取值集合为 ． ② 将所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变， 得函数 ，最后由题意得函数 ， ∴ 令 ，由 得 ， 设 ， 在 上递增，在 上递减， ∴ ，∴ 为所求． 22．（1）由定义得： ， ∴ ． ∵ ． ∴ ． （2） ∴ （ ）． ∴ 开口向上，对称轴为： ． ∵ ，根据二次函数的对称性不妨设 ， 当 时， 在 内单调递增，则得 （北京）股份有限公司 ， 即 ，∴ ． 当 ，即 时， 在 内单调递减， 内单调递增． ， ∵ ，∴ ． ∴ ， ， ∴正数的最小值为4． 11 （北京）股份有限公司