辽宁省葫芦岛市协作校2022-2023学年高一下学期第一次考试数学试题

（北京）股份有限公司 2022～2023 下协作校高一第一次考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B 版必修第三册第七章至第八章． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．把快了10 分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（ ） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期和最大值分别是（ ） A． 和3 B． 和2 C． 和3 D． 和2 3．已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 5．下列函数为奇函数且在 上为减函数的是（ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 6．如图，在 正方形网格中，蚂蚁甲从 点爬到了 点，蚂蚁乙从 点爬到了 点，则向量 与 夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知向量 与向量 均为单位向量，且它们的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 8．若向量 ， 满足 ， ， ，且当 时， 的最小值为1，此时 （ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．已知向量 ， ，下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 10．已知函数 的图象经过点 ，则（ ） A． （北京）股份有限公司 B． 的最小正周期为 C． 的定义域为 D．不等式 的解集为 ， 11．若平面上的三个力 ， ， 作用于一点，且处于平衡状态。已知 ， ， ， 的夹角为 ，则（ ） A． B． C． ， 夹角的余弦值为 D． ， 夹角的余弦值为 12 ．已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿顺时针方向旋转 角得到向量 ，叫作把点 绕点 沿顺时针方向旋转 角得到点 ．已知平面内 为坐标原点，点 ，点 ， ，且 ．若点 绕点 沿顺时针方向旋转 角得到点 ，则（ ） A．点 的坐标为 B． C． D． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量 ， ， 满足 ，则 ________． 14．已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 ________． （北京）股份有限公司 15．若 ，则 ________， ________．（本题第一空3 分，第二空 2 分） 16．已知函数 在 上有最大值，无最小值，则 的取值范围是________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）已知函数 的图象经过点 ，且相邻两对称轴之间 的距离是 ． （1）求 的解析式； （2）求 在 上的值域． 18．（12 分）已知 ， 是两个单位向量． （1）若 ，求 与 的夹角； （2）若 与 垂直，求 ． 19．（12 分）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田， 扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积 ． （1）已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数； （2）若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值． （北京）股份有限公司 20．（12 分）已知向量 ， ，函数 ． （1）求 的单调递减区间； （2）若 ， ，求 的值． 21．（12 分）已知函数 的部分图象如图所示，且图中的 ． （1）求 的解析式； （2）判断函数 在 上的零点个数，并说明理由． 22．（12 分）在 中， ，且 ． （1）求 ； （2）已知 为 的中点，点 为 上一点，且 ， 与 相交于点 ，求 ． 2022~2023 下协作校高一第一次考试 数学试题参考答案 1．B 由题意得该手表分针转过的角为 ． （北京）股份有限公司 2．D 的最小正周期 ，最大值为2． 3．D 由 ，解得 ，所以点 ，则 ． 4．A 只需将函数 的图象向右平移 个单位长度，即可得到函数 的图象． 5．D 利用函数的图象易知 为奇函数且在 上为减函数，故选D． 6．C 如图，以 为原点， 为2 个单位长度，建立直角坐标系，则 ， ， ， ， ，所以向量 与 夹角的余弦值为 ． 7．B 因为 ，所以 ，则 ，故向量 在向量 上的投影向量为 ． 8．A 设 ， ，则 ， 当 时， 取得最小值，所以当 时， ， ． 9．BCD 由 ，得 ，即 ，则A 错误．由 ，得 ，则 （北京）股份有限公司 B 正确．由 ，得 ，即 ，则C 正确．由 ，得 ，则 ，故D 正确． 10．BD 由题知 ，则 ，因为 ，所以 ，A 错误． 的最小正周期 ，B 正确．令 ， ，则 ， ，所以 的定义域为 ，C 错误． 令 ， 则 ， 得 ， ， 即 ， ，所以不等式 的解集为 ， ，D 正 确． 11．BC 因为 ，所以 ．设 ， 的夹角为 ，由 ，得 ，得 ． 12 ．ABD 由题意可知点 ，点 ，故 ，因为 ，所以 ，解得 或3 ．当 时， ，则 ， ， ，符合题意．当 时， ，则 ， ， ， 不符合题意，舍去，C 错误． 因为点 绕点 沿顺时针方向旋转 角得到点 ，所以 ，则可得 点 的坐标为 ，故A 正确． （北京）股份有限公司 因为 的坐标为 ，所以 ，B 正确． ，D 正确． 13． 由 ，可得 ，平方可得 ，解得 ． 14．2 由题意得 ，所以 ． 15． ； 因为 ， 所以 ， ． 16． ． 由题可知， ，所以 ，当 时， ， 所以 解得 ． 17．解：（1）由题意可得 ，即 ，解得 ． 2 分 因为 的图象经过点 ，所以 ，解得 ． 因为 ，所以 ． 4 分 故 ． 5 分 （北京）股份有限公司 （2）因为 ，所以 ． 6 分 当 ，即 时， 取得最大值2， 8 分 当 ，即 时， 取得最小值 ， 9 分 则 在 上的值域为 ． 10 分 18．解：（1）因为 ， 是两个单位向量，所以 ． 1 分 因为 ， 3 分 所以 ， 4 分 则 ， 5 分 因为 ，所以 ． 6 分 （2）依题意可得 ， 8 分 即 ， 10 分 解得 ． 12 分 19．解：（1）由题意得 ，得径 ， 2 分 则扇形的半径为2，所以甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数为 ． 5 分 （2）设乙宛田的弧长为，径为 ， （北京）股份有限公司 则 ，得 ， 7 分 所以乙宛田径与周之和为 ， 9 分 当且仅当 时，等号成立． 11 分 故乙宛田径与周之和的最小值为 ． 12 分 20．解：（1）因为 ， 1 分 所以 ． 4 分 由 ， ，得 ， ， 5 分 所以 的单调递减区间为 ． 6 分 （2）由 ，得 ， 即 ． 7 分 因为 ，所以 ， 9 分 ， 11 分 故 ． 12 分 21．解：（1）由图可知 ， 1 分 图象的一条对称轴为直线 ， 2 分 （北京）股份有限公司 由 ，得 ， ． 3 分 因为 ，所以 ，得 ， 4 分 又 ，所以 ． 5 分 故 ． 6 分 （2） 在 上有3 个零点．理由如下： 在 上的零点个数等于 的图象与直线 在 上的交点个数． 8 分 令 ，得 ． 9 分 当 时， ． 10 分 当 时， ． 11 分 故 在 上有3 个零点． 12 分 22．解：（1）根据 ，可得 ， 2 分 所以 ． 4 分 又 ，所以 ． 5 分 （2）因为 ， ，所以 ，易知 ． 6 分 因为 为 的中点，所以 ， ． 8 分 （北京）股份有限公司 因 为 ， 所 以 ， ， 10 分 则 ， 所以 ． 12 分 （北京）股份有限公司