余姚中学2022学年第一学期期中考试高一数学试卷

1 余姚中学2022 学年第一学期期中考试高一数学试卷 命题人：史日能 审题人：朱丽君 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分， 共40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合   0,1,2,3,4 A  ，   2 , B y y x x A    ，则A B   （ ） A. 2} {0， B. 4} 2 {0 ， ， C. 4} {0， D. 4} 2 1 {0 ， ， ， 2.已知函数 c x x x f    6 ) ( 2 有零点,但不能用二分法求出,则c 的值是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 3.设a 为实数, 则 2 1 a a  是 a a 1 2  的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4.函数 2 ) ( x e e x f x x    的图像大致为( ) 5.若正实数 y x, 满足   1 4 1 9 x y    ，则 4 x y  的最小值为（ ） A.3 B. 26 5 C.4 D. 42 5 6. 已知函数 ) 1 , 0 ( ) ( 2 2     a a a x f x x 且 ，若 1 ) (  x f 对于任意 ) 2 1 , 0 (  x 恒成立，则函 数 ) (x f 的单调递增区间为（ ） A.        , 2 1 B.        , 4 1 C.       4 1 0， D.      4 1 - ， 7. 中国G 5 技术领先世界, G 5 技术的数学原理之一便是香农公式:        N S W C 1 log2 , 它表示:在受噪声干扰的信道中, 最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ,信道内信号的平 均功率， S 信道内部的高斯噪声功率N 的大小,其中N S 叫信噪比.㧍照香农公式,若不改变 带宽W ,将信噪比N S 从1000 提升至5000,则C 大约增加了 ） （ 3010 . 0 2 lg  ( ) A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 8. 给出定义：若 2 1 2 1     m x m （其中m 为整数） ，则m 叫作关于x 的“网红数” ，记 2 作 } {x ，即 m x  } { .例如： 3 {2.8} 1 {1.2}  ， .给出下列关于函数 } { ) ( x x x f   的四个命 题：① 2 1 ) 2 1 (   f ;② 4 . 0 ) 4 . 3 (   f ;③ ) 4 1 ( ) 4 1 ( f f   ;④ ) (x f 的定义域是R ,值域是 ） 2 1 , 2 1 [ ，正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9. 下列函数中与函数 x y 1  是同一个函数的是（ ） A. 2 1 x y  B. x x y 0  C. 2 x x y  D. t y 1  10.下列命题是真命题的是（ ） A． B. C． 2 2 3 െ0 D． 2 2 3 െ0 11.设 c b a , , 都是正数, 且 c b a 25 15 9   , 那么( ) A. ac bc ab 2   B. ac bc ab   C. a b c 1 2 1   D. b a c 1 2 2   12. 已知函数 2 2 2 ) ( 1 2     x x x f ， 定义域为M ， 值域为 ] 2 , 1 [ ， 则下列说法中正确的 （ ） A. ] 2 , 0 [  M B. ] 1 , (  M C. M  0 D. M  1 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.计算： 2 lg 2 25 lg 5 . 0 - 216 1 . 1 2 - 3 0    = . 14. 已知函数 ) 2 ( 1 x f y   的定义域是 ] 1 , 0 [ ，则函数 ) 1 3 (   x f y 的定义域 是 . 15．给出下列结论： ① 2 2 - 4 4   ） （ ； ②   2 1, 1,2 y x x    , y 的值域是[2，5]； ③幂函数图象一定不过第四象限； ④函数  1 2( 0, 1) x f x a a a      的图象过定点  1, 1  ； ⑤若 3 log 4 1, x  则 x x  2 2 的值是4 3 3 ，其中正确的序号是 . 3 16．已知a R  ，函数 16 ( ) | | f x x a a x     在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范 围是__________. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （10 分）函数 x x f 4 2 ) (   的定义域为A , 函数 1 4 ) ( 2     x x x g 的定义域为 ] 3 , 0 [ ,值域为B . (1) 记 Z B A M    , 其中Z 为整数集, 写出M 的所有子集; (2)若 } 3 2 {     m x m x P ｜ 且   B P  , 求实数m 的取值范围. 18. (12 分)命题： p “ 0 ] 2 , 1 [ 2      a x x x ， ” ， 命题 : q “ 0 2 3 2       a x x R x ， ” . （1）写出命题p 的否定 p  ,并求当命题 p  为真时，实数a 的取值范围； （2）若p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围. 19. （12 分）杭州地铁项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利,已知某 条线路通车后,列车的发车时间间隔t (单位: 分钟) 满足 20 2  t ,经市场调研测算,列车 载客量与发车时间间隔t 相关,当 20 10  t 时列车为满载状态,载客量为500 人,当 10 2  t 时,载客量会椷少,减少的人数与 ) 10 ( t  的平方成正比,且发车时间间隔为2 分钟 时的载客量为372 人,记列车载客量为 ) (t p . (1)求 ) (t p 的表达式,并求当发车时间间隔为5分钟时,列车的载客量; (2)若该线路每分钟的净收益为 60 2656 ) ( 8 ) (    t t p t Q (元),问当发车时间间隔为多少时, 该线路每分钟的净收益最大,并求出最大值. 20. （12 分）已知函数    2 1 f x x ax a    R ． （1）若函数  f x 在区间  2 1, a 上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若函数  f x 在区间1 ,1 2       上的最大值为 1 4  ，求实数a 的值． 4 21.（12 分)已知函数 ） （ ax x f   1 log ) ( 3 , ] ) 2 3 ( ) 1 2 [( log ) ( 2 3 x a x a x g     , R a (1) 若 3  a , 求不等式 ) ( ) 1 3 ( x f x f   的解集; (2) 若方程 0 ) ( ) (   x g x f 有唯一的解,求实数a 的取值范围. 22．（12 分）已知 } 1 0 {     x x R x M 且 │ , ) , 2 , 1 )( (     n x fn 是定义在M 上的一系列 函数，满足: ) ( 1 ) ( , ) ( * 1 1 N i x x f x f x x f i i      ） （ . (1) 求 ) ( 3 x f ， ) ( 4 x f 的解析式； (2) 若 ) (x g 为定义在M 上的函数，且 x x x g x g     1 ) 1 ( ) ( . ①求 ) (x g 的解析式； ②若方程 ） 且 （ ） （ 1 0 ) ( 1      x x mx x g x 有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.