铁人中学2021级高一下学期月考考试数学试题

大庆铁人中学高 一 学年 下 学期 月考 考试 数学 试题 考试时间： 2022 年 4 月 日 第 1 页 共 3 页 铁人中学2021 级高一学年下学期月考考试 数学试题 命题人：魏玉雷 审题人：李德胜 试题说明： 1.本试题满分150 分，答题时间120 分钟. 2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷(选择题60 分) 一、单项选择题（本大题包括8 小题，每小题5 分，共40 分，每小题给出的四个选项中，只有一 ．．． 项 ． 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1．若复数z 满足  i i z    1 1 (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( )． A． i  B． i 2  C．i D． i 2 2.已知正三角形ABC 的边长为2 ，那么ABC  的直观图 C B A     的面积为（ ） A．4 6 B．2 6 C．2 3 D．3 3．在ABC  中，内角 , , A B C 所对的边分别为, , a b c .则“ B A sin sin  ”是“ b a  ”的（ ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．平面向量a 与b 的夹角为π 3 ，   0 , 2  a ， 1  b ，则 b a 2  等于( ) A．2 3 B．2 2 C．4 D．10 5.在ABC  中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 3  b ，  30  A ， 2  c ， 则      C B A c b a sin sin sin （ ） A．. 4 1 B． 2 1 C． 1 D． 2 6．已知正方形ABCD的边长为 2 2 ，E 为边BC 中点，则向量AE 在向量AC 上的投影向 量为（ ） A． AC 4 1 B． AC 2 1 C． AC 4 3 D．AC 7．已知向量a 与b 的夹角为120， 1  b a ，c 与a b  同向，则| | a c  的最小值是（ ） A．1 B．1 2 C．1 3 D．1 4 8.设锐角三角形ABC 的内角 C B A 、 、 的对边分别为 c b a , , .若 inC a A c s 3 ) cos 1 (   ， 2  b ， 则ABC  面积的取值范围是（ ） A.    ， 1 B.           ， 2 3 C.   3 2 1 ， D.         3 2 2 3， 二．多项选择题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分) 9．下列说法中错误的是（ ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体 叫棱柱 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形 10．在 ABC  中，内角A B C ，， 的对边分别为a b c ，，．下列四个结论正确的是( )． A．若sin cos A B a b  ，则 π 4 B  B．若 π 2 3 4 B b a    ， ， ，则满足条件的三角形共有两个 C．若 2 b a c  ，且2sin sin sin B A C   ，则 ABC  为正三角形 D．若 5  a ， 2  c ， ABC  的面积 4  ABC S ，则 3 cos 5 B  11．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到 大庆铁人中学高 一 学年 下 学期 月考 考试 数学 试题 考试时间： 2022 年 4 月 日 第 2 页 共 3 页 外心的距离是重心到垂心距离的一半， 此直线被称为三角形的欧拉线， 该定理则被称为欧拉线 定理.设点O､G ､H 分别是ABC  的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ） A． 0 2    GC GB GA B． 2 4 AB AC HM MO    C． OM AH 2  D．OA OB OC   12.锐角ABC  中， 内角 , , A B C 所对边分别为, , a b c ， 且 A b b c cos 2   ， 下列结论正确的是 （ ） A． 2 A B  B．B 的取值范围为0, 4        C．a b 的取值范围为  3 , 2 D． 1 1 2sin tan tan A B A   的取值范围为5 3 ,3 3         第Ⅱ卷(非选择题90 分) 二、填空题(本大题包括4 小题，每小题5 分，共20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13．已知   2 , 1  a ，   x b ， 3 -  ，若a ，b 夹角为钝角，则x 的取值范围为________． 14.已知等边三角形ABC 的边长为1， a BC  ， b CA  ， c AB  ，那么 a c c b b a      =________． 15.如图，在直三棱柱 1 1 1 C B A ABC  中， 2 AB  ， 3 BC  ， 1 AC ， 1 3 AA  ， F 为棱AA1上的一动点，则当 1 FC BF  最小时， 1 BFC  的面积为________． 16．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳 节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的， 并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪 纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4 ，圆O的圆心为正六边形的中心， 半径为2 ，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O的直径，则PM PN  的取值范 围是__________． 三、解答题(本大题包括6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10 分）已知复数   2 2 4 12 4 i z m m m      ，其中m R  ． （Ⅰ）若z 为纯虚数，求m 的值； （Ⅱ）若z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求m 的取值范围． 18.（12 分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中   2 , 1  a ． （Ⅰ）若a ，b ，c 两两的夹角相等；且 5  b ， 5 2  c ，求 c b a   ； （Ⅱ）若 2 5  b ，且 b a 2  与 b a  2 垂直，求a 与b 的夹角． 19. （12 分） 如图， 在ABC  中， 已知 2  AB ， 5  AC ，  60  BAC ， AC BC, 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P . （Ⅰ）求BN ； （Ⅱ）求 MPN  的正弦值. 20. （12 分） 在ABC  中， 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ， b ，c ， sin 1 sin sin A a b B C a c     ． （Ⅰ）设   sin ,1 m A  ，   8cos ,cos2 n B A  ，判断m n  最大时ABC  的形状． （Ⅱ）若 3 b  ，求ABC  周长的取值范围． 21.(12 分)如图，我国的一艘海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航 行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16 n mile （海里）的B 处 有一艘外国船只，且D 岛位于海监船正东14 2 n mile 处． （Ⅰ）求此时该外国船只与D 岛的距离； （Ⅱ） 观测中发现， 此外国船只正以每小时4 n mile 的速度沿正南方向航 行．为了将该船拦截在离D 岛12 n mile 处，不让其进入D 岛12 n mile 内的海域，试确定 海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8) (21 题图) （19 题图） （15 题图） （16 题图） 大庆铁人中学高 一 学年 下 学期 月考 考试 数学 试题 考试时间： 2022 年 4 月 日 第 3 页 共 3 页 22.（12 分）如图，边长为2 的等边三角形ABC 中，O是BC 的中点，D ，E 分别是边AB ，AC 上 的动点（不含端点），记 BOD    . （Ⅰ） 在图①中， 120 DOE   ，试将AD ，AE 分别用含的关系式表示出来， 并证明AD AE  为定值； （Ⅱ）在图②中， 60 DOE   ，问此时AD AE  是否为定值？若是，请给出证明；若不是，求 AD AE  的取值范围. 图① 图② （22 题图）  120    60