2022—2023学年下期期中高二数学答案

1 河南省实验中学2022--2023 高二数学期中考试答案 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B D B A C A B D D 13． 14． 15．150 16．1 9.解：函数 的定义域是 ， 在 有 解， 即 ，即 ，解得 ，所以 的取值范围是 ． 10.解： 数列 满足 ，则 ，且 ， 数列 是以3 为首项，3 为公比的等比数列，则 ，即 ， 又 ， ，转化为 对 恒成立，即 ， 又数列 是递增数列，则当 时， ，即 ， 故实数 的取值范围是 ． 11.解：设 ， ，即 ， ， 在 上单调递减，又 ， 不等式 ， 即 ， ， 原不等式的解集为 ． 12.解：由 ，令 ， ， 所以 ，因为 ， 因为 ，所以 ， ，故 ，所以 在 上单调递减， 又 ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 ． 由 ， 令 ， ， 所 以 2 ，所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ， 2 即 ，所以 ，综上， ． 16.解： ， 即 ， 设 ，则 ，且 ，所以 在 上单调递增， 正实数 ， ， ，即 ，所以 ，等价于 ， 即 ，则 ，于是最小值为1． 17.解：(1){an}满足： ，则{an}为等差数列， ， ， 即 ，解得 ， ；......................5 分 (2) ， 则 ．......................10 分 18.解：函数定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝2x－2＋． (1)由已知得f′(1)＝2×1－2＋a＝－1，得a＝－1．..............4 分 (2)f′(x)＝2x－2＋＝(x>0)，对于方程2x2－2x＋a＝0，记Δ＝4－8a. ①当Δ≤0，即a≥时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当Δ>0，即0<a<时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.又a>0，故x2>x1>0. 当 时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当 时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． 综上所述，当a≥时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a<时，函数f(x)在 上单调递增， 上单调递减， 在 上单调递增．..............12 分 19.解：(1)当n＝1 时，2a1+1＝3a1，∴a1＝1，又2Sn+1=3an(n∈N ∗)，∴可知an≠0， 当n≥2 时，由2Sn+1=3an(n∈N ∗)，得2Sn 1 ﹣+1＝3an 1 ﹣， 两式相减得2an＝3an 3 ﹣an 1 ﹣，∴an＝3an 1 ﹣，∴{an 3 }是以1 为首项，以3 为公比的等比数列，∴an=3 n−1．..............6 分 (2)由(1)可得nan=n⋅3 n−1，∴T n=1⋅3 0+2⋅3+3⋅3 2+⋯+n⋅3 n−1， ∴3T n=3+2⋅3 2+3⋅3 3+⋯+n⋅3 n， ∴−2T n=1+3+3 2+⋯+3 n−1−n⋅3 n=1−3 n 1−3 −n⋅3 n=( 1 2 −n)⋅3 n−1 2 ， ∴T n= 1 4 + 2n−1 4 ⋅3 n．..............12 分 20.解： (1)证明： 为 的中点， ，又四棱锥 的底面是矩 形， ， ， ， 又 ， ， 底面 ， 底面 ， ，又 ，且 ， 平面 ， 平面 ．........5 分 (2) 平面 ，又 ， 平面 ， ， ，又四棱锥 的底面是矩形， ， 建立如下图所示的空间直角坐标系，设 ： ， ， ， ， 平面 ， 平面 的法向量为 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ， 二面角P－AM－D 的余弦值为： 4 ， 于是二面角P－AM－D 的正弦值为 ...............12 分 4 21.解：(1)由题得 ，解得 ，于是 ；..............4 分 (2)直线的斜率不存在时，易得 ； 直线的斜率存在时，可设为 ，联立方程即 ， 消 可得 ，易得 ，设 ， 韦达定理可得 ； ， 韦达代入得 ，得证．..............12 分 22..解：(1) ， ． ， ， 当 时， ， 单调递增， ，不等式成立， 当 时， ． ， ， 单调递减， ，这 与题设矛盾．综上， 的取值范围为 ， ．..............5 分 (2) 记 ，则 ， ． 记 ，则 ， 单调递增，且由唯一零点 ，于是 在 单调递减， 单调递增， 在 处取得最小值 ． 当 ，即 时， ， 故 在 上单调递增， 在 上有唯一零点 ; 当 ，即 时， ， ，于是 有两个零点，且 ， 5 于是 在 单调递增， 单调递减， 单调递增， 又 ，则 ， ， ， 5 ，则由零点存在定理可得 在 存在唯 一零点， 在 存在唯一零点，故此时有三个零点． 综上可得 时，有一个交点； 时，有三个交点．..............12 分