湖北省恩施州高中教育联盟2021-2022学年高一下学期期中考试 数学

恩施州高中教育联盟2022 年度春季学期高一期中考试 数 学 命题学校：利川一中 命题教师：何 平 审题教师：吴周伦 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册第八章第2 节． 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求． 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若 ， ， ，且 ，则向量a 与b 的夹角为（ ） A. B. C. D. 3.“ ”是“实系数一元二次方程 有虚根”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在正方体ABCD— 中，M，N 分别是棱 和 上的点， ， ，那么正方体中过M，N， 的截面图形是（ ） A. 三角形B.四边形 C.五边形 D.六边形 5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂 分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用 函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO 为 ，可抽象为如图所示的 轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 6.已知 ， ， ，则a，b，c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 图象的一个对称中心为（ ，0），把f（x）的图象向右平移 （ ＞0）个单位长度后，可以得到偶函数 的图象，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数 ，若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，且满足 ，则 的取值范围是（ ） A.（0，3）B.（0，4] C.（3，4] D.（1，3） 二、多选题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，部分选对的得2 分，有选错的 得0 分． 9.已知i 为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A.“若x ，则 的充要条件是“ ” B. 是纯虚数 C.若 ，则 D.当 时，复数 是纯虚数 10.下列命题正确的是（ ） A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 C.棱锥是由一个底面为多边形，其金各面为且有公共顶点的三角形围成的几何体 D.球而可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转 所形成的曲面 11.对于函数 下列四个结论中正确的是（ ） A.f（x）是以 为固期的函数 B.当且仅当 时，f（x）取得最小值－1 C.f（x）图象的对称轴为直线 D.当且仅当 时， 12.如图所示，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与x，y 轴 正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为 仿射坐标系，若 ，则把有序 数对（x，y）叫做向量 的仿射坐标，记 ，在 的仿射坐标系中， ，b＝（2，－1），则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D.a 在b 上的投影向量为（－ ， ） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13.如图所示的正方形 的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则 原图形的面积是 ． 14.在△ABC 中， ， ，若BC 边的中点D 的坐标为（－3，1），点A 的坐标为（－2，t），则t＝． 15.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷 的上空，横跨深涧的观光索道的钢索，这些现象中都有相似的曲线形态，事实上，这些曲线在 数学上常常被称为悬链线，悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用，在恰 当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 （其中a，b 是非零常数，无理数e ＝2.71828…），对于函数f（x），以下结论正确的是． ①如果a＝b，那么f（x）为奇函数； ②如果 ，那么f（x）为单调函数； ③如果 ，那么f（x）没有零点； ④如果 ，那么f（x）的最小值为2 16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”， 我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A，B 两点间的距离，现 在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得 ， ， ， ，则A，B 两点间的距离为． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分． 17.（满分10 分） 已知向量 ， ，向量 ． （1）当k 为何值时， ？ （2）若x，y 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围． 18.（满分12 分） 已知复数 ， ， ． （1）若 ，求角 ； （2）复数 ， 对应的向量分别是 ， ，其中O 为坐标原点，求 的取值范 围． 19.（满分12 分） 在△ABC 中， ． （1）若 ，求B 的大小； （2）若 ，求△ABC 面积的最大值． 20.（满分12 分） 在① ，② 这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求 解问题． 问题：已知函数 ． （1）若命题“___， ”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）当 时，求关于x 的不等式 的解集． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 21.（满分12 分） 已知函数 的最小正周期为 ． （1）求f（x）的单调增区间； （2）将f（x）的图象向左平移 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到函数 的 图象，若 在[0，b]（ ）上至少含有2022 个零点，求b 的最小值． 22.（满分12 分） 已知函数 ），当点M（x，y）在函数g（x）的图象上运动时，对应 的点 在f（x）的图象上运动，则称g（x）是f（x）的相关函数． （1）解关于x 的不等式 ； （2）若对任意的 ，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围； （3）设函数 ， ，当 时，求|F（x）|的最大值． 恩施州高中教育联盟2022 年度春季学期高一期中考试 数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A C C A D A BD CD CD ABD 13. 14.315.②③16. 17.解：（1） ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．2 分 因为 ，所以 ，解得 ．．．．．．．．．．．．． 4 分 当 时 ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．5 分 （2）可知 ， 由 ， 得 ， 解 得 ． …．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分 由 ，得 ，解得 ． 当 时 ， x 与 y 共 线 反 向 ， x 与 y 的 夹 角 为 平 角 ， 舍 去．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分 当 且 时 ， x 与 y 的 夹 角 为 钝 角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 18.解：（1）由 ， ， ， 可得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分 由 ， 可 得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 所以 ，又 ， 所 以 或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （2 ）由题意可得 ．．．．．．．．．．7 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．9 分 由 ， 得 ， 所 以 ， …．．．．．．．．．．．．．．11 分 所 以 的 取 值 范 围 为 [—2 ， 4]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 19.解：（1）因为 ，且 ， 所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分 又因为 ， ， 所以 ， 所 以 ， 所 以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分 因为 ，所以△ABC 为等边三角形， 所 以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 （2）因为 ，且 ， 所以 ， 所 以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 （ 当 且 仅 当 时 ， 等 号 成 立）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．9 分 因为 ，所以 ，所以 ， 所 以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 分 综上，当△ABC 是边长为1 的等边三角形时，其面积取得最大值 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 20.解：（1）由 ，得 ，即 ． 设 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．2 分 则 在[ －2 ，0] 上的最小值为 ，最大值为 ．．．．．．．．．．．．4 分 选择条件①，则 在[－2，0]上成立， 所 以 ， 故 实 数 a 的 取 值 范 围 是 （ － ∞ ， 0]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 选择条件②，则 在[－2，0]上恒成立， 所 以 ， 故 实 数 a 的 取 值 范 围 是 （ － ∞ ， － 1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （ 2 ） 由 ， 可 得 ， 即 ， 因 为 ， 所 以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．7 分 当 时 ， 解 集 为 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分 当 时 ， 解 集 为 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．10 分 当 时 ， 解 集 为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 21.解：（1）由题得 ． 因为f（x）的最小正周期为 ，所以 ， 则 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分 令 ， 解得 ， 所以f（x）的单调增区间为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 分 （2）将f（x）的图象向左平移 个单位长度，再向上平移1 个单位长度， 可得到函数 的图象， 所以 ．…．．．．7 分 令 ，得 ， 可得 或 ， 解 得 或 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分 所以g（x）在每个周期上恰有2 个零点，若 在[0， 上至少含有2022 个零 点，．．．．．．．．．．10 分 则b 不小于第2022 个零点的横坐标即可，即b 的最小值为 ．……12 分 22.解：（1）依题意得 则 所以 ， 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．3 分 （2）由题意得 ，所以 ， 所以f（x）的相关函数为 ． 依题意，对任意的 ，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方， 即当 时， 恒成立①． 由 对任意的 总成立， ，结合题设条件有 ，．．．．…．4 分 在此条件下，①等价于当 时， 恒成立， 即 ， 即 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．5 分 设 ， 要使当 时， 恒成立， 只需 ，即 成立，解得 ，即a 的取值范围是（0，1]．………… 7 分 （3）由（2）可得当 时，在区间（0，1）上， ， 即 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分 设 ，则 ． 令 ，则 ，所以 ， 因为 （当且仅当 时，等号成立）， 可得 ，当 时，等号成立，满足 ，则t 的最大值为 ，．．．．．．．．．．．11 分 所 以 |F （ x ） | 的 最 大 值 是 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分