江苏省常熟市2021-2022学年高二学生暑期自主学习调查 数学

学生暑期自主学习调查 高二数学 2021.9 注意事项： 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4 页，包含单项选择题(第1 题～第8 题)、多项选择题(第9 题～第12 题)、填空题 (第13 题～第16 题)、解答题(第17 题～第22 题)。本卷满分150 分，答题时间为120 分钟。 答题结束后，请将答题卡交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡 的规定位置。 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须 用0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆 珠笔。 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，6}，则∁U(A∩B)＝ A.{4} B. C.{1，2，4，5，6} D.{1，2，3，5，6} 2.设zi＝1－2i(其中i 为虚数单位)，则复数z＝ A.－2－i B.－2＋i C.2＋i D.2－i 3.已知方程lnx＝11－2x 的实数解为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈N*，则k＝ A.1 B.2 C.3 D.4 4.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则 ＝ A. B. C. D. 5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是 面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为 A.12 π B.12π C.8 π D.10π 6.已知函数f(x)＝ ，则f(f(9))＝ A. B.－ C. D.－ 7.若命题“∀x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，则实数m 的取值范围是 A.[1，＋∞) B.(－1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 8.长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线 B1C 和C1D 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。 9.已知向量 ， 满足| |＝1，| |＝2，| ＋ |＝ ，下列说法中正确的有 A. · ＝－1 B.( ＋ )⊥( － ) C. 与 的夹角为 D.| － |＝ 10.近日，2021 中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100 个地级及以上候选城市 名单中，苏州市入选“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意 程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高。现随 机抽取20 位苏州市居民，他们的幸福感指数见下表，则下列说法正确的有 A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的标准差为3.6 C.这组数据的众数为8 D.这组数据的第80 百分位数是8 11.已知函数f(x)＝2sin( ＋x)sin( －x)，则下列结论正确的是 A.函数f(x)是周期函数，且最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于点( ，0)成中心对称 C.函数f(x)的图象关于直线x＝ 轴对称 D.若不等式f(x)≤f(x0)对x∈R 恒成立，则x0的最小正值为 12.已知在三棱锥P－ABC 中，AP，AB，AC 两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝ 3cm，点O 为三棱锥P－ABC 的外接球的球心，点D 为△ABC 的外接圆的圆心，下列说法 正确的是 A.三棱锥P－ABC 的体积为10cm3 B.直线BC 与平面PAC 所成角的正切值为 C.球O 的表面积为50πcm2 D.OD⊥PA 三填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.函数f(x)＝ 的定义域为 。 14.已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)对任意的x，y∈(0，＋∞)都成立， 写出一个满足以上特征的函数f(x)＝ 。 15.已知角θ 的终边经过点P(－1，2)，则tan(θ－ )＝ 。 16.在平面五边形ABCDE 中，已知B＝120°，C＝90°，D＝120°，A＝90°，BC＝ ，AB ＝ ，则△ABC 的面积为 ；当五边形ABCDE 的面积S∈[2 ，3 )时，CD 的取 值范围为 。(第一空2 分，第二空3 分) 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10 分) 已知函数f(x)＝2cosx( sinx＋cosx)－1。 (1)求f(x)的周期和单调递增区间； (2)若f(α)＝ ，α∈( ， )，求cos2α 的值。 18.(本小题满分12 分) 4 月23 日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门 为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000 名中学生进行调查，统计他们每 日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图。 (1)求频率分布直方图中a 的值，并估计1000 名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据 用该组区间的中点值代表该组数据平均值)； (2)若采用分层抽样的方法，从样本在[60，80)，[80，100]内的学生中共抽取5 人来进一步 了解阅读情况，再从中选取2 人进行跟踪分析，求抽取的这2 名学生来自不同组的概率。 19.(本小题满分12 分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E 分别是AB，BB1的中点。 (1)证明：BC1//平面A1CD； (2)若AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 ，证明：平面CDE⊥平面A1CD。 20.(本小题满分12 分) 已知函数f(x)＝m－ ，是定义在R 上的奇函数。 (1)求实数m 的值； (2)如果对任意x∈R，不等式f(2a＋cos2x)＋f(4sinx－ －7)<0 恒成立，求实数a 的取 值范围。 21.(本小题满分12 分) 如图，在四棱锥P－ABCD 中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD 是边长为2 的等边三 角形，四边形ABCD 是矩形，BC＝2 ，M 为BC 的中点。 (1)证明：AM⊥PM； (2)求二面角P－AM－D 的大小。 22.(本小题满分12 分) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按 方向释放机器人甲，同时在A 处按 方向释放机器人乙，设机器人乙在M 处成功拦截机 器人甲，两机器人停止运动。若点M 在矩形区域ABCD 内(包含边界)，则挑战成功，否则 挑战失败。已知AB＝6 米，E 为AB 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 与 的夹角为θ(0<θ<π)， 与 的夹角为α(0<α< )。 (1)若两机器人运动方向的夹角为 ，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路 程和的最大值； (2)已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2 倍。 (i)若θ＝ ，AD 足够长，机器人乙挑战成功，求sinα。 (ii)如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ 的值为多少，总可以通过设 置机器人乙的释放角度α 使机器人乙挑战成功？