2.数学答案：2021-2022学年第二学期高二学科素养检测

高二数学参考答案及评分标准 第1 页共9 页 2021-2022 学年第二学期高二年级质量检测 数学试题答案及评分参考 2022.5 一、单项选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A D C B D C 二、多项选择题： 题号 9 10 11 12 答案 BD ACD AD BC 12. 已知函数 ( ) sin cos 1 f x x x a x   ( ) aR ，函数 ( ) ( ) g x f x   ，则下列结论正确的为 A． ( ) (2 )cos sin g x a x x x     B．任意 ( ,2] a ，( ) g x 在区间( π , 2 π) 上单调递减 C．当 1 a 时， ( ) f x 在区间( ) π,π  上有3 个零点 D．若 0 x  为 ( ) f x 的极大值点，则 2 a  解析： （1）考查选项A：∵ ( ) ( ) (1 )sin cos g x f x a x x x      ， ∴ ( ) (2 )cos sin g x a x x x     ，故选项A 错误； （2）考查选项B：当 ( ,2] a ， π ( ) π , 2 x  时，(2 )cos 0 a x   ， sin 0 x x   ， ∴ ( ) (2 )cos sin 0 g x a x x x      ，∴ ( ) g x 在区间( π , 2 π) 上单调递减， 故选项B 正确； （3）考查选项C：当 1 a 时， ( ) sin cos 1 f x x x x    ， ( ) cos f x x x   . 当 ( , ) π π 2 x  时， ( ) 0 f x   ， ( ) f x 单调递增； 当 ) π ( ,0 2 x 时， ( ) 0 f x   ， ( ) f x 单调递减； 当 2 (0, ) π x 时， ( ) 0 f x   ， ( ) f x 单调递增； 当 π ( ) π 2 , x 时， ( ) 0 f x   ， ( ) f x 单调递减， 又∵ ( ) ( ) 2 0 π π f f    ， 0 π π π ( ) ( 1 2 2 2) f f     ， (0) 0 f  ， ∴ ( ) f x 在区间( ) π,π  上有3 个零点，故选项C 正确； 高二数学参考答案及评分标准 第2 页共9 页 （4）考查选项D：当 2 a  时， ( ) ( ) sin cos g x f x x x x     ， ( ) sin g x x x   ， 当 ) π ( ,0 2 x 时， ( ) sin 0 g x x x    ， ( ) f x  单调递减， ∴ ( ) (0) 0 f x f     ， ( ) f x 单调递增； 当 2 (0, ) π x 时， ( ) sin 0 g x x x    ， ( ) f x  单调递减， ∴ ( ) (0) 0 f x f     ， ( ) f x 单调递减， ∴当 2 a  时， 0 x  亦为 ( ) f x 的极大值点，故选项D 错误； 综上所述，应选BC. 三、填空题： 13．68 ； 14．1； 15．6 7 ； 16． ln 2  ；1 2e ． 16．已知函数 1 ( ) ln 2 f x x x   ，函数 2e ( ) x g x x a   ( ) aR ，其中e 是自然对数的底数 （=2.718 28 e ） ，若直线y kx m   与曲线 ( ) y f x  ， ( ) y g x  都相切于点 0 0 ( , ) x y ， 则 0 y  ， 2 e a  ． （注：本题第一空2 分，第二空3 分.） 解析：易知 1 1 ( ) 2 f x x    ，且 2 ) ( ) 2 e ( x g x x x    ， ∴ 0 2 0 0 0 1 1 2 e ( 2 ) x k x x x     ， 0 0 x  ，化简得 0 2 0 1 e 2 x x  ， 两边同时取对数得， 0 0 2 0 1 ln ln 2 2ln 2 x x x    ， ∴ 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ln ln ( ln 2 2ln ) ln 2 2 2 y f x x x x x         ，故应填 ln 2  ； 将 0 ( , ln 2) x  代入( ) g x ，得 0 2 0 1 ln 2 2 e x x a a      ，∴ 1 ln 2 1 ln 2 2e a    ， ∴ 2 1 e 2e a  ，故应填1 2e . 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （10 分） （1）若 1 (2 )n x x  * ( ) nN 的展开式的各二项式系数之和为64 ，求 1 (2 )n x x  的展开式 的第3项； 高二数学参考答案及评分标准 第3 页共9 页 （2）设(3 )m x  * ( ) mN 的展开式的各项系数和为32，求 2 1 (1 ) m x   的展开式的各奇数 项系数的和． 解：(1) ∵ 1 (2 )n x x  * ( ) nN 的展开式的二项式系数之和为64 ， ∴2 64 n  ， 解得 6 n  ， ……………………………………………………………………2 分 ∴ 6 1 (2 ) x x  的展开式的第3项为 2 4 2 2 3 6 1 (2 ) ( ) 240 T C x x x    ．…………………………5 分 (2) ∵(3 )m x  * ( ) mN 的展开式的各项系数和为32 ∴2 32 m  ， 解得 5 m  ，……………………………………………………………………6 分 令 9 8 9 0 1 8 9 (1 ) x b b x b x b x      ， 令 1 x ，代入 9 8 9 0 1 8 9 (1 ) x b b x b x b x      中， 得 0 1 8 9 0 b b b b     ①， ……………………………………………………………7 分 令 1 x ，代入 9 8 9 0 1 8 9 (1 ) x b b x b x b x      中， 得 9 0 1 8 9 2 512 b b b b      ②， ……………………………………………………8 分 ①，②两式相加得， 0 2 8 2( ) 512 b b b    ，即 0 2 8 256 b b b    ， ∴ 2 1 (1 ) m x   的展开式的各奇数项系数的和为256．………………………………………10 分 18． （12 分） 某校高二年级学生参加全市的数学调研考试（满分150 分） ，现从甲班和乙班分别随机 抽取了10 位同学的考试成绩，统计如下表． 班级 考试成绩（单位：分） 甲班 106 ，112 ，117 ，120 ，125 ，129 ，129 ，135 ，141，146 乙班 103 ，114 ，116 ，119 ，124 ，128 ，131，134，139 ，143 （1）若分别从甲、乙两班的这10 位同学中各抽取一人，求被取出的两人的成绩均不低 于120分的概率； （2）考虑甲、乙两班这20 位同学的成绩，从不低于130 分的同学中任意抽取3 人，随 机变量X 表示被抽取的成绩不低于140 分的人数，求X 的分布列和数学期望． 解： （1）设事件A 为“被取出的两人的成绩均不低于120 分” ，则由表格可得，甲、乙两班 中成绩不低于120 分的人数分别为7 和6 ，………………………………………………… 2 分 高二数学参考答案及评分标准 第4 页共9 页 ∴ 1 1 7 6 1 1 10 10 21 ( ) 50 C C P A C C     ，……………………………………………………………………4 分 ∴被取出的两人的成绩均不低于120 分的的概率为21 50 ．…………………………………5 分 （2）易知甲、乙两班的这20 位同学中，分数不低于130 分的有7 人，分数不低于140 分的 有3 人， ………………………………………………………………………………………6 分 ∴随机变量X 的可能取值为0 ，1，2，3 ， ……………………………………………7 分 ∴ 3 0 4 3 3 7 4 ( 0) 35 C C P X C     ， 2 1 4 3 3 7 18 ( 1) 35 C C P X C     ， 1 2 4 3 3 7 12 ( 2) 35 C C P X C     ， 0 3 4 3 3 7 1 ( 3) 35 C C P X C     ，……………………………………10 分 ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 …………………………11 分 ∴X 的数学期望为 4 18 12 1 45 9 ( )=0 1 2 3 = = 35 35 35 35 35 7 E X      ．……………………12 分 19． （12 分） 已知实数 0 m  ，且函数 2 ( ) ( 3) cos2 2     f x x x a x ( ) R  a 的定义域为[0, ] m ． （1）求 ( ) f x 的导数 ( ) f x  ； （2）当 0 a  时，求 ( ) f x 的最大值． 解： （1）∵ 2 ( ) ( 3) cos2 2     f x x x a x ， ∴ 2 2 2 ( ) ( ) ( 3) [( 3)] ( sin 2 ) (2 ) 3 6 2 sin 2               f x x x x x a x x x x a x 即 2 ( ) 3 6 2 sin 2     f x x x a x ． ……………………………………………………………3 分 （2）当 0 a  时， 2 ( ) ( 3) 2    f x x x ，且 2 ( ) 3 6 3 ( 2)      f x x x x x ，………………4 分 ∵ 2 ( ) ( 3) 2    f x x x 的定义域为[0, ] m ， 令 ( ) 0 f x   ，得 0  x ， 2  x ，……………………………………………………………5 分 ①若0 2   m ，则 ( ) 0 f x   ， ( ) f x 为单调递减函数， ∴ ( ) f x 的最大值为 (0) 2  f ； ……………………………………………………………6 分 ②若 2  m ，则当 (0,2)  x 时， ( ) 0 f x   ；当 (2, )  x m 时， ( ) 0 f x   ，………………7 分 ∴ ( ) f x 在区间[0,2] 上单调递减；在区间(2, ] m 上单调递增； …………………………8 分 ∴ ( ) f x 的最大值为 (0) 2  f 与 2 ( ) ( 3) 2    f m m m 中的较大值，………………………9 分 高二数学参考答案及评分标准 第5 页共9 页 考虑 2 ( ) (0) ( 3) f m f m m    ，……………………………………………………………10 分 易知当2 3 m   时， ( ) (0) 0 f m f   ，即 ( ) (0) f m f  ， ∴ ( ) f x 的最大值为 (0) 2  f ；……………………………………………………………11 分 当 3  m 时， ( ) (0) 0 f m f   ，即 ( ) (0) f m f  ， ∴ ( ) f x 的最大值为 2 3 2 ( ) ( 3) 2 3 2 f m m m m m       ， 综上所述， 当0 3   m 时，( ) f x 的最大值为2 ； 当 3  m 时，( ) f x 的最大值为 3 2 3 2 m m   ． ………………………………………………………………………………12 分 20． （12 分） 2022 年4 月23 日至25 日，以“阅读新时代·奋进新征程”为主题的首届全民阅读大会 在北京举行，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国． 为了解某市的市民一天的 阅读时间x （单位：分钟）的情况，随机抽取了600 位市民，将其阅读时间（单位：分钟） 按照[20,40) ，[40,60) ，[60,80) ，[80,100] 分成4组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计这600 位市民的一天阅读时间的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表） ； （2）若全市市民一天的阅读时间X 近似地服从正态分布 2 ( ,18 ) N  ，其中以（1）中的 x 作为的估计值．某APP 为了促进市民阅读，实行奖励积分制，市民每天在该APP 的阅 读时间X （单位：分钟）与获得奖励积分Y 的关系如下表： X 46 X  46 100 X   100 X  Y 10 50 100 求随机变量Y 的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ( , ) N  ，则 ( ) 0.6827 P           ， ( 2 2 ) 0.9545 P           ． 解： （1）依题意，可知这600 位市民的一天阅读时间的平均数x 为 30 20 0.005 50 20 0.015 70 20 0.02 90 20 0.01 64 x              ，………………4 分 第20 题图 高二数学参考答案及评分标准 第6 页共9 页 （2）由（1）知 =64  ，∴ 2 (64,18 ) X N  ，………………………………………………5 分 ∴ 1 0.6827 ( 10) ( 46) ( 64 18) 0.15865 2 P Y P X P X          ，………………………7 分 0.9545 0.6827 ( 50) (46 100) (64 18 64 2 18) 0.8186 2 P Y P X P X              ， ……………………………………………………9 分 1 0.9545 ( 100) ( 100) ( 64 2 18) 0.02275 2 P Y P X P X           ， ………………11 分 ∴ ( ) 10 0.15865 50 0.8186 100 0.02275=44.7915 E Y       ， ∴随机变量Y 的数学期望为44.7915．……………………………………………………12 分 21． （12 分） 为了应对某传染病， 需全民接种某疫苗．欲使该疫苗成功接种，则每个人需要接种相同 剂量的疫苗若干次（其中至少有一次接种成功即视为疫苗成功接种） ．假设每次接种成功与 否互不影响， 且每次接种相同剂量疫苗的接种成功概率均相等． 为了解该疫苗的接种剂量与 接种成功之间的关系，现分成两种剂量组进行对比临床试验，A （B ）剂量组的每位试验 者均接种3 次A （B ）剂量的疫苗，统计了试验者的接种情况后，得到以下2 2  列联表： 单位：人 剂量组 接种情况 合计 接种成功 接种不成功 A 剂量组 110 B 剂量组 20 160 合计 300 （1） 将上表中的数据填写完整， 依据小概率值 =0.01  的独立性检验， 能否认为B 剂量 组的接种效果比A剂量组的接种效果好？并解释你所得到的结论； （2）现有一个三口之家需接种该疫苗，若该家庭总共可接种5 次B 剂量的疫苗，每人至少 接种1次疫苗，假设以对比临床试验中的频率代替概率，以该家庭全部接种成功的概率大小 为决策依据，则该家庭应如何分配接种该疫苗的次数？请说明理由． 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d        ，其中= n a b c d    ．  0.1 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 解： （1） 单位：人 高二数学参考答案及评分标准 第7 页共9 页 剂量组 接种情况 合计 接种成功 接种不成功 A 剂量组 110 30 140 B 剂量组 140 20 160 合计 250 50 300 ……………………………………………2 分 零假设为 0 H ：接种B 剂量组的效果和接种A 剂量组的效果没有差异． 根据列联表中的数据，经计算得到 0 2 2 0. 5 300 (110 20 140 30) 30 = 3.841 250 50 140 160 7 x            ，……………………………………4 分 依据小概率值 =0.05  的独立性检验，可以推断 0 H 不成立，即认为接种B 剂量组的效果比 接种A 剂量组的效果好，此推断犯错误的概率不大于0.05 ．……………………………5 分 易知A 剂量组中的接种成功和接种不成功的频率分别为110 11 140 14  和30 3 140 14  ， 且B 剂量组中的接种成功和接种不成功的频率分别为140 7 160 8  和20 1 160 8  ， 又7 11 8 14  ，根据频率稳定于概率的原理，可认为B 剂量组中的接种成功概率大于A 剂量组 中的接种成功概率，即B 剂量组的接种效果比A 剂量组的接种效果好． ……………7 分 （2）假设B 剂量组临床试验接种1次疫苗可接种成功的概率为p ， 由（1）可知B 剂量组的接种不成功的概率为1 8 ， 即接种3 次疫苗后仍未接种成功的概率为1 8 ，∴ 3 1 (1 ) 8 p   ， ∴ 1 2 p  ， …………………………………………………………………………………8 分 ∴B 剂量组临床试验接种2次疫苗可接种成功的概