湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题+Word版含答案(2)

常德市一中2023 年下学期高二年级入学考试试卷 数学 时量：120 分钟 满分：150 分 命题人：高二数学备课组 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.如果不等式 成立的充分非必要条件是 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3.已知扇形面积 ，半径是1，则扇形的周长是（ ） A. B. C. D. 4.设 ， 为单位向量， 在 方向上的投影向量为 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ） A.18 B.16 C.10 D.4 6.下列三个数： ， ， ，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 7.如图，二面角 等于120°， ， 是棱上两点， ， 分别在半平面 ， 内， ， ，且 ，则 的长等于（ ） A. B. C.4 D.2 8.已知函数 ，若 在区间 内有且仅有3 个零点和3 条对称轴，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.下列各式中值为1 的是（ ） A. B. C. D. 10.若 ， ， ，则事件 与 的关系错误是（ ） A.事件 与 互斥 B.事件 与 对立 C.事件 与 相互独立 D.事件 与 既互斥又独立 11.已知函数 ， 部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于点 中心对称 C.将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象 D.若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 12.如图，已知正方体 的棱长为1， 为底面 的中心， 交平面 于点 ， 点 为棱 的中点，则（ ） A. ， ， 三点共线 B.异面直线 与 所成的角为90° C.点 到平面 的距离为 D.过点 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.已知平面向量 ， ，若 ，则 ______. 14.已知 ，则 ______. 15.正三棱锥 底面边长为2， 为 的中点，且 ，则正三棱锥 外接球的体积 为______. 16.在 中， ， ， ，则 周长的最小值为______. 四、解答题（共70 分，17 题10 分，18-22 题每题12 分） 17.（本小题满分10 分）在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若满足 ， . （1）若 ，求 的大小； （2）若满足 ，求 及 的值. 18.（本小题满分12 分）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共 有100 人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间 ，将他们的成绩（满分100 分）分 成五组，依次为 、 、 、 、 ，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求出 的值，并用各区间的中间值估计这100 人的竞赛成绩的平均数； （2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在 （即第四、五组内）的学生中抽取了12 人 作为航天知识宣讲使者.现从这12 名使者中随机抽取1 人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在 内的 概率. 19.（本小题满分12 分）某药品企业经过市场调研，生产某种药品需投入月固定成本3 万元，每生产 万件， 需另投入流动成本 万元，在月产量不足7 万件时， ；在月产量不小于7 万件时， ，每件药品售价6 元，通过市场分析该企业的药品能当月全部售完. （1）写出月利润 （万元）关于月产量 （万件）的函数解析式（注：月利润=月销售收入-固定成本-流 动成本）； （2）月产量为多少万件时，该企业在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 20.（本小题满分12 分）已知函数 . （1）当 时，求 的最大值和最小值，以及相应 的值； （2）若 ， ，求 的值. 21.（本小题满分12 分）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中 点. （1）证明： ； （2）若 是边长为1 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 45°，求三棱锥 的体积. 22.（本小题满分12 分）已知函数 ， （ 且 ），且 . （1）求 的值，判断函数 的奇偶性并说明理由； （2）当 时，求不等式 的解集； （3）若关于 的方程 有两个不同的解，求实数 的取值范围. 常德市一中2023 年下学期高二年级入学考试数学参考答案 一.单选题：（40 分） 1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.A 二.多选题：（20 分） 9.CD 10.ABD 11.AD 12.AB 三.填空题：（20 分） 13. 14.2 15. 16. 四.解答题： 17.解：（1）若 ，由余弦定理 ， 可得 ，即 ……4 分 （2）因为 ，可知角 为锐角，则 ， 又因为 ，即 ，解得 ，……7 分 由余弦定理 ，即 ， 由正弦定理 ，可得 .……10 分 18.解（1）由 ，解得 ； 这100 人的竞赛成绩的平均数估计为： ……4 分 （2）成绩在 的频率为0.25，成绩在 的频率为0.05，……6 分 所以竞赛成绩在 ， 两个组的人数之比为 ，采用分层抽样的方法从中抽取12 人， 所以成绩在 抽得的人数为 人，成绩在 抽得的人数为 人 现从这12 名使者中随机抽取1 人作为组长，则这名组长的竞赛成绩在 内的概率为 ……12 分 19.解：（1）由题意得，当 时， ，……3 分 当 时， ， 故 ……6 分 （2）当 时， ，当 时， 最大值为5 万元. ……8 分 当 时， ，……10 分 当且仅当 ，即 时等号成立，即 最大值为10 万元. ∵ ，∴当月产量为12 万件时，该企业所获利润最大值为10 万元.……12 分 20.解：（1）∵ ，∴ ， 当 即 时， ，此时 ，……3 分 当 即 时， ，此时 .……6 分 （2）∵ ，……8 分 ∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，……8 分 ……12 分 21.解：（1）因为 ， 为 中点，所以 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 因此 平面 ，因为 平面 ，所以 .……5 分 （2）作 于 ，作 于 ，连 ，因为 平面 ，所以 ， 所以 ， ， ，因此 平面 ，即 ， 因为 ， ，所以 平面 ，即 ， 则 为二面角 的平面角， ，……8 分 因为 ， 为正三角形，所以 为直角三角形， 因为 ，∴ 从而 ∴ ∵ 平面 ，所以 …12 分 22.解：（1）由 得 ，故 ， . 为奇函数，理由如下： 定义域满足 ，即 ， 又 ，故 为奇函数……3 分 （2） ， ，即 ，即 ，解得 . 故不等式 的解集为 .……6 分 （3） 的定义域为 ， ，为增函数，∵ ，∴ ，∴ . 经检验 不符合方程 ，故可化为 ， 又 ，可化为 ，令 ，则 . ∵关于 的方程 有两个不同的解，即等价于 在 有两个不同的解，即等价于 与 的图象在 有两个交 点. ∵ ，当且仅当 时等号成立，且 在 单调递减，在 、 单调递增， ，