北京市丰台区2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题

（北京）股份有限公司 丰台区2022-2023 学年度第一学期期中练习 高二数学（B 卷） 练习时间：120 分钟 第I 部分（选择题 共40 分） 一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。 1．为了了解某小区5000 户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100 户居民进行调查. 该 小区每位居民被抽到的可能性为 (A) (B) (C) (D) 2. 已知空间向量 ，若空间向量 与 平行，则 的坐标可能是 (A) (B) (C) (D) 3．一个车间里有 名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如 下： 10，12，9，7，10，12，9，11，9，8 若这组数据的平均数为 ,中位数为 ,众数为 ,则 ， ， 的大小关系为 (A) (B) (C) (D) 4. 对于空间中的三个向量 ， ， ，它们一定是 (A) 共面向量 (B) 共线向量 (C) 不共面向量 (D) 无法判断 5. 已知平面 的法向量为 ，若平面 外的直线的方向向量为 ， 则可以推断 10 1 100 1 高二数学（B 卷）第1 页 （北京）股份有限公司 (A) (B) (C) 与 斜交 (D) 6. 从某地区抽取 户居民进行月用电量调查，发现用电量都在 至 之间.将 数据分组后得到如图下所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第 百分位数是 分 组 合 计 频 率 (A) (B) (C) (D) 高二数学（B 卷）第2 页 （北京）股份有限公司 7. 已知四棱柱 的底面为平行四边形， 为 与 的交点.若 = ， = ， = ， 则下列向量中与 相等的向量是 (A) (B) (C) (D) 8. 已知 件产品中有 件正品，其余为次品.现从 件产品中任取 件，观察正品件数与 次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是 (A) 恰好有件次品和恰好有 件次品 (C) 至少有件正品和至少有件次品 (B) 至少有件次品和全是次品 (D) 至少有件次品和全是正品 9. 在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000 名学生收看比赛情况用随机抽样方式 进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如下： 以下结论中正确的是 M D1 B1 D C B A A1 C1 高二数学（B 卷）第2 页 （北京）股份有限公司 (A) 图中m 的数值为26 (B) 估计该校观看比赛不低于3 场的学生约为1380 人 (C) 估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数 (D) 样本数据的第90 百分位数为5 高二数学（B 卷）第3 页 N B C D M A1 B1 A C1 D1 （北京）股份有限公司 10. 在空间直角坐标系 中，若有且只有一个平面 ，使点 到 的距离为 1，且点 到 的距离为4，则 的值为 (A) (B) 或 (C) 或 (D) 或 第Ⅱ部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分。 11．甲，乙两名运动员进行射击比赛. 已知甲中靶的概率是 ，乙中靶的概率是 ， 且甲，乙射击互不影响，若甲，乙两人各射击一次，则两人都脱靶的概率是 ． 12. 某公司有职工 人，其中业务人员 人，管理人员 人，内勤人员 人.若按岗 位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取 人进行健康测试，则应抽 取管理人员的人数为 ． 13.在长方体 中，若 ， ，则直线 与 所 成角的余弦值为 ． 14. 已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的模是 ． 15.如图，正方体的棱长为，点 是线段 的中点，点 是线段 上的动点，下 列结论中正确的序号是 ． ①存在点 ，使 平面 ； Oxyz α ) 2 , 2 , 2 ( A α ) 0 , 0 , (m B α m 2 1 3 2 4 17 2  17 2  1 1 1 1 ABCD A B C D  1 AB AD   1 2 AA  1 AB 1 BC a b 高二数学（B 卷）第3 页 （北京）股份有限公司 ②存在点 ，使 平面 ； ③存在点 ，使点 到平面 的距离等于. 高二数学（B 卷）第4 页 D B C P A F E （北京）股份有限公司 三、解答题共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题15 分） 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000 名学生参加，随 机抽取了100 名学生，记录他们的分数,将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的 直方图如下： （Ⅰ）求图中的 的值； （Ⅱ）若得分在 分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率； （Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力 测评全部同学的平均成绩. 17．（本小题15 分） 如图，在四棱锥 中， ，底面 为矩形， 高二数学（B 卷）第4 页 （北京）股份有限公司 ， ， 分别是 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 高二数学（B 卷）第5 页 （北京）股份有限公司 18.（本小题14 分） 从2 名男生（记为 ， ）和2 名女生（记为 ， ）这4 人中一次性选取2 名 学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）． （Ⅰ）请写出该试验的样本空间 ； （Ⅱ）设事件 为“选到1 名男生和1 名女生”，求事件 发生的概率． （Ⅲ）若2 名男生 ， 所处年级分别为高一、高二，2 名女生 ， 所处年级分别 为高一、高二，设事件 为“选出的2 人来自不同年级且至少有1 名女生”，求事件 发生的概率. 19.（本小题14 分） 已知空间向量 ， ， . （Ⅰ）若 ，求 ； 1 A 2 A 1 B 2 B  M M 1 A 2 A 1 B 2 B N N ) 1 , 2 , 2 (   a ) 4 , 1 , 2 (   b ) 2 , 5 , (x  c c a  x 高二数学（B 卷）第5 页 （北京）股份有限公司 （Ⅱ）求 ； （Ⅲ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值. b a 2 3  c a b x 高二数学（B 卷）第6 页 G C1 A C B D B1 A1 （北京）股份有限公司 20. （本小题13 分） 某学校高中三个年级共有 名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层 随机抽样获得了20 名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）： 高一年级 高二年级 高三年级 （Ⅰ）试估计该校高三年级的学生人数； （Ⅱ）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年级抽取的人记为甲， 高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率； （Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8， 10， 11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中 的数据平均数记为 ，试判断 与 的大小关系．（只需写出结论） 21．（本小题14 分） 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 为 的中点. （Ⅰ）求平面 与平面 夹角的余弦值； （Ⅱ）点 在线段 上，且 , 试判断 400 6 7.5 8 8.5 10 7 8 9 10 11 12 13 6 6.5 7 8.5 11 13.5 17 18.5 1 1 1 C B A ABC  BC AC  1  BC AC 2 1  AA D AC 1 BCC D BC1 G 1 AB 1 1 3 AG AB = 高二数学（B 卷）第6 页 （北京）股份有限公司 直线 与平面 的关系，并说明理由. CG D BC1 高二数学（B 卷）第7 页 （北京）股份有限公司 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区2022-2023 学年度第一学期期中练习 高二数学（B）卷 参考答案 第Ⅰ部分（选择题 共40 分） 一、选择题（每小题4 分,共40 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C A A C C D C B 第Ⅱ部分（非选择题 共110 分） 二、填空题（每小题5 分，共25 分） 11． 12． 13． 14． 15．①③ 注：15 题选对一个得3 分，全选对得5 分，有一个错误得0 分。 三、解答题（共85 分） 16.（本小题15 分） 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 ; ……5 分 （Ⅱ）80 分以上的包括两组，组距为 ， 高二数学（B 卷）第7 页 （北京）股份有限公司 所以频率为 ， 高二数学（B 卷）第8 页 x y z E F A P C B D （北京）股份有限公司 所以此次能力测评的获奖率为30%； ……10 分 (Ⅲ)由直方图， 各组对应的频率分别是 ， 所以样本均值为 所以估计此次能力测评总体的平均值约为71 分. ……15 分 17.（本小题15 分） 证明：（Ⅰ）因为 分别是 的中 点， 所以 是 的中位线， 所以 ， 又因为 平面 , 平面 , 所以 平面 ； ……6 分 （Ⅱ）因为 所以 ，又因为 ，所以，以 为原点， 所 高二数学（B 卷）第8 页 （北京）股份有限公司 在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系， ， ， . 设平面 的一个法向量为 ， 所以 ， 高二数学（B 卷）第9 页 （北京）股份有限公司 令 ，则 ，所以 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 所以 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值是 . ……15 分 18.（本小题14 分） 解：（Ⅰ）由题意 ． ……4 分 （Ⅱ） ， ． ……9 分 （Ⅲ） ， ． ……14 分 19.（本小题14 分） 解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，即 ， ． ……4 分 （Ⅱ） ，则 ． ……9 分 （Ⅲ）向量 与向量 ， 共线，设 ， ， 高二数学（B 卷）第9 页 （北京）股份有限公司 ，解得 . ……14 分 20.（本小题13 分） 解:（Ⅰ） （人）； ……4 分 （Ⅱ）该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间概率为 ． ……9 分 （Ⅲ） ． ……13 分 8 400 =160 20  4 5 高二数学（B 卷）第10 页 1 0 x x  （北京）股份有限公司 21.（本小题14 分） 解： （Ⅰ）已知直三棱柱 ， 平面 ， ， 以 为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ，所以 ， ， . 由题意 轴 平面 ，取平面 的一个法向量为 设平面 法向量为 ， 则有 ， ，令 ，得到 ， 得到平面 的一个法向量为 ，所以 . 设平面 与平面 夹角为 ，则 y z x G C1 A C B D B1 A1 1 1 1 C B A ABC   1 CC ABC BC AC  C   0 0 0 , , C   0 0 1 , , A   0 1 0 , , B   2 1 0 1 , , B   2 0 0 1 , , C       0 0 2 1 , , D   2 1 1 1 , , AB     2 1 0 1 , , BC           0 , 1 , 2 1 D B x  1 BCC 1 BCC   1 0 0 , ,  m D BC1   z , y , x  n          0 0 1 BD BC n n           0 2 1 0 2 y x z y 1  z         1 2 4 z y x D BC1   1 , 2 , 4  n 1 BCC D BC1 高二数学（B 卷）第10 页 （北京）股份有限公司 . ……9 分 （Ⅱ） ， , 由于点 在线段 上，且 , 则 , ，   2 1 1 1 , , AB     1 0 0 CA , ,  � G 1 AB 1 1 3 AG AB = 高二数学（B 卷）第11 页 1 1 3 AG AB = u u u r u u u r 1 1 3 CG CA AG CA AB = + = + u u u r u u r u u u r u u r u u u r 2 1 2 ( , , ) 3 3 3 = （北京）股份有限公司 又平面 的一个法向量为 ， ，且 与 不共线， 所以直线 与平面 相交且不垂直. ……14 分 以上答案仅供参考，如有其它解法，请酌情给分。 D BC1   1 , 2 , 4  n 8 2 2 4 0 3 3 3 AG× = + + = ¹ n u u u r AG u u u r n CG D BC1 高二数学（B 卷）第11 页