黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2021-2022 学年高一上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题(每道题5 分，共60 分） 3．命题“存在 R， 0”的否定是（ ） A．不存在 R， B．存在 R， 0 C．对任意的 R， 0 D．对任意的 R， 4．给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ .其中能成为 的充分条件 的是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 5．已知 ， ， ， ，则M 与N 的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 6．已知正实数a，b 满足 ，则 的最小值是（ ） A．8 B．16 C．32 D．36 7．某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2 元， 若自己生产，则每月需投资固定成本2000 元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8 元． 设该医院每月所需口罩 个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ） A． B． C． D． 8．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 ，向糖水（不饱和）中再加入 克糖， 那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ） A． B． C． D． 9．下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若 ，则a=b D．若x=y，则 10．设正实数 ， 满足 ，则（ ） A． 的最大值是 B． 的最小值是8 C． 的最小值为 D． 的最大值为2 11．下列命题中，正确的是（ ） A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 B．若ab＜0，则 C．若b＜a＜0，c＜0，则 D．若a，b∈R，则a4＋b4≥2a2b2 12．设集合X 是实数集R 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，那么称 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0 为聚点的集合是 A． B． D．整数集Z 二、填空题（每道题5 分，共20 分） 13．设 ， ， ，若 ，则实数m 的范围是______． 14．若实数 满足 ， ，则 的取值范围为________． 15．不等式 的解集是____________. 16．对于任意实数 ，等式 恒成立，则 ___________ 三、解答题 17．（本小题10 分）已知集合 ，集合 . （1）若 ，求实数 的取值范围. 18．（本小题12 分）已知不等式 （1）若不等式的解集为 或 ，求实数 的值； （2）若 ，解该不等式. 19. （本小题12 分）已知 ，试比较 与 的大小. 20.（本小题12 分）解答下列各题. （1）设 ， ， ，求 . （2）设 且 恒成立，求实数 的取值范围. 21．（本小题12 分）已知命题p： ， ，命题p 为真命题时实数a 的取值集合为 A． （1）求集合A； （2）设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 22．（本小题12 分）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场 旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满 宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400 平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9 米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2 米，求整个绿化面积的最小值. 2021 高一上学期第一次月考数学试卷 一、单选题(每道题5 分，共60 分） 3．命题“存在 R， 0”的否定是（ ） A．不存在 R， B．存在 R， 0 C．对任意的 R， 0 D．对任意的 R， 4．给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ .其中能成为 的充分条件的是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 5．已知 ， ， ， ，则M 与N 的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 6．已知正实数a，b 满足 ，则 的最小值是（ ） A．8 B．16 C．32 D．36 7．某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价 是每个1.2 元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000 元，并且每生产一个口罩还 需要材料费和劳务费共0.8 元．设该医院每月所需口罩 个，则自己生产口罩 比外购口罩较合算的充要条件是（ ） A． B． C． D． 8．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 ，向糖水（不饱和） 中再加入 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ） A． B． C． D． 9．下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C．若 ，则a=b D．若x=y，则 10．设正实数 ， 满足 ，则（ ） A． 的最大值是 B． 的最小值是8 C． 的最小值为 D． 的最大值为2 11．下列命题中，正确的是（ ） A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 B．若ab＜0，则 C．若b＜a＜0，c＜0，则 D．若a，b∈R，则a4＋b4≥2a2b2 12．设集合X 是实数集R 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ， 使得 ，那么称 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0 为聚点的集合 是 A． B． D．整数集Z 二、填空题（每道题5 分，共20 分） 13．设 ， ， ，若 ，则实数m 的范围是______． 14．若实数 满足 ， ，则 的取值范围为________． 15．不等式 的解集是____________. 16．对于任意实数 ，等式 恒成立，则 ___________ 三、解答题 17．（本小题10 分）已知集合 ，集合 . （1）若 ，求实数 的取值范围. 18．（本小题12 分）已知不等式 （1）若不等式的解集为 或 ，求实数 的值； （2）若 ，解该不等式. 19.（本小题12 分）已知 ，试比较 与 的大小. 20.（本小题12 分）解答下列各题. （1）设 ， ， ，求 . （2）设 且 恒成立，求实数 的取值范围. 21．（本小题12 分）已知命题p： ， ，命题p 为真命题时实数a 的取值集合为A． （1）求集合A； （2）设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 22．（本小题12 分）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委 计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪， 草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400 平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9 米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2 米，求整个绿化面积的最小值. 参考答案 1．C 2．B 3．D 【分析】 利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】 命题“存在 R， 0”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即对任意的 R， ， 故选：D 4．D 【分析】 由不等式的性质和充分条件的定义逐一判断①②③④，可得正确选项. 【详解】 对于①：由 可知 ，所以 ，故由 可得出 ，故①正确； 对于②： 当 时， ；当 时， ，所以由 不能推出 ，故②不正 确； 对于③： 由 ，可得 或 ，所以 不能推出 ，故③不正确； 对于④：由 可得 ， ， ，因为 ，所以 ，所以 由 可得出 ，故④正确； 故选：D． 5．A 【分析】 采用作差法计算 与的大小关系，由此判断出 的大小关系. 【详解】 因为 ，且 ， ， 所以 ，所以 ， 故选：A. 6．B 【分析】 对 利用基本不等式求出 且 ，把 展开得到 ，即可求出最小值. 【详解】 因为正实数a，b 满足 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时，即 时取等号. 因为 ，所以 ， 所以 . 故 的最小值是16. 故选：B 7．B 【分析】 根据题设条件可得关于 的不等式，求解后可得正确的选项. 【详解】 由 ，得 ，即 ， 故选：B． 8．B 【分析】 依题意得到不等关系，即可得解. 【详解】 解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入 克糖，此时糖水的浓度为 ，根据糖水更 甜，可得 故选： 【点睛】 本题考查利用不等式表示不等关系，属于基础题. 9．D 【分析】 利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答. 【详解】 对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A 正确； 对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B 正确； 对于选项C，由等式的性质知，若 ，则a=b，C 正确； 对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则 的前提条件为a≠0，D 错误． 故选：D 10．C 【分析】 利用基本不等式求 的最大值可判断A；将 展开，再利用基本不等式 求最值可判断B；由 结合 的的最大值可判断C；由 结合 的最大值可求出 的最大值可判断D， 进而可得正确选项. 【详解】 对于A：因为 ，所以 ，当且仅当 即 ， 时等号成立，故选项A 错误； 对于B： ，当且仅当 即 对于C：由选项A 证明过程可得 ，又 ， ，当且仅当 ， 时等号成立，故选项C 正确； 对于D： ，所以 ，当且仅 当 ， 时等号成立，故选项D 错误； 故选：C. 11．D 【分析】 利用不等式的性质即可判断AC； 利用基本不等式即可判断B， 利用作差法即可判断D. 【详解】 解：对于A， ，则 ，故A 错误； 对于B， 即 异号， 当且仅当 时等 号 对于C，由 得 ，又 ，则 ，故C 错误； 对于D，由 ，得 ，故D 正确. 故选：D. 12．B 【分析】 根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 解：A 中，集合 中的元素除了第一项0 之外，其余的都至少比0 大 ， 在 的时候，不存在满足得 的x， 不是集合 的聚点； B，集合 ，对任意的a，都存在 实际上任意比a 小的数都可以，使 得 ， 是集合 的聚点； D，对于某个 ，比如 ，此时对任意的 ，都有 或者 ，也就 是说不可能 ，从而0 不是整数集Z 的聚点． 综上得以0 为聚点的集合是BC， 故选：B． 13． 【分析】 先求出 ，根据包含关系即可求解参数． 【详解】 因为 ， ， ， 又 则 故答案为： ． 14． 【分析】 设 ，解得 ， ，再由不等式的性质即可求解. 【详解】 设 ，解得 ， 所以 ． 又 ， ， ， 所以 . 故答案为： ． 【点睛】 关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形 是 解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 15． 【分析】 分式不等式转化为一元二次不等式后再求解即可. 【详解】 原不等式等价于 ，解得： 或 ， 故答案为： . 【点睛】 结论点睛：本题考查分式不等式，一般地， 等价于 ，而 则 等价于 ，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零. 16．1 【分析】 根据等式恒成立，可求得a，b，c 的值，即可得答案. 【详解】 因为等式 恒成立， 所以 ， 所以 . 故答案为：1 17．（1） ；（2） . 【分析】 （1）分两种情况，当 和 时，根据题意列不等式，解不等式即可求解； （2）根据题意可得 ，列不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】 （1）①当 时， ，可得 ，满足 ，符合题意. ②当 时，若 ，则 或 解得： 或无解 综上所述： 所以若 ，实数 的取值范围为： . （2）命题 ： ，命题 ： ，若 是 的充分条件，则 ， 所以 ，解得 ， 所以实数 的取值范围为 . 18．（1） ；（2）答案见解析. 【分析】 （1）由题意可得 和 是方程 的两个根，根据韦达定理列方程 即可求解； （2）若 ，不等式为 ，分别讨论 、 、 、 、 解不等式即可求解. 【详解】 （1）因为不等式 的解集为 或 ， 所以 和 是方程 的两个根， 由根与系数关系得 ，解得 ； （2）当 时，不等式为 ， 当 时，不等式为 ，可得： ； 当 时，不等式可化为 ， 方程 的两根为 ， ， 当 时，可得： ； 当 时， ①当 时，即 时，可得： 或 ； ②当 即 时，可得： ； ③当 ，即 时，可得 或 ； 综上： 当 时，不等式解集为 ； 当 时，不等式解集为 ； 当 时，不等式解集为 或 ； 当 时，不等式解集为 ； 当 时，不等式解集为 或 . 19． 【分析】 利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】 ， ，. 两数作商 ， . 20．（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）结合基本不等式证得不等式成立. （2）首先分离常数 ，然后结合基本不等式求得 的取值范围. 【详解】 （1）∵ ， ， ， ∴ ， ， 当且仅当 时取等号. （2）∵ ， ∴ ， 由 恒成立，得 ， 又 ， ∴ ， ， 则 . 当且仅当 ，即 时上式等号成立. ∴ . ∴ 的取值范围是： . 21．（1） ；（2） . 【分析】 （1）由一元二次方程有实数解即判别式不小于0 可得； （2）由 可得不等关系，得范围． 【详解】 解： 命题 为具命鿒，则 ， 得 ∴ . （2）∵ 是 的必要不充分条件，∴ . ∴ （等号不能同时成立）， 得 22．（1）最大值为16 米；（2）最小值为 平方米. 【分析】 （1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）表示 ，利用均值不等式，即得最小值. 【详解】 （1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为400 平方米，得 . 因为矩形草坪的长比宽至少大9 米，所以 ，所以 ，解得 . 又 ，所以 . 所以宽的最大值为16 米. （2）记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得 （平方米）