山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高二上学期11月期中检测数学试题

山西2021~2022 年度高中教育发展联盟 高二11 月份期中检测 数学 考生注意： 1.本试卷满分150 分，考试时间120 分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：选择性必修一。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的. 1.设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则 的值为 A.-5 B.-3 C.1 D.7 2.抛物线 的焦点坐标为 A. B. C. D. 3.过点 且方向向量为 的直线方程为 A. B. C. D. 4.已知双曲线 和圆 ，则圆心C 到双曲线渐近线的距离为 A. B. C. D. 5.如图，在四棱锥 中， 平面BCDE，四边形BCDE 为直角梯形， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，点F 在 棱 上，若点P 为DB 的中点，且 平面 ，则点F 的坐标为 A. B. C. D. 6.已知椭圆 与直线 交于A，B 两点，点 满足 ，则 的值为 A. B.6 C. D. 7.已知椭圆 的一个焦点为F，双曲线 的左、右焦点，分别为 ， ，点P 是双曲线左支上一点，则 周长的最小值为 A.5 B. C.10 D.14 8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古 代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知A，B 是平面上 的两定点， ，动点 满足 ， ，动点N 在直线AC 上， 则MN 距离的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分. 9.已知直线 ： 与直线 ： 的交点在第三象限，则实数k 的值可能为 A. B. C. D.2 10.已知点P 是椭圆 上一点， ， 是椭圆的左、右焦点，若 ， 则下列说法正确的是 A. 的面积为 B.若点M 是椭圆上一动点，则 的最大值为9 C.点P 的纵坐标为 D. 内切圆的面积为 11.如图，在菱形ABCD 中， ， ，沿对角线BD 将 折起， 使点A，C 之间的距离为 ，若P，Q 分别为直线BD，CA 上的动点，则下列说法正确 的是 A.当 ， 时，点D 到直线PQ 的距离为 B.线段PQ 的最小值为 C.平面 平面BCD D.当P，Q 分别为线段BD，CA 的中点时，PQ 与AD 所成角的余弦值为 12.已知O 为坐标原点，抛物线 的焦点为F，A，B 为抛物线上的两个动点，M 为弦 AB 的中点，对A，B，M 三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说 法正确的是 A.当AB 过焦点F 时， 为等腰三角形 B.若 ，则直线AB 的斜率为 C.若 ，且 ，则 D.若 外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.直线 过椭圆 的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为__ __________. 14.在直三棱柱 中， ， ， ，则点C 到平面 的距离为____________. 15.若圆 上，有且仅有一个点到 的距离为1，则实数 的值为____________. 16.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，A 是C 的左顶 点，点P 在过点 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 双曲线的离心率为____________. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 在 中，顶点A 的坐标为 ，AB 中点D 坐标为 . （1）若AC 边所在的直线方程为 ，求AC 边高线所在的直线方程； （2）若 的面积为 ，求点 的轨迹方程. 18.（12 分） 已知圆 ： ，直线： . （1）过点 ，作圆 的切线 ，求切线 的方程； （2）判断直线与圆 是否相交，若相交，求出直线被圆截得的弦长最短时m 的值及最 短弦长；若不相交，请说明理由. 19.（12 分） 如图，在三棱柱 中，四边形 为矩形， ， ，点E 为棱 的中点， . （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面AEB 与平面 夹角的余弦值. 20.（12 分） 已知斜率为2 的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A，B 两点， 若 . （1）求抛物线方程； （2）若O 为坐标原点，C，D 为抛物线上异于原点O 的不同的两点，记OC 的斜率为 ， OD 的斜率为 ，当 时，求证：直线CD 过定点. 21.（12 分） 如图所示，在五面体ABCDE 中， 为正三角形，四边形ACDE 为直角梯形，其中， ， ，平面 平面ABC， ，动点F 在棱 AB 上，且 . （1）当 时，求证： 平面EFC； （2）是否存在点F，使得EF 与平面CBE 所成角的正弦值为 ?若存在，确定点F 的位 置；若不存在，请说明理由. 22.（12 分） 已知圆 ： ，定点 ，Q 为圆上的一动点，点P 在半径CQ 上，且 ，设点P 的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程； （2）过点 的直线交曲线E 于A，B 两点，过点H 与AB 垂直的直线与x 轴交于点 N，当 取最大值时，求直线AB 的方程. 山西2021~2022 年度高中教育发展联盟高二11 月份期中检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.D 8.C 9.BC 10.AD 11.BCD 12.ACD 13. 14. 15.4 或6 16.3 17.解：（1）∵D 为AB 中点，∴点B 的坐标 为 . 又∵ ∴AC 边上高线所在直线的斜率为1 ∴AC 边上高线所在的直线方程为 . （2）∵ ， ∴ 又∵ ∴点C 到AB 的距离为1 ∴所有到AB 距离为1 的点在与AB 平行且距离为1 的直线上， 又∵AB 方程为 ∴设所求直线为 . 则 解得 . ∴点C 所在的轨迹方程为 或 . 18.解：（1）当斜率存在时，设切线方程为 ∴ 解得 ∴ . 当斜率不存在时，方程为 与圆相切满足条件.. ∴切线方程为 或 . （2）直线： ∴直线过 的交点 又∵ 满足 ∴点 在圆 的内部 ∴直线与圆 相交 又 ， ∴最短弦的斜率为-1，即 ， ， ∴最短弦的方程为 ， ∴ ∴最短弦长为 . 19.（1）证明：由三棱柱的性质及 可知四边形 为菱形 又∵ ∴ 为等边三角形 ∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ 又∵四边形 为矩形 ∴ 又∵ ∴ 平面 又∵ 平面 ∴平面 平面 . （2）解：以B 为原点BE 为x 轴， 为y 轴，BA 为E 轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 . 则 即 ∴ 又∵平面ABE 的法向量为 ∴ ∴平面ABE 与平面 夹角的余弦值为 . 20.（1）解：设直线的方程为： ， ， 则 得 ∴ ∴ 解得： ∴抛物线方程为 （2）证明：设 ， 当直线CD 斜率存在时，方程为： 则 解得 ∴ 又∵ ， ∴ ，∴ ，解得 ， ∴ ，∴直线过点 当斜率不存在时设 ， 又∴ ，解得 ，代入抛物线方程的 ，此时CD 方程为 ，也过点 . 综上所述，直线CD 恒过定点 . 21.（1）证明：如图，连接AD 交CE 于H， ∵ ，∴ 又∵ ，∴ 又∵ 平面EFC， 平面EFC， ∴ 平面EFC （2）解：∵平面 平面ABC，平面 平面 ， ， 平面ACDE， ∴ 平面ABC. 取AC 中点O 为坐标原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，过点O 且平行AE 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系如图所示， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 则 即 ∴ ， 又∵ ∴ 解得 或 ，又∵ ，∴ ， ∴当F 为靠近B 的4 等分点时，EF 与平面CBE 所成角的正弦值为 . 22.解：（1）设点 的坐标为 ， ∵ ， ∴点P 在线段QF 的垂直平分线上， ∴ ， 又∵ ，∴ ∴点P 在以C，F 为焦点的椭圆上，且 ， ∴ ， ∴椭圆方程为 （2）设直线AB 方程为 ， ， 则 解得 ∴ ，解得 ∴ ∵AB 与HN 垂直，∴直线NH 的方程为 令 ，得 ，∴ ， ， ∴ ∴ 设 则 ∴ 当且仅当 即 时等号成立， 有最大值此时， 满足 ， 所以直线AB 的方程为 或 .