山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题

运城市2021～2022 年度教育发展联盟 高二10 月份月考测试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150 分，考试时间120 分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题 的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：选择性必修第一册2.4 圆的方程结束。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的． 1．经过 ， 两点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量 ， ，且 ，则实数 等于（ ） A．1 B．2 C． D． 3．若圆 ： 过坐标原点，则实数 的 值为（ ） A．1 B．2 C．2 或1 D． 或 4．“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知 的顶点 的坐标为 ， 所在直线的方向向量为 ， 边上的 中线所在的直线方程为 ，则 点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．已知 ， 为两条异面直线，在直线 上取点 ， ，在直线 上取点 ， ，使 ，且 （称 为异面直线 ， 的公垂线）．已知 ， ， ， ，则异面直线 ， 所成的角为（ ） A． B． C． D． 7．过点 作直线分别交 轴正半轴， 轴正半轴于 ， 两点， 为坐标原点当 取最小值时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 8．设平面点集 包含于 ，若按照某对应法则 ，使得 中每一点 都有唯一的 实数 与之对应，则称 为在 上的二元函数，且称 为 的定义域， 对应的值 为 在 点 的 函 数 值 ， 记 作 ， 若 二 元 函 数 ， 其 中 ， ，则二元函数 的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分． 9．过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A． B． C． D ． 10．已知圆心为 的圆 与点 ，则（ ） A．圆 的半径为2 B．点 在圆 外 C．点 与圆 上任一点距离的最大值为 D．点 与圆 上任一点距离的最小值为 11．如图，四棱柱 的底面 是正方形， 为底面中心， 平 面 ， ．则下列说法正确的是（ ） A． B．平面 的法向量 C． ⊥平面 D．点 到平面 的距离为 12．在棱长为1 的正方体 中，点 为线段 上的动点（包含线段的 端点），点 ， 分别为线段 ， 的中点，则下列说法正确的是（ ） A．当 时，点 ， ， ， 四点共面 B．异面直线 与 的距离为 C．三棱锥 的体积为定值 D．不存在点 ，使得 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．空间直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，则 ______． 14．已知直线 ， 关于 轴对称， 的方程为： ，则点 到直线 的距 离为______． 15．已知直线 ： 过定点 ，直线 过点 ，且 ， 分别绕 、 旋转，但始终保持平行，则 ， 之间的距离的取值范围是______． 16．在如图所示的试验装置中，四边形框架 为正方形， 为矩形，且 ，且它们所在的平面互相垂直， 为对角线 上的一个定点，且 ，活动弹子 在正方形对角线 上移动，当 取最小值时，活动弹 子 到直线 的距离为______． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）在三棱锥 中， 是 的中点， 在 上，且 ， ， ， ， （1）试用 ， ， 表示向量 ； （2）若底面 是等腰直角三角形，且 ， ， 求 的长． 18．（12 分） 已知点 与直线： ． （1）若直线 过点 ，且与直线垂直，求直线的方程； （2）一条光线点 射出，经直线反射后，通过点 ，求反射光线所在的直线方程． 19 ．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 20．（12 分） 已知圆 经过 ， ， 三点． （1）求圆 的方程； （2）设点 在圆 上运动，点 ，且点 满足 ，求点 的轨迹方 程． 21．（12 分）如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， 为 中点， ． （1）求点 到平面 的距离； （2）点 为棱 上一点，求 与平面 所成角最大时， 的值． 22．（12 分） 如图甲所示， 是梯形 的高， ，现将梯形 沿 折成 为直二面角的四棱锥 ，如图乙所示，在该四棱锥中， ， 异面直线 与 所成的角为 ． （1）若点 是棱 的中点，求证： 平面 ； （2）在棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的正弦值为 ？若存在，指出点 的位置，若不存在，请说明理由． 运城市2021～2022 年度教育发展联盟高二10 月份月考测试·数 学 参考答案、提示及评分细则 1．D 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7 ．D 8．C 9．AC 10．BCD 11．BCD 12．AC 13． 14． 15． 16． 17．解：（1）由图可知 即 （2） ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ． 18．解：（1）∵ 与垂直，∴设直线方程为 ， 又∵ 过点 ，∵ ，解得 ， ∴直线的方程为 ． （2）设点 关于 的对称点 坐标为 则 ， 解得 ∴ ． 又∵反射光线过点 ， ∴反射光线所在直线方程为 ． 19．（1）证明：∵ 为矩形，且 ， ∴ ． 又∵ ， ．∴ ， ． 又∵ ， ， ∴ 平面 ． ∵ 平面 ，∴ 又∵ ， ， ∴ 平面 ． （2）解：以 为原点， ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系如图 所示： 则 ， ， ， ， ， ∴ ， ， 设平面 的法向量 则 ，即 ∴ ， ∴ ∴直线 与 所成角的正弦值为 ． 20．解：（1）设圆 的方程为 ，将三点 ， ， 分 别代入得 解得 ． 所以圆 的方程为（ ． （2）设 ，则： ， ， ∵ ，∴ ∴ ∵点 在圆 上运动∴ ， 即 ．∴ ， 所以点 的轨迹方程为 ，是以 为圆心，以1 为半径的圆． 21．解：（1）取 中点 ，连结 ， ∵ 为等腰直角三角形，∴ ， ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， 又∵ 为等腰直角三角形，∴ ． 又∵ ，∴ 平面 ， 又∵ ， ， ，∴ 为等边三角形， ∴以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴建立空间 直角坐标系，如图所示， 则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 取 则 ， ，∴ ∴点 到平面 的距离 ． （2）设 ，则 ， ∴设 与平面 所成角为 ， 则 ． ∴当 时， 最大，即 最大． 22．（1）证明：解法一，由甲图可知 ， ∵ 为直二面角，∴ ， ， ，∴ 平面 ， ∵在四棱锥 中， ∴以 为原点 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， ∵ ， ， ，异面直线 和 所成角等于 ． ∴设 ， ，则 ， ， ， ， ． ∵ ， ， ， ∴ ，解得 ， 当 为 的中点时， ， 又∵平面 的法向量为 ∴ ， 又∵ 平面 ， 平面 ． 解法二，由甲图可知 ， ∵ 为直二面角， ， ， ，∴ 平面 又∵ 平面 ，∴ 又∵ ， ，∴ 平面 ， ∴ ，又∴ ， ， ， ∴ 为等腰直角三角形，∴ ， ， 取 中点 连接 ， ， ，则 ， ， ∴四边形 为平行四边形，∴ ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （2）解：取 的中点 ，连接 ， ∵异面直线 和 所成角等于 ，∴ ， 又∵ ， ，∴ 为等边三角形， ∴ ，∴ ， 另：∵在四棱锥 中， ∴以 为原点 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 又 ， ， ∵异面直线 和 所成角等于 ， ∴ ，解得 ， 假设在棱 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ， 设 ，且 ， 则 ，解得 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 取 ，得 ， 又平面 的法向量 ， ∵二面角 的余弦值为 ，∴ 解得 或 （不合题意）． ∴存在这样的 点， 为棱 上的靠近 的三等分点．