2022-2023-2学期高二年级期中考试数学答案

试卷第1页，共4页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 兰州一中2022-2023-2 学期期中考试高二数学参考答案 一、单项选择题（每小题5 分，共40 分） 二、多项选择题（共20 分,全部选对得5 分，有漏选得3 分，有错选得0 分） 三、填空题：（每小题5 分，共20 分） 13． 14． 15． 16． 四．简答题 17．【详解】（1）设 ，则 是 的中点，连接 ，由于 是 的中点，所以 ， ，由于 平面 ，所以 平面 ，所以 . （2）依题意可知 两两相互垂直，以 为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，设平面 的法向量为 ， 则 ，故可设 ，设直线 与平面 所成角为， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B C B D A 题号 9 10 11 12 答案 BC AC BCD CD 试卷第2页，共4页 则 . 18．【详解】（1）定义域为 ， 令 ，解得 或 试卷第2页，共4页 －1 3 + 0 － 0 + 单调递增 单调递减 －8 单调递增 ∴ 时， 有极大值 ， 时， 有极小值－8． （2）设切点为 ，斜率为 ，∴切线方程为 ，又∵过点 ∴ ∴ ∴ 或 ∴切点为 或 ，切线方程为 或 19．【详解】（1）由题意， 两两互相垂直，以O 为坐标原点，射线OB、 OC、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形 中， ，所以 , 在 中 ， 因为 底面ABCD ，所以PB 与底面ABCD 所成的角 为 ，所以 ， 则点A、B、D、P 的坐标分别是 ， E 是PB 的中点，则 ，于是 ， . 设 的夹角为θ，则有 .∴异面直线DE 与PA 所成角的 试卷第3页，共4页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 余弦值为 √2 4 . （2）连接 ， 分别是 的中点， ， 平面PAD， 平面PAD， 平面PAD.因为 ， ,设平面PAD 的法向 量 ，则 ，令 ，则 ，所以 试卷第3页，共4页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ，又 ，则点E 到平面PAD 的距离 . 20．(1) ，定义域为 ； (2)当 时，圆柱形罐子的体积V 最大，最大体积是 【详解】（1）在 中， 因为 ，所以 ， 设圆柱的底面半径为r，则 ，即 ， 所以 ，定义域为 （2）由（1）得 ， ， ，令 ，则 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 当 时，圆柱形罐子的体积V 最大，最大体积是 21．【详解】（1）证明：连接 ， ， ， 是等边三角 形，又 是 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 试卷第4页，共4页 ，又 ， 平面 ， 平面 ，又 平 面 ， 平面 平面 ． （2）解： 平面 ， 为 与平面 所成的角，即 ， 又 平面 ，所以 ， 是边长为的等边三角形， ， ，以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示： 试卷第4页，共4页 则 ， ， ， ， ，设平面 的法 向量为 ，则 ，即 ， 令 可得 ， 平面 ，故 为平面 的一个法向 量， ，显然二面角 为锐二面角， 二面 角 的余弦值为 ． 22．【详解】（1）由 可得 ， 因为函数 有两个极值点 ，故 是 即 的两个正根，则 ，即 ，即实数的取值范围为 . （2）由（1）可知 ， ， ，由于 ，故 试卷第5页，共4页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ，设 ，故 在 上单调递增，故由 可得 ，即实数的取值范 围为 . 答案第1页，共1页