浙江省杭州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量检测 数学 Word版含答案

杭州市2021-2022 学年高一下学期教学质量检测数学试题 一､选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合 题目要求的，不选､多选､错选均不得分. 1.若复数 满足 （为虚数单位），则 （） A. B. C. D. 2.已知 ，则“ ”是“ ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设 ，若 ，则（） A. B. C. D. 4.函数 和 在同一坐标系下的图象可能是（） A. B. C. D. 5.为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒.已知教室内每立方米空气中的含药量 （单位： ）随时间 （单位： ）的变化如图所示，在药物释放过程中， 与 成正比；药物释放完毕后， 与 的 函数关系式为 为常数），则（） A.当 时， B.当 时， C. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到 以下 D. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到 以下 6.已知 是单位平面向量，若对任意的 ，都有 ，则 的最大值为（） A.3 B.4 C.5 D.6 7.古希腊数学家希波克拉底研究了如图所示的几何图形.该图由三个半圆构成，直径分别为Rt 的斜边 ，直角边 和 .已知以直角边 为直径的半圆的面积之比为 ，设 ，则 （） A. B. C.0 D.1 8.设函数 ，对于任意正数 ，都 .已知函数 的图象关于点 成中心对称，若 ，则 的解集为（） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.已知关于 的不等式 的解集为 ，则（） A. B. C.不等式 的解集为 D.不等式 的解集为 10.下列四个正方体图形中， 为正方体的两个顶点， 分别为其所在棱的中点，能得出 平 面 的图形是（） A. B. C. D. 11.已知 是单位向量，且 ，则（） A. B. 与 垂直 C. 与 的夹角为 D. 12.在 中， 分别为 的对边，（） A.若 ，则 为等腰三角形 B.若 ，则 为等腰三角形 C.若 ，则 D.若 ，则 为钝角三角形 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.设 ，则 __________. 14.函数 的最小正周期为__________. 15.“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2 的圆 柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图 2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为 ，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为____ ______. 16.如图，在平面直角坐标系中，点 以每秒 的角速度从点 出发，沿半径为2 的上半圆逆时针移动到 ， 再以每秒 的角速度从点 沿半径为1 的下半圆逆时针移动到坐标原点 ，则上述过程中动点 的纵坐标 关于时间的函数表达式为__________. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10 分）筒车是我国古代发明的一种水利工具.如图筒车的半径为 ，轴心 距离水面 ， 筒车上均匀分布了12 个盛水筒.已知该筒车按逆时针匀速旋转，2 分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒 从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间. （1）将点 距离水面的距离 （单位： .在水面下时 为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数； （2）已知盛水筒 与 相邻， 位于 的逆时针方向一侧.若盛水筒 和 在水面上方，且距离水面的高 度相等，求的值. 18.（本题满分12 分） 在 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）求 ； （2）在① ，② ，③ 这三个条件中，选出其中的两个条件，使得 唯一确定.并解 答之. 若___________，___________，求 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.（本题满分12 分）如图，在 中，已知 . （1）求 ； （2）已知点 在 边上， ，点 在 边上， ，是否存在非零实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 19.（本题满分12 分）已知 . （1）求 的解析式； （2）解关于 的方程 . 21.（本题满分12 分） 如图，在等腰梯形 中， ，在等腰梯形 中， ，将等腰梯形 沿 所在的直线翻折，使得 ， 在平面 上的射影恰 好与 重合. （1）求证：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 22.（本题满分12 分） 数学家发现： ，其中 .利用该公式可以得到：当 时， （1）证明：当 时， ； （2）设 ，当 的定义域为 时，值域也为 ，则称 为 的“和谐区 间”.当 时， 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 的所有“和谐区间”，若不存在，请 说明理由. 2021 学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测 数学参考答案及评分标准 一､选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C C D C A A 二､选择题 9.ABD 10.AD 11.BC 12.ACD 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.16 14. 15. 16. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分. 17.（1）以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设 ， 由题意，得 ， 所以 ； （2）易知，点 纵坐标 ， 点 纵坐标 ， 由题意，得 ， 所以 或 ， 解得 ， 由盛水筒 和 在水面上方，得 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 . 18.（1）由正弦定理 ，得 ， 展开，整理得 ，即 ， 又 ，所以 . （2）方案一：选①和②. 由正弦定理 ，得 ， 由余弦定理 ，得 ， 所以 的面积 . 方案二：选①和③. 由余弦定理 ，得 ， 解得 . ， ，所以 为直角三角形， 所以 的面积 . 19.（1）在三角形 中，由余弦定理 ， 解得 ， 因为 ，所以 . （2）因为 所以 . 20.（1）设 ，即 ，则 . 所以 . （2）由 ，得 ，即 ， 当 时，方程无解； 当 时，解得 ， （i）若 ，则 ， （ii）若 ，则 . 21.（1）证明： 在平面 上的射影恰好与 重合， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 . （2）如图1，分别延长 交于点 ， 如图2，过 作边 的垂线，垂足为 ， 由等腰梯形的性质得 ， 又 ，同理 ， 而 ，即 . 又 平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面 直线 与平面 所成角为 ，且 为直角. 在等腰梯形 中 ， ， 由 平面 ， 又 ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 22.（1）由题意，得 ，所以 ， 所以当 时， . （2）当 时，有 ， ①若 ，则由 ，知 ，矛盾， 故不存在“和谐区间”； ②同理 时，也不存在， 下面讨论 ， ③若 ，则 ，故 最小值为 ，于是 ， 所以 ， 所以 最大值为2，故 ，此吋 的定义域为 ，值域为 ，符合题意. ④若 ，当 时，同理可得 ，舍去， 当 时， 在 上单调递减， 所以 ，于是 ， 若 ，即 ，则 ， 故 ， 与 矛盾； 若 ，同理，矛盾， 所以 ，即 ， 由（1）知当 时， ， 因为 ，所以 ，从而， ，从而 ，矛盾， 综上所述， 有唯一的“和谐区间” .