2023-2024学年安徽省皖江名校高二上学期上月开学联考数学试卷

高二数学试卷 第1 页(共4 页) 姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 数 学 本试卷共4 页,22 题。全卷满分150 分,考试时间120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1. 已知集合M={x | x2-2x-8<0},N={-3,-2,0,2,3},则M∩N= A. {x | -2<x<4} B. {-2,0,2} C. {-3,-2,0} D. {0,2,3} 2. 已知复数z=(m+1)+(m-1)i(m∈R)为纯虚数,则复数z(3-i)在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量a =(λ,2),b =(2,4),且(a-b)∥b,则λ = A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. 已知在平面直角坐标系中,点M(2,4)在角α 终边上,则sin3(π-α)+cos3(-α) sin3α-2 cos3α = A B C D E F N M A. 2 3 B. 3 2 C. - 3 5 D. - 5 3 5. 手工课上某同学用六个边长相等的正方形卡片拼接成一个几何图形,如图所 示,其中AB,CD,EF,MN 为对角线,该几何图形恰好能折叠组装成一个正方体 卡片纸盒,则在正方体卡片纸盒中 A. CM⊥EF B. CM⊥AB C. CM⊥CD D. CM⊥MN 6. 2013 年7 月18 日,第31 届全国青少年爱国主义读书教育活动启动,某校为了迎接此次活动,对本校 高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查,得到日阅读时间(单位:分钟)的统计表如下: 年级 抽查人数 平均时间 方差 高一 40 50 4 高二 60 40 6 则估计两个年级学生日阅读时间的方差为 A. 52 B. 29. 2 C. 10 D. 6. 4 7. 已知实数a,b,c 满足a =log43,b =log75,1+log5c=ln4 ln5,则 A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. b<c<a {#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#} 高二数学试卷 第2 页(共4 页) 8. 已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,A = π 3 ,点Q 在边BC 上,且满足AQ →= λ( AB → AB →+ AC → AC →)(λ>0),AQ= 4 3 ,则b+16c 的最小值是 A. 32 B. 64 C. 100 D. 120 二、选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得5 分,选对但不全的得2 分,有选错的得0 分。 9. CPI 是居民消费价格即消费价格指数,是反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变 动的宏观经济指标. 下图是国家统计局发布的2022 年5 月至2023 年5 月全国居民消费价格涨跌幅 统计图,其中同比是与上年同期对比(如今年5 月与上年5 月),侧重数据长期趋势,环比是与上月对 比(如今年5 月与4 月),侧重数据短期变化,则下列说过正确的是 2022 6 7 8 9 10 11 12 2023 2 3 4 5 �� � � � � � � �� � � � � � 5 1 (%) 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 ����������� �� �� 2 1 . 2 5 . 2 7 . 2 5 . 2 8 . 2 1 . 1 6 . 1 8 . 2 1 . 1 0 . 0.7 0.1 0.2 -0.2 0.0 0.5 -0.1 0.3 0.1 -0.2 0.0 0.8 -0.5 -0.3 -0.1 -0.2 A. 2022 年5 月至2023 年5 月同比涨幅极差为2. 7% B. 2023 年1 月至5 月同比涨幅的75%分位数为1. 0% C. 从环比看,CPI 由2023 年2 月至4 月开始持续上涨 D. 随机从2023 年1 月至5 月的同比数据选择两个研究,则选取4 月和5 月的概率为2 5 x y O B C π 2 π 3 2π 3 10. 已知函数f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< π 2 )的部分图象如图所示,其 中B,C 两点纵坐标相等,则 A. f(x)= sin(2x+ π 3 ) B. f(x)= sin(2x+ π 6 ) C. f(x)的图象向右平移π 6 个单位长度可得一个奇函数的图象 D. f(x)的图象向左平移π 12个单位长度可得一个偶函数的图象 11. 直四棱锥S-ABCD 中,SA⊥底面ABCD,AD= 4BC,AD∥BC,AC,BD 的交点为P,点Q 在SD 上且DQ = 4QS,三棱锥S-ABC 和三棱锥Q-ACD 的体积分别为V1,V2,则 A. PQ∥SB B. CQ∥平面SAB C. V1>V2 D. V1 = 5 16V2 {#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#} 高二数学试卷 第3 页(共4 页) 12. 已知x = 2sin63°sin64° cos18°cos19° ,y =(1+tan26°)(1+tan27°),则 A. x =(1+tan18°)(1+tan19°) B. x>y C. xy = 4 D. x+y>4 三、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分。 13. 复数z= i3 4+3i,则| z| = . 14. 已知正四棱台上下底面边长分别为2 和8,侧面梯形的高为5,则该四棱台的体积为 . 15. 随着国家“双碳”(碳达峰与碳中和的简称)目标的提出,我国风电发展驶入快车道,陆地、海上的风 机(如下左图,顶端外形是大风车,又称风力发电大风车)纷纷“拔地而起”,成为保护环境、输送绿色 能源的“风中使者”. 如图,一学习兴趣小组为了测量某风力发电大风车AB 的高度,在点A 正东方点 C 处测得风车顶端点B 的仰角为30°,在点A 南偏西30°方向的点D 处测得点B 的仰角为60°,且C, D 相距40 39 3 米,其中AB⊥平面ADC,则AB 的高度为 米. A B C D 16. 若f(x)的定义域为[0,1],对于0≤x1≤x2≤1,都有f(x1)≤f(x2),且满足f( x 3 )= 1 2 f(x),f(1-x)= 1-f(x),则称f( x) 为康托尔函数. 当x∈[ 1 3 , 1 2 ] 时,康托尔函数f( x) = ;f( 1 2023) = . 四、解答题:共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (10 分) 设平面向量a,b 满足| a | = 1,b =( 3 ,1),(2a+b)·(a-b)= -3. (1)求| a-b | ; (2)求向量a 在向量b 上的投影向量(用坐标表示). 18. (12 分) 已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足a b + b a -c2 ab = 2 . (1)求角C; (2)若sinA= 2 5 5 ,c= 5 2 <b,求△ABC 的面积. {#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#} 高二数学试卷 第4 页(共4 页) 19. (12 分) 2023 年7 月11 日第64 届国际数学奥林匹克竞赛结果公布,中国队6 名参赛选手全员金牌,再夺第 一. 某班级为了选拔数学竞赛选手,举行初次选拔考试,共有排好顺序的两道解答题. 规定全部答对 者,通过选拔考试. 设甲答对第一道和第二道题的概率分别为1 2 , 2 3 ,乙答对第一道和第二道题的概 率分别为1 2 , 2 3 ,甲,乙相互独立解题,答对与否互不影响. (1)求甲,乙都通过考试的概率; (2)记事件E =“甲、乙共答对两道题”,求P(E). 20. (12 分) A B C O D P 如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,P 为DO 的中点,△ABC 是底面的 内接正三角形. (1)若底面圆的半径为2,直线PB 与底面的夹角为45°,求圆锥侧面展开图的面 积; (2)若PA⊥PB,证明:平面PBC⊥平面PAB. 21. (12 分) A B C M N Q P 如图所示,△ABC 中,AQ 为边BC 的中线,AP →= tAQ →,MP →= xMN →,AM →= λAB →,AN →=μAC →,其中t>0,x>0,λ>0,μ>0. (1)当t= 1 3 时,用向量AB →,AC →表示AP →; (2)证明: t λ + t μ 为定值. 22. (12 分) 已知f(x)= 2 3 cosωxsinωx-cos2ωx+sin4ωx+cos2ωx sin2ωx ω>0 ( ) . (1)若ω= 1,且5f( α 2 + π 12)= 6,α∈( π 2 ,π),求cos(2α- π 6 )的值; (2)若函数y =f( x 2 )在区间( π 2 ,3π 2 )上没有零点,求ω 的取值范围. {#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}