浙江省杭州“六县九校”联盟2021-2022学年高二下学期期中联考 数学试题 PDF版无答案(1)

高二数学学科试题 第 页共4 页 1 1 绝密★考试结束前 杭州“六县九校”联盟2021 学年第二学期期中联考 高二年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1. 已知集合 )} 2 2 ( 3 log { } 0 2 { 2 − = =  − − = x x|y ,B x x|x A ，则 = B A （ ） A.   2 -1 |  x x B.   2 1 |  x x C.   2 1 |  x x D.   2 0 |  x x 2. 已知直线 0 3 2 = + + y mx 与直线 0 ) 1 ( 3 = + − + m y m x 平行，则实数 = m （ ） A. -2 B. 3 C. 5 D. -2 或3 3. 奥运会将于2022 年9 月10 日在杭州举办。为保证奥运会的顺利进行，组委会需要提前把各项工 作安排好。现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙 和丁各一天，则不同的安排方法有（ ） A. 840 种 B. 140 种 C. 420 种 D. 210 种 4. 5 ) 1 2 ( − x 的二项展开式中第4 项的系数为（ ） A. -80 B. -40 C. 40 D. 80 5. 函数 ( ) 2sin cos y x x = 的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A. 3 盏 B. 7 盏 C. 9 盏 D. 11 盏 高二数学学科试题 第 页共4 页 2 7. 已知双曲线C ： 1 2 2 2 2 = − b y a x （ 0 a  ， 0 b  ）的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的 圆与C 的一条渐近线交于 N M, 两点，且 2 OM ON = ，则C 的离心率为（ ） A. 3 4 B. 3 C. 3 3 2 D. 2 6 8．在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D − 中，E 是侧面 1 1 ADD A 内的动点，且 1 B E / / 平面 1 BDC ，则直线 1 B E 与 直线AB 所成角的正弦值的最小值是( ) A. 1 3 B. 3 3 C．1 2 D． 2 2 二、多选题 （本题共4 小题， 每小题5 分， 共20 分。 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。 全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9. 已知函数 ) 1 , 0 ( ), 1 ( log ) (   − = a a x x f a ，下列关于 ) (x f 的说法正确的是（ ） A. 定义域是（-∞，1） B. 值域是R C. 图象恒过定点 D. 当 1  a 时，在定义域上是增函数 10．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴 鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克， 蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律。图2（正八边形ABCDEFGH ）是由图1（八卦模型图）抽象 而得到，并建立如图2 的平面直角坐标系，设 1 OA = ，则下列正确的结论是（ ） A． 2 2 OA OD  = − B．以射线OF 为终边的角的集合可以 表示为 5 2 , 4 k k Z      = +      C. 点O 为圆心、 OA为半径的圆中， 弦AB 所对的劣弧弧长为4  D．正八边形ABCDEFGH 的面积为4 2 11．已知圆O 的方程为 2 2 1 x y + = ，过第一象限内的点( ) , P a b 作圆O 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A、B，下列结论中正确的有（ ） A．直线AB 的方程为 1 0 ax by B．四点 B P A O , , , 共圆 C．若P 在直线3 4 10 0 x y + − = 上，则四边形OAPB的面积有最小值2 D．若 8 PO PA  = ，则a b + 的最大值为3 2 高二数学学科试题 第 页共4 页 3 12．对函数 ( ) sin e e x x x f x − = − 进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（ ） A．函数 ( ) y f x = 的图象关于y 轴对称 B． ( ) 1 f x  C．函数 ( ) y f x = 的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等 D．对任意常数 0 m  ，存在常数b a m   ，使函数 ( ) y f x = 在  , a b 上单调递减，且 1 b a −  非选择题部分 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 已知复数z 满足 i i z + = − 1 ) 1 ( ，则z =______ 14. 抛物线 ) 0 ( , 2 : 2  = p px y C 的准线截圆 0 1 2 2 2 = − − + y y x 所得弦长为2， 抛物线的焦点坐标_______ 15． 已知函数 ( ) y f x = 在R 上的图象是连续不断的一条曲线， 并且关于原点对称， 其导函数为 ( ) f x  ， 当 0 x  时，有不等式 ( ) ( ) 2 2 x f x xf x  − 成立，若对 x R  ，不等式 ( ) ( ) 2 2 2 0 x x e f e a x f ax −  恒成立， 则正整数a 的最大值为_______. 16. 数列{ } n a 的前项n 和为 n S ，满足 1 1 2 a = − ,且 1 2 2 2 n n a a n n + + = + （ * n N  ），则 2n S = ______ 四、解答题（本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10 分）某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200 名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图。将平均每天课外体育锻炼 时间在[40,60)上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在[0,40)上的学生评价为锻 炼不达标。 （1） 估计这200 名学生每天课外体育锻炼时间的中位数与 平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2） 在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名， 再从这8 名同学中随机抽取2 名，求这两名同学中至少有 一名每天体育锻炼时间在[50,60)的概率。 18.（本题满分12 分）已知 2 1 2 cos 2 cos 2 sin 3 ) ( 2 − + = x x x x f (1)求函数 ( ) f x 的对称中心和单调增区间； (2)将函数 ( ) y f x = 的图象上的各点___________得到函数 ( ) y g x = 的图像，当 , 6 4 x    −    时，方程 高二数学学科试题 第 页共4 页 4 ( ) g x a = 有解，求实数a 的取值范围。 在以下①､②中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果①､②都做，则按①给分. ①向左平移3 2 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横 坐标缩小为原来的一半，再向右平移4 个单位。 19.（本题满分12 分）已知等差数列 n a 的公差为正数， 1 1 a = ，其前n 项和为 n S ，数列 n b 为等 比数列， 1 2 b = ，且 2 2 12 b S = ， 2 3 10 b S + = 。 （1）求数列 n a 与 n b 的通项公式； （2）求数列  n n a b  的前n 项和 n T 。 20.（本题满分12 分）如图,在四棱锥P ABCD − 中，PA ⊥平面ABCD， 90 , ABC BAD  =  =  4, 2 AD AP AB BC = = = = , , M N 为线段 , PC AD 上一点（且不为端点）。 (1)当M 为中点时， 1 4 AN AD = ，求证：MN∥面PBA (2)当N 为AD 中点时，是否存在M ，使得直线MN 与平面PBC 所成 角的正弦值为2 5 5 ，若存在求出M 的坐标，若不存在，说明理由。 21.（本题满分12 分）已知椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b + =   的离心率为 3 2 ，圆 2 2 ( ) 1 x y b + − = 与x 轴相 切，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程； （2）设椭圆C 的右焦点为F ，过点F 的直线l 交椭圆于 , A B 两点，是否存在直线l 使OAB的面积为 2 6 5 ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。 22.（本题满分12 分）已知函数 ( ) ln 1 f x x x = −+ ， ( ) 0, x +，( ) 3 g x x ax = − （1）求 ( ) f x 的最大值； （2）若对 ( ) 1 0, x  +，总存在   2 1,2 x  使得 ( ) ( ) 1 2 f x g x  成立，求a 的取值范围； （3）证明不等式1 2 1 n n n n e n n n e       + ++        −      