山西大同高二11月期中考试数学试题

（北京）股份有限公司 大同市2022-2023 年度高二期中测试题（卷） 数学 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面 和平面 的法向量分别为 ， ，则（ ） A． B． C． 与 相交但不垂直 D．以上都不对 2．椭圆 和 具有（ ） A．相同的离心率B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴 3．直线 与圆 相切，则 的值是（） A． 或12 B．2 或 C． 或 D．2 或12 4．已知点 ， ，若过点 的直线与线段AB 相交，则直线的斜率 的取值范围是（） A． B． C． 或 D． 5．在空间四边形OABC 中， ， ， ，点 在OA 上，且 ， 为BC 中点， 则 （） A． B． C． D． 6．设抛物线 上的三个点 ， ， 到该抛物线的焦点的距离分别为 ， ， ，若 ， ， 的最大值为3，则 的值为（） A． B．2 C．3 D． 7．设 和 为双曲线 的两个焦点，若点 ， ， 是等腰直角三角形的 三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 8 ．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑 中， 平面 ， ，D，E 分别是棱AB，PC 的中点，点 是线段DE 的中点，则点 到直线AC 的距离是 （） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．设 ，圆 与圆 的位置关系不可能是（） A．内切B．相交C．外切D．外离 10．若方程 所表示的曲线为 ，则下面四个命题错误的是（） A．若 为椭圆，则 B．若 为双曲线，则 或 C．曲线 可能是圆 D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则 11．若实数x，y 满足 ，则（） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 12．已知 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 ， ，且 ，则（） A． 的周长为12 B． C．点 到 轴的距离为 D． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．直线 ， 的斜率 ， 是关于 的方程 的两根，若 ，则 ______． （北京）股份有限公司 14．已知 ， ， ，则 等于______． 15．已知双曲线 被直线截得的弦AB，弦的中点为 ，则直线AB 的斜率为______． （北京）股份有限公司 16．如图，在梯形ABCD 中， ， ， ， ，将 沿对角 线BD 折起，设折起后点 的位置为 ，并且平面 平面BCD．则下面四个命题中正确的是______． （把正确命题的序号都填上） ① ；②三棱锥 的体积为 ；③ ；④平面 平面 ． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知 ， ， 为平面内的一个动点，且满足 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）若直线为 ，求直线被曲线 截得的弦的长度． 18．（12 分） 如图，在正方体 中， 为 的中点． （1）求证： 平面ACE； （2）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值． 19．（12 分） 已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线AF 的斜 率为2，O 为坐标原点． （1）求E 的方程； （北京）股份有限公司 （2）设过点 且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点M、N，且 ，求 的值． 20．（12 分） 如图，在三棱锥 中，侧面PAC 是等边三角形， ， ． （北京）股份有限公司 （1）证明：平面 平面ABC； （2）若AC=2AB，则在棱PC 上是否存在动点 ，使得平面MAB 与平面ABC 所成二面角的大小为45°． 21．（12 分） 已知抛物线 上的一点 到它的焦点的距离为 ． （1）求 的值； （2）过点 作抛物线 的切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ 过定点． 22．（12 分） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，且过点 （1）求双曲线 的方程； （2）过 的两条相互垂直的直线分别交双曲线于点A，B 和点C，D，M、N 分别为AB、CD 的中点，连接 MN，过坐标原点 作MN 的垂线，垂足为 ，问：是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求定点 的坐标；若不存在，请说明理由． 大同市2022-2023 年度高二期中测试题（数学） 参考答案 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．CD 10．AD 11．CD 12．BCD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．-2 14． 15．1 16．③④ （北京）股份有限公司 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 解：（1）由题意可设点 的坐标为 ，由 及两点间的距离公式可得 （北京）股份有限公司 ，整理得 ．（5 分） （2）圆心 到直线 的距离 ， 所以弦的长度 ．（10 分） 18．（12 分） 解：（1）证明：连接BD 交AC 于点 ，连接EF，则 ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面ACE．（6 分） （2）以D 为原点， 、 、 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则 ， ， ， ， 所以 ， ， 设 为平面ACE 的法向量， 所以 即 令 ，则 ， ， 所以 ，所以 ， 所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值为 ．（12 分） （北京）股份有限公司 19．（12 分） （北京）股份有限公司 解：（1）由离心率 ，得 ，直线AF 的斜率为 ，解得 ， ∴ ， ，∴椭圆 的方程为 ．（4 分） （2）[答案]设直线 ， ， ， 则 整理得 ，∵ 、 是不同的两点， ∴判别式 ，得 ， ∴ ， ， ∴ ， 整理得 ，解得 或 （舍去），∴ ．（12 分） 20．（12 分） 解：（1）证明：取AC 的中点 ，连接PO，BO， 因为 为等边三角形，所以 ， 在 中，有 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 又因为 ， ，所以 平面ABC， 又因为 平面PAC，所以平面 平面ABC．（6 分） （2）不妨设 ，在 中， ，所以 ， （北京）股份有限公司 在底面ABC 内作 于点 ，则OD，OC，OP 两两垂直，以点 为原点，OD 所在的直线为 轴， OC 所在的直线为 轴，OP 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则 ， ， ， （北京）股份有限公司 所以 ， ， ， ， 设 ， 则 ， 设平面MAB 的法向量为 ， 所以 ， 令 ，可得 ， ，所以 ， 易知平面ABC 的一个法向量为 ， 所以 ， 整理可得 ，即 ，解得 或 （舍去）． 所以 ，所以当 时，二面角 的大小为45°．（12 分） 21．（12 分） 解：（1）∵抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离， ∴ ，∴ ，∴ ． （2）证明：由题意得，过点 的抛物线的切线的斜率存在，故可设切线方程为 ， 代入 得， ． ∵直线与拋物线 相切，∴ 得 ，即 ． ∴ ，代入 并化简得 ，解得 ， （北京）股份有限公司 设直线NP，NQ 的斜率分别为 ， ，则 ． ∴ ， ，当 时， （北京）股份有限公司 直线PQ 的方程为 ，整理得， ， 即 ．∴直线PQ 过定点 ． 当 时，直线PQ 的方程为 ，过点 ． 综上可得，直线PQ 过定点 ．（12 分） 22．（12 分） 解：（1）由题可知， 所以双曲线 的方程是 ．（4 分） （2）[答案]存在定点 ，使得 为定值． 由题意可知，若直线AB 和CD 其中一条没有斜率，则 点的坐标为 ， 直线MN 的方程为 ．当直线AB 和CD 的斜率都存在时， 因为点 ，所以设直线AB 的方程为 ， 则直线CD 的方程为 ，设 ， ， ， （北京）股份有限公司 联立 得 ， （北京）股份有限公司 所以 ， ，故 ， ． 设 ， ， ，同理可得 ， ， 故 ， 所以 ， 所以直线MN 的方程为 ， 化简得 ，可知直线MN 过定点 ． 又 ，所以点 的运动轨迹是以点 为圆心， 为直径的圆， 所以存在定点 ，使得 为定值 ．（12 分）