河南省周口市2022-2023学年高二上期期中质量检测数学试题

绝密★启用前 河南省周口市2022-2023 学年高二上期期中质量检测 数 学 试 题 （考试用时120 分钟 试卷满分150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应科目的答案标号涂黑。如需 改动，橡皮擦干净后，涂上其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:选择性必修一 一、二章。 第I 卷（选择题） 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1、空间任意四个点A，B，C，D，则 等于( ) A. B. C. D. 2、如图，平行六面体 中，AC 与BD 的交点为M，设 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是( ) A. B. C. D. 3、若向量 ， ，且a 与b 的夹角的余弦值为 ，则实数 等于( ). A.0 B. C.0 或 D.0 或 4、如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且 ，点M 是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 5、已知定直线 的方程为 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的一条切线， 是切点， 是圆心，若 面积的最小值为 ，则 面积最小时直线 的斜率k 为( ) A. B. C. D. 6、已知直线 与直线 平行，则实数 的值为（ ） A.1 B. C.1 或 D. 7、已知 ， ，若直线 与线段 有公共点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8、从 中任取一个m，则直线 被圆 截得的弦长大于2 的概率 为( ) A. B. C. D. 二. 多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对得5 分，部分选对得3 分，有选错的得0 分） 9、在四面体 中， 是棱 的中点，且 ，则下列结论中 不正确的是（ ） A. B. C. D. 10、如图，在正方体 中，点O 在线段 上移动，M 为棱 的中点，则 下列结论中正确的有（ ） A. 平面 B. 的大小可以为 C.直线 与直线 恒为异面直线 D.存在实数 ，使得 成立 11、在平面直角坐标系 中，已知 ， 是圆 上的两个动 点，满足 ，下列结论正确的是（ ） A.直线 的倾斜角是 B.直线 的倾斜角是 C. 最大时， 的面积是 D. 最大时， 的面积是6 12、已知直线 与圆心为 且半径为3 的圆相交于A，B 两点，直线 与圆M 交于C，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是( ) A. B. C. D. Ⅱ卷（非选择题，共90 分） 三、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填写在题中横线上） 13、已知点 ，若 三点共线，则 __________. 14、设曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 ___________. 15、唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河."诗 中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处 出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营 所在区域为 ，河岸线所在直线方程为 ，若将军从点 处出发，并 假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为________. 16 、已知圆C 的圆心在y 轴上，截直线 所得弦长为8 ，且与直线 相切，则圆C 的方程__________. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17、已知 . （1）若 ，分别求 与 的值； （2）若 ，且与 垂直，求 . 18、如图, 在三棱柱 中, 平面 , 且 为线 段 的中点. (1) 证明: ; (2) 若 到直线 的距离为 , 求二面角 的余弦值. 19、已知直线 . （1）若 ，求m 的值； （2）若 ，且他们的距离为 ，求 的值. 20、已知圆 的圆心在直线 ，且过圆 上一点 的切线方程为 ． （1）求圆 的标准方程； （2）设过点 的直线 与圆交于另一点 ，求 的最大值及此时的直线 的方程． 21、如图，圆 内有一点 为过点 且倾斜角为 的弦. （1）当 时，求AB 的长； （2）是否存在弦AB 被点 平分？若存在,写出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 22、已知直线 与圆 交于 两点． （1）求直线 的斜率的取值范围 （2）若 为坐标原点，直线 的斜率分别为 ，试问 是否为定值？若是， 求出该定值：若不是，请说明理由． 参考答案 1、答案：D 解析： . 2、答案：C 解析： ，故选C. 3、答案：C 解析：由题意得 ，解得 或 .故选 C. 4、答案：C 解析：以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC，OS 分别为y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 ， 则根据题意可得 ， ， ， ， 所以 ， ， 设异面直线AB 与CM 所成角为 ， 则 . 故选：C. 5、答案：B 解析：解：由题意可得直线l 的方程为 ，圆C 的圆心 ，半径为1， 如图： ，又 ， 当 取最小值时， 取最小值，此时 ，可得 ， ，则 ，解得 6、答案：A 解析：由于直线 与直线 平行， 所以 ， 或 ， 当 时，两直线方程都为 ，即两直线重合，所以 不符合题意. 经检验可知 符合题意. 7、答案：C 解析：由于直线 的俭率为 , 且经过定点 , 设此定点为 ,求得直线 的斜率为 0 , 直线 的斜率为 1 , 由图象知故 ,故选 C. 8、答案：A 解析：所给圆的圆心为坐标原点, 半径为 , 当弦长大于 2 时, 圆心 到直线 的距离小于 1 , 即 , 所以 , 故所求概率 , 故选A. 9、答案：ABD 解析：∵ ， ∴ ， ，则 ，故A，B，D 错误，C 正确. 故选：ABD. 10、答案：ABD 解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 如图所示， 设正方体的棱长为2， 设 所以OD 又 平面 所以平面 的法向量为 因为 所以 所以 平面 故A 正确 对于B，当O 为 的中点时 所以 所以 所以 平面 所以 的大小可以为 ，故B 正确； 对于 当 为线段 的中点时，直线 与 共面，故C 不正确 对于 三点共线 故D 正确. 11、答案：AD 解析： , 在 的垂直平分线上，又 是圆 的弦，圆心 也在 的 垂直平分线上 ，则 ， ， 的斜率为 ，直线 的倾 斜角为 .当 过圆心 ，即 为直径时, ，此时 的高为 ， 且 ， 12、答案：BC 13、答案：4 解析：由点 ， 可得 ， 因为 三点共线， 所以 ，即存在 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故答案为：4． 14、答案： 解析：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 .故答案为：-9. 15、答案： 解析：设A 关于直线 的对称点 ， 设军营所在区域的圆心为O，根据题意， 为最短距离， AB 的中点 ， 直线AB 的斜率为1， 由 ，解得 ， 所以 .故答案为： . 16、答案： 17、答案：(1) . (2) . 解析：(1)由 ，得 ， ，解得 ， . (2) ，且 , ， 化简得 ，解得 . 因此 . 18、答案：(1)见解析(2) 解析：(1)证明: 因为 平面 平面 , 所以 . 因为 , 所以 , 所以 . 因为 , 所以 平面 , 又 平面 , 所以 . (2)过 作 于 , 连接 , 易证 , 因为 , 所以 . 以 为坐标原点,建立空间直角坐标系 , 如图所示, 则 设平面 的法向量为 , 则 令 , 则 . 同理可得平面 的一个法向量为 , 则 . 由图可知, 二面角 为针角, 故二面角 的余弦值为 . 19、答案：（1） 的斜率为 ，∵ ， ∴直线 的斜率为 ，∴ ； （2）∵ ，∴ ， （ 时两直线平行）， 的方程化为 ， ∴两平行间的距离为 ，解得 ． 解析： 20、答案：（1） （2）5， 或 解析： （1）由题意，过 点的直径所在直线方程为 ，即 ． 联立 ，解得 ， ∴圆心坐标为 ，半径 ， ∴圆 的方程为 ； （2） ，要使 最大， 则 点满足 所在直线与 所在直线垂直， 此时 的最大值为 ； ∵ ， ∴ 所在直线方程为 ，即 ， 联立 ，得 或 ， 即 的坐标为 或 ， 当 时， 的方程为 ，即 ； 当 时， 的方程为 ，即 ． 综上所述， 所在直线方程为 或 ． 21、 （1）答案： 解析：当 时，直线AB 的斜率 . 直线AB 的方程为 ， 即 .① 把①代入 ，得 ，即 ， 解此方程得 . 所以 . （2）答案：见解析 解析：存在弦AB 被点 平分. 当弦AB 被点 平分时， . 直线 的斜率为 ，所以直线AB 的斜率为 . 所以直线AB 的方程为 ， 即 . 22、答案：（1） ；（2） , 为定值. 解析：（1）设直线斜率为 ，由 可知：直线 方程可设为： ， 即 ； 圆 方程可整理为 ，则其圆心 ，半径 ， 直线 与圆 交于 两点， 圆心 到直线 距离 ， 即 ，解得： ，即直线斜率的取值范围为 ； （2）将直线 方程整理为： ， 令 ，解得： ， 直线 恒过定点 ； ， 当 时， 与圆 仅有一个交点，不合题意， ， 则直线 ， 可设直线方程为 ， 由 得： ，由（2）知： ； ， ， ， 为定值.