浙江省台州市2021-2022学年高二上学期期末质量评估 数学

台州市2021 学年第一学期高二年级期末质量评估试题 数 学 命题：陈传熙（玉环中学） 钭伟炀（台州市洪家中学） 审题：陈清妹（台州中学） 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. 直线 的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】A 2. 点 关于坐标平面Oxy 对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3. 一个盒子中装有3 个红球和1 个白球（这些球除颜色外其余均相同），从中任取2 个球，设事件A=“恰 有一个红球”，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 4. 已知数列 的前n 项和 ，则该数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5. 已知直线 与直线 平行，则m 的值为（ ） A. 3 B. C. 3 或 D. 3 或4 【答案】B 6. 在等比数列 中， ， ，则公比q 的值为（ ） A. 1 B. C. 1 或2 D. 1 或 【答案】D 7. 已知A，B 两点在以F 为焦点的抛物线 上，并满足 ，过弦AB 的中点M 作抛物线对 称轴的平行线，与OA 交于N 点，则MN 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 8. 在三棱台 中， 底面BCD， ， ， ．若A 是 BD 中点，点P 在侧面 内，则直线 与AP 夹角的正弦值的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P 在椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A. ，的 坐标分别为 ， B. 椭圆的离心率为 C. 的最小值为1 D. 当P 是椭圆的短轴端点时， 取到最大值 【答案】ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 ， ， ，…的第8 项 B. 在等差数列 中，若 ，则当 时，前n 项和 取得最大值 C. 存在实数a，b，使1，a， ，b，4 成等比数列 D. 若等比数列 的前n 项和为 ，则 ， ， 成等比数列 【答案】BD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若G 是四面体OABC 的底面三角形ABC 的重心，则 B. 在四面体OABC 中，若 ，则A，B，C，G 四点共面 C. 已知平行六面体 的棱长均为1，且 ，则对角线 的长为 D. 若向量 ，则称（m，n，k）为 在基底 下的坐标．已知向量 在单位正交基 底 下的坐标为（1，2，3），则 在基底 下的坐标为 【答案】ACD 12. 两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲 线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α． 当 时，截口曲线为椭圆；当 时，截口曲线为抛物线；当 时，截口曲线为双曲 线．在长方体 中， ， ，点P 在平面ABCD 内，下列说法正确的 是（ ） A. 若点P 到直线 的距离与点P 到平面 的距离相等，则点P 的轨迹为抛物线 B. 若点P 到直线 的距离与点P 到 的距离之和等于4，则点P 的轨迹为椭圆 C. 若 ，则点P 的轨迹为抛物线 D. 若 ，则点P 的轨迹为双曲线 【答案】BD 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．第16 小题第1 空3 分，第2 空2 分） 13. 已知△ 的三个顶点分别是点A（4，0）， ， ，则△ 的外接圆的方程为___ ___． 【答案】 14. 在棱长为1 的正方体 中，点 到平面 的距离为______． 【答案】 15. 双曲线 的 左、右焦点分别为 ， ．过 作其中一条渐近线的垂线，交双 曲线的右支于点P，若 ，则双曲线的离心率为______． 【答案】 16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数．他们根据小石子所排列的形状把数分成许 多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，…，图（2）可得到四边形数1，4，9，16，…，图（3） 可得到五边形数1，5，12，22，…，图（4）可得到六边形数1，6，15，28，…．进一步可得，六边形数 的通项公式 ______，前n 项和 ______． （參考公式： ） 【答案】 ①. ； ②. . 四、解答题（本题共5 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某机构的招聘面试有3 道难度相当的问题，假设小明答对每个问题的概率都是0.6．按照规则，每位面 试者共有3 次机会，一旦答对所抽到的问题，则面试通过，否则继续抽取下一个问题，依次类推，直到第 3 个问题为止．用G 表示答对问题，用B 表示答错问题，假设问题是否答对相互之间不影响． （1）请写出这个面试的样本空间； （2）求小明不能通过面试的概率． 【答案】（1） ； （2） . 18. 已知圆C 的圆心在直线 上，且与x 轴相交于点M（2，0）和N（4，0）． （1）求圆C 的标准方程； （2）若过点 的直线l 与圆C 交于A，B 两点，且 ，试问符合要求的直线有几条？并 求出相应直线l 的方程． 【答案】（1） ; （2）有2 条，分别为 、 。 19. 在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形， ， ，侧面 底面ABCD， ， ． （1）若PB 的中点为E，求证： 平面PCD； （2）若PB 与底面ABCD 所成的角为60°，求平面PCD 与平面PBD 的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） . 20. 已知数列 的首项 ，且满足 ． （1）证明：数列 为等比数列，并求出数列的 通项公式； （2）设 ， ，求数列 的前n 项和 ． 【答案】（1） （2） 21. 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的左、右焦点分别为 ， ，点P 在椭圆上． （1）求△ 面积的最大值； （2）设过点P 的 椭圆的切线方程为 ，试用k，m 表示点P 的坐标； （3）设点P 坐标为 ，求证：一条光线从点 发出到达P 点，经过椭圆反射后，反射光线必经过 点 ． 【答案】（1） ； （2） ； （3）证明见解析.