119 类比推理

类比推理 【规律总结】 类比推理亦称“类推”。推理的一种形式。根据两个对象在某些属性上相同或相似， 通过比较而推断出它们在其他属性上也相同的推理过程。它是从观察个别现象开始的，因 而近似归纳推理。但它又不是由特殊到一般，而是由特殊到特殊，因而又不同于归纳推理。 分完全类推和不完全类推两种形式。完全类推是两个或两类事物在进行比较的方面完全相 同时的类推；不完全类推是两个或两类事物在进行比较的方面不完全相同时的类推。 【典例分析】 例1、现有一列数： ， ， ， ，…， ， ( 为正整数)，规定 ， ， ，…， ( )，若 ，则 的值为( )． 2016 B 2017 2018 D 2019 【答】B 【解析】 【分析】 本题主要考查的是数式规律问题的有关知识，根据条件 ， ， ， …， ( )，求出a2=a1+4=6=2×3，a3=a2+6=12=3×4， a4=a3+8=20=4×5，由此得出an=n(n+1)，得出1 an = 1 n (n+1)=1 n−1 n+1，然后再将 进行变形求解即可． 【解答】 解：∵ ， ， ，…， ( )， ∴a2=a1+4=6=2×3， a3=a2+6=12=3×4， a4=a3+8=20=4×5， ··· an=n(n+1)， ∴1 an = 1 n (n+1)=1 n−1 n+1， ∵ ， ∴1 2−1 3 +⋯+ 1 n−1 n+1= 504 1009 ∴1 2−1 n+1= 504 1009， 解得：n=2017． 故选B． 例2、如图，是一根生活中常用的塑料软尺，软尺一面的刻度表示市寸，另一面的刻度 表示厘米．小颖观察皮尺发现，两个刻度x(市寸)与(厘米)之间的关系如下表，根据上面数 据写出y 与x 的函数关系式为________.(0≤x ≤30)： x/¿市寸 1.5 3 4.5 6 y/¿厘米 5 10 15 20 【答】y=10 3 x 【解析】 【分析】 本题考查了函数关系式，根据表格数据判断出y 与x 成正比例关系是解题的关键．根据数 据的倍数关系可知y 与x 成正比例函数关系，设y=kx(k ≠0)，代入一组数据计算即可得 解． 【解答】 解：设y=kx(k ≠0)， 则1.5k=5， 解得k=10 3 ， 所以，y=10 3 x(0≤x≤30)． 故答为y=10 3 x． 例3、阅读并解决问题：已知a 2+3a+1=0，求a=1 a的值．因为a≠0，将a 2+3a+1=0 两边同时除以，得a+3+ 1 a=0，即a+ 1 a=−3.请解决以下问题． (1)已知x 2+3 x+1=0，求x 2+ 1 x 2的值． (2)已知 y y 2+ y+1 =1 5，求y 8+ y 4+1 y 4 的值． (3)已知z+ 1 z =2，求代数式z+z 2+z 4+z 8+⋯⋯+z 1024+ 1 z + 1 z 2 + 1 z 4 + 1 z 8 ⋯⋯+ 1 z 1024 的 值． 【答】解(1)由x 2+3 x+1=0得x+ 1 x =−3， ∴x 2+ 1 x 2=( x+ 1 x ) 2 −2=(−3) 2−2=7； (2)∵ y y 2+ y+1 =1 5， ∴y+ 1 y =4 那么y 2+ 1 y 2=( y+ 1 y ) 2−2=14， y 4+ 1 y 4=( y 2+ 1 y 2 ) 2 −2=14 2−2=194 ∵y 8+ y 4+1 y 4 = y 4+ 1 y 4 +1=194+1=195； (3)方法一：由z+ 1 z =2得，z 2+ 1 z 2=( z+ 1 z ) 2 −2=2，z 4+ 1 z 4=( z 2+ 1 z 2 ) 2 −2=2， z 8+ 1 z 8=( x 4+ 1 z 4 ) 2 −2=2⋯⋯∴z+z 2+z 4+z 8+⋯⋯+z 1024+ 1 z + 1 z 2 + 1 z 4 + 1 z 8 ⋯⋯+ 1 z 1024 ¿2×11=22； 方法二：由z+ 1 z =2两边同时乘以z 得， z 2+1=2 z即 ( z−1) 2=0那 么 z=1∴z+z 2+z 4+z 8+⋯⋯+z 1024+ 1 z + 1 z 2 + 1 z 4 + 1 z 8 ⋯⋯+ 1 z 1024=1×22=22． 【解析】本题考查了分式的化简求值，通过变形换元去求解较为简单． (1)此题可以仿照例题中求得x+ 1 x =−3，再利用完全平方公式进行变形计算； (2)此题可以仿照(1)先求1 y + y，然后求得y 2+ 1 y 2，再求得y 4+ 1 y 4 ，同时化简分式 y 8+ y 4+1 y 4 ，代入即可； (3)有两种方法可解：一种是由z+ 1 z =2得，z 2+ 1 z 2=2，...，代入即可； 二种是由z+ 1 z =2两边同时乘以z 得：z=1，代入即可． 【好题演练】 一、选择题 1. 在求1+6+6 2+6 3+6 4+6 5+6 6+6 7+6 8+6 9的值时，小林发现：从第二个加数起每一个 加数都是前一个加数的6 倍，于是她设：S=1+6 2+6 3+6 4+6 5+6 6+6 7+6 8+6 9①然 后在①式的两边都乘以6，得：6 S=6+6 2+6 3+6 4+6 5+6 6+6 7+6 8+6 9+6 10②， ②−①得6 S−S=6 10−1，即5 S=6 10−1，所以S=6 10−1 5 得出答后，爱动脑筋的小 林想：如果把“6”换成字母“”(a≠0且a≠1)能否求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018的 值？你的答是() a 2018−1 a−1 B a 2019−1 a−1 a 2018−1 a D a 2019−1 【答】B 【解析】解：设S=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018①，则 aS=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018+a 20219②， ②−①得，aS−S=a 2019−1， ∴S=a 2019−1 a−1 ． 故选：B． 根据设S=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018，求出S 的代数式，再求aS−S，进而求得S 便可． 此题是一个数字规律探究题，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题 更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．(1) 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．(2)利用方程解 决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设 出其他未知数，然后列方程． 2. 定义一种关于整数的“F”运算：(1)当时奇数时，结果为3n+5；(2)当是偶数时，结 果是n 2 k (其中k 是使n 2 k 是奇数的正整数)，并且运算重复进行.例如：取n=58，第一次 经F 运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是 74 …；若n=9，则第2018 次运算结果是() 1 B 2 7 D 8 【答】 【解析】 【分析】 本题主要考查学生分析问题能力，通过计算找出结果的规律，从而得解， 找出这道题的变化规律即可解答． 【解答】 解：因为定义一种关于整数的“F”运算： (1)当时奇数时，结果为3n+5； (2)当是偶数时，结果是n 2 k (其中k 是使n 2 k 是奇数的正整数)，并且运算重复进行． 所以 当n=9时， 第一次经F 运算结果为32， 第二次经F 运算结果为1， 接着得到第三次的结果为8，第四次的结果为1，…… 故以后出现1、8 循环，偶数次是1，奇数次是8， 所以第2018 次运算结果是1． 故选． 3. 在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小 九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时， 左手伸出3 根手指，右手伸出4 根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的 积为2，则8×9=10×7+2=72.那么在计算6×8时，左、右手伸出的手指数应该分 别为( ) 1，3 B 3，1 1，4 D 4，1 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了数字类的规律和有理数的混合运算，认真理解题意，明确规律；弄清每个手指 伸出的数是本题的关键，注意列式的原则. 先分析8×9，左手伸出：8−5=3，3 根手指； 右手伸出：9−5=4，4 根手指；同理6×8，左手伸出：6−5=1，1 根手指；右手伸出： 8−5=3，3 根手指，由此可得答． 【解答】 解：左手：6−5=1，右手：8−5=3； 故选． 4. 平面内，与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点所组 成的图形叫抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫 做抛物线的准线．如：抛物线x 2=2 py，p 为常数，对称轴 为y 轴，焦点在y 轴上，焦点为F (0,0.5 p)，准线为 y=−0.5 p；则抛物线y=−0.25( x−1) 2 的焦点F 的坐标与准线l 的方程是( ) (0,−2)，y=2 B (1,−0.25)，y=0.25 (0,0.25)，y=−2 D (1,−1)，y=1 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了类比推理的应用，理解题在所给的定义是解题关键.根据焦点与准线方程的定义 得到答． 【解答】 解：根据焦点与准线方程的定义可知：则抛物线y=−0.25( x−1) 2 的焦点F 的坐标是 (1,−1)； 准线l 的方程是：y=1． 故选D． 5. 我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将0.3 . =x，则x=0.3+ 1 10 x，解 得x=1 3，即0.3 . =1 3，仿此方法，将0.4 ˙ 5 ˙ 化成分数是() 3 11 B 9 11 5 9 D 5 11 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了无限循环小数转化为分数的运用.熟练掌握相关规律是解题的关键． 设x=0.4 ˙ 5 ˙ 则x=0.4545…①，根据等式性质得：100 x=45.4545…②，再由②−①得 方程100 x−x=45，解方程即可． 【解答】 解：设x=0.4 ˙ 5 ˙ ，则x=0.4545…①， 则：100 x=45.4545…②， 由②−①得：100 x−x=45.4545…−0.4545…， 即：100 x−x=45，99 x=45 解方程得：x= 45 99= 5 11． 故选：D． 6. 若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6， 4!=4×3×2×1，⋯，则50! 48!的值为() 50 48 B 49! 2450 D 2! 【答】 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的相关知识，能够根据题设条件灵活解题是解题的关 键． 根据题目条件分别得出50！和48！的值，然后进行约分，最后进行乘法运算． 【解答】解：50! 48!= 50×49×48×⋯×2×1 48×47×46×⋯×2×1=50×49=2450， 故选． 二、填空题 7. 有下列算式： ¿2， ¿3， ¿ ¿4， ¿5，请同学们根据此规律猜想： ¿____． 【答】2017 【解析】 【分析】 本题考查数式规律问题，寻找规律是解答的关键.根据题中的信息即可得到答． 【解答】 解：根据题意，得：❑ √2016×2018+1= ❑ √2017 2=2017， 故答为2017． 8. 一列方程如下排列： x 4 + x−1 2 =1的解是x=2， x 6 + x−2 2 =1的解是x=3， x 8 + x−3 2 =1的解是x=4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x=2019的方程：___________________________ _____． 【答】 x 4038 + x−2018 2 =1 【解析】 【分析】 本题考查了数字变化规律，一元一次方程的解.根据已知条件找出规律“第一个数的分子是 x，分母是解的2 倍，第二个数的分子是x 减比解小1 的数，分母是2”即可得到答． 【解答】 解：∵x 4 + x−1 2 =1的解是x=2， x 6 + x−2 2 =1的解是x=3， x 8 + x−3 2 =1的解是x=4， 可得第一个数的分子是x，分母是解的2 倍，第二个数的分子是x 减比解小1 的数，分母是 2， ∴解是x=2019的方程为 x 4038 + x−2018 2 =1． 故答为 x 4038 + x−2018 2 =1． 9. 观察下列各式：❑ √2−2 5=2×❑ √ 2 5 ，❑ √3−3 10=3×❑ √ 3 10 ，❑ √4−4 17 =4×❑ √ 4 17 ，…请 用一个含自然数n(n>1)的式子写出你发现的规律：_____________________． 【答】❑ √ n− n n 2+1 =n×❑ √ n n 2+1 【解析】略 10. 对于实数p，q，我们用符号min{p,q}表示p，q 两数中较小的数，如min{1,2}=1， 因此min{2,❑ √3}=¿____；若min{( x−1) 2, x 2}=1，则x=¿ ． 【答】❑ √3；2 或−1 【解析】略． 11. 对于x>0，规定f (x )= x x+1，例如f (2)= 2 2+1=2 3，f ( 1 2)= 1 2 1 2 +1 =1 3，那么 f (2019)+f (2018)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f ( 1 3)+f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2018)+(2019)=¿____ _______； 【答】2018.5 【解析】 【分析】 此题考查有理数的混合运算，掌握规定的运算方法，运算中找出规律，利用规律，解决问 题．由规定的计算可知f ( x)+f ( 1 x )=1，由此分组求得答即可． 【解答】 解：∵f (2)= 2 2+1=2 3，f ( 1 2 )= 1 2 1 2 +1 =1 3，f (2)+f ( 1 2 )=1， ∴f (3)= 3 1+3= 3 4 ，f ( 1 3 )= 1 3 1+ 1 3 = 1 4 ，f (4)= 4 5 ，f ( 1 4 )=1 5，… ∴f ( x)+f ( 1 x )=1， ∴f ( 1 2019 )+f ( 1 2018 )+f ( 1 2017 )+⋯+f ( 1 2 )+f (1)+f (2)+⋯+f (2019) ¿ f ( 1 2019 )+f (2019)+f ( 1 2018 )+f (2018)+f ( 1 2017 )+f (2017)+…+f ( 1 3 )+f (3)+f ( 1 2 )+f (2)+f (1) ¿2018+ 1 2 ¿2018.5． 故答为2018.5． 12. 观察规律并填空： 1−1 2 2=1 2 × 3 2= 3 4 ; (1−1 2 2 )(1−1 3 2 )=1 2 × 3 2 × 2 3 × 4 3 =1 2 × 4 3 =2 3 ; (1−1 2 2 )(1−1 3 2 )(1−1 4 2 )=1 2 × 3 2 × 2 3 × 4 3 × 3 4 × 5 4 =1 2 × 5 4 =5 8 ; (1−1 2 2 )(1−1 3 2 )(1−1 4 2 )(1−1 5 2 )=1 2 × 3 2 × 2 3 × 4 3 × 3 4 × 5 4 × 4 5 × 6 5=1 2 × 6 5=3 5 ;… (1−1 2 2 )(1−1 3 2 )(1−1 4 2 )(1−1 5 2 )⋯(1−1 n 2 )=¿ .(用含的式子表示，是正 整数，且n≥2) 【答】n+1 2n 【解析】 【分析】 此题考查有理数的混合运算与算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解 决问题．由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒 数，乘积为1，只剩下两端的(1−1 2 )和(1+ 1 n )相乘得出结果． 【解答】 解 ： 原 式 ¿(1−1 2 )(1+ 1 2 )(1−1 3 )(1+ 1 3 )(1−1 4 )(1+ 1 4 )(1−1 5 )(1+ 1 5 )……(1−1 n )(1+ 1 n )=1 2 × 3 2 × 2 3 × 4 3 × 3 4 × 5 4 × 故答为：n+1 2n ． 三、解答题 13. 阅读下面材料，再回答问题． 一般地，如果函数y=f ( x)对于自变量取值范围内的任意x，都有f (−x)=f ( x).那么 y=f ( x)就叫偶函数．如果函数y=f ( x)对于自变量取值范围内的任意x，都有 f (−x)=−f ( x).那么y=f ( x)就叫奇函数． 例如：f ( x)=x 4 当x 取任意实数时，f (−x)=(−x) 4=x 4∴f (−x)=f ( x)∴f ( x)=x 4是偶函数． 又如：f ( x)=2 x 3−x． 当 x 取 任 意 实 数 时 ， ∵f (−x)=2(−x) 3−(−x)=−2 x 3+x=−(2 x 3−x)∴f (−x)=−f ( x)∴f ( x)=2 x 3−x 是奇函数． 问 题 1 ： 下 列 函 数 中 ： ①y=x 2+1 ②y= 5 x 3 ③y=❑ √x+1④y=x+ 1 x ⑤y=x −2−2∨x∨¿ 是奇函数的有______ ；是偶函数的有______ (填序号) 问题2：仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数(选择其中之一) 【答】解：问题1：②④；①⑤； 问题2：证明：④∵当x≠0时， f (−x)=−x+ 1 −x =−( x+ 1 x )=−f ( x)， ∴y=x+ 1 x 是奇函数， ⑤∵f (−x)=