浙江省杭州八校联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学答案(1)

杭州八校联盟2021 学年第一学期期中联考 高二年级数学学科参考答案 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A A B C A 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 题号 9 10 11 12 答案 ABD AB BD AD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13. 25 14. -4 15. (0,1) 16. 3 8 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本题10 分） 解：（1）(正，正，正），(正，正，反），(正，反，正），(反，正，正）， (正，反，反），(反，正，反），(反，反，正），(反，反，反）.…………5 分 （注：写错一个或少写一个扣1 分） (2）总得分为4 分的情形为“一正两反”，包含3 个样本点.…………7 分 所以总得分为4 分的概率为8 3 .…………10 分 18.（本题12 分） 解：（1）由频率分布直方图得 众数为数学竞赛成绩在[70,80)的小矩形的高，即众数为 75 2 80 70 = + .…………4 分 数学竞赛成绩在[40,70)的频率为：(0.004+0.006+0.002)*10=0.3 数学竞赛成绩在[70,80)的频率为：0.03*10=0.3 从而中位数为： 3 230 10 3 . 0 3 . 0 5 . 0 70 =  − + .…………8 分 （2）这50 名学生的平均成绩为： 2 . 76 10 95 016 . 0 10 85 024 . 0 10 75 03 . 0 10 65 02 . 0 10 55 006 . 0 10 45 004 . 0 =   +   +   +   +   +   = x .…………12 分 19.（本题12 分）解：（1）由截距式方程得直线AC 的方程为： 1 3 4 = + y x 即 0 12 4 3 = − + y x .…4 分 （2） 3 2 6 0 7 3 = − − = BC k ，所以BC 上的高所在直线的斜率为 2 3 − .…………6 分 BC 上的高所在直线的方程为 ) 4 ( 2 3 0 − − = − x y 即 6 2 3 + − = x y .…………8 分 (3) 设 ) , ( 0 0 y x D ，.…………9 分 (4) 由AD//BC,AB//CD 得        − − = − − − − = − − 4 6 0 7 0 3 0 6 3 7 4 0 0 0 0 0 x y x y ，.…………11 分 解得 4 , 2 0 0 − = − = y x ，.…………12 分 从而D 的坐标为(-2,-4) 20.（本题12 分） (1) b OB EF 2 1 2 1 = = …………2 分 a c OA OC AC FG 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − = − = = …………4 分 证明：（2）证明：设四面体的棱长为a 则 2 2 a c b c a b a =  =  =  …………5 分 0 ) ( 4 1 ) ( 2 1 2 1 =  −  = −  =   b a c b a c b FG EF …………8 分 故 FG EF ⊥ ； （2） ) ( 2 1 a c b OE OG EG − + = − = …………9 分 ) ( 2 1 ) ( 2 1 a c OA OC OE OH EH − = − = − = ， b EF 2 1 = EH EF EG + =  …………12 分 从而E，F，G，H 四点共面. 21.（本题12 分） 20.解：（1）记事件 Ai = “甲第i 轮猜对”，事件 Bi = “乙第i 轮猜对”， (i=1,2) P(Ai) = 3 4 , P(Bi) = 2 3 ， 事件 C = “‘星队’在第一轮活动中只猜对1 个成语”， 事件 D = “‘星队’在两轮活动中至少猜对3 个成语”， .…………2 分 由题意得， C = A1B1 ̅̅̅ + A1 ̅̅̅B1 ， .…………3 分 由事件的独立性与互斥性可得： P(C) = P(A1B1 ̅̅̅) + P(A1 ̅̅̅B1) = P(A1)P(B1 ̅̅̅) + P(A1 ̅̅̅)P(B1) = 3 4 ⋅ 1 3 + 1 4 ⋅ 2 3 = 5 12 …5 分 ∴“星队”在第一轮活动中只猜对1 个成语的概率为 5 12 ； .…………6 分 （2）由题意得 D = A1B1A2B2 + A1 ̅̅̅B1A2B2 + A1B1 ̅̅̅A2B2 + A1B1A2 ̅ ̅ ̅ ̅B2 + A1B1A2B2 ̅̅̅ ………8 分 由事件的独立性与互斥性可得：P(D) = P(A1B1A2B2) + P(A1 ̅̅̅B1A2B2) + P(A1B1 ̅̅̅A2B2) + P(A1B1A2 ̅ ̅ ̅ ̅B2) + P(A1B1A2B2 ̅̅̅) .…………8 分 = P(A1)P(B1)P(A2)P(B2) + P(A1 ̅̅̅)P(B1)P(A2)P(B2) + P(A1)P(B1 ̅̅̅)P(A2)P(B2) + P(A1)P(B1)P(A2 ̅ ̅ ̅ ̅)P(B2) + P(A1)P(B1)P(A2)P(B2 ̅̅̅) ， …………10 分 = 3 4 ⋅ 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 2 3 + 2( 1 4 ⋅ 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 2 3 + 3 4 ⋅ 1 3 ⋅ 3 4 ⋅ 2 3) = 2 3 ，.…………11 分 所以“星队”在两轮活动中至少猜对3 个成语的概率为 2 3 . .…………12 分 22.（本题12 分） 解：作 E BC AE 于点 ⊥ .以A 为原点，分别以AE,AD,AP 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图, 则 ) 6 , 3 , 0 ( ), 6 , 2 3 , 2 3 ( ), 6 2 , 0 , 0 ( ), 0 , 3 2 , 0 ( ), 0 , 3 , 3 ( ), 0 , 3 , 3 ( ), 0 , 0 , 0 ( N M P D C B A − − .………2 分 （1） ), 6 , 3 , 0 ( ), 6 , 2 3 , 2 3 ( = − = AN AM ) 6 , 2 3 , 2 3 ( − − = PM 平面AMN 的法向量为 ), 1 , 2 , 6 ( − = m 设直线PM 与平面AMN 成角为，则 9 6 2 | || | | | sin =  = m PM m PM  .………5 分 （1） ) 0 , 2 3 3 , 2 3 ( ), 0 , 3 2 , 0 ( ), 6 , 3 , 0 ( ), 6 , 2 3 , 2 3 ( − = = = − = MN AD AN AM 平面AMN 的法向量为 ), 1 , 2 , 6 ( − = m 点D 到平面AMN 的距离为 3 6 2 | | | | =  m m AD ， 3 | | | | | | = = = MN AN AM 2 2 3 4 3 9 3 6 2 3 1 3 1 =   =   =  − AMN AMN D S d V ………8 分 （2）令 PC PQ  = ，则 )) 1 ( 6 2 , 3 , 3 (    − Q ) 6 2 6 ), 1 ( 3 , 3 (    − − = NQ ， ) 0 , 2 3 3 , 2 3 (− = MN 平面QMN 的法向量为 ), 1 4 ), 1 2 ( 2 ), 1 2 ( 6 ( − − − =    u 平面AMN 的法向量为 ), 1 , 2 , 6 ( − = m 由已知 33 33 | , cos | =   u m 得 33 33 | || | | | =  u m u m ，解得 3 2 =  ………12 分 故存在这样的点Q 使得原结论成立.