江苏省淮安市淮阴区2022-2023学年高一下学期期中调研测试数学试题

（北京）股份有限公司 2022~2023 学年度第二学期期中调研测试 高一数学试题 考试时间120 分钟 满分150 分 2023.04 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4 页，包括单项选择题（第1 题—第8 题）、多项选择题（第9 题—第12 题）、填空题（第13 题—第16 题）、解答题（第17 题—第22 题）四部分． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置上． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，必须用0.5 毫米黑色墨水的 签字笔将答案写在答题卡的指定位置上，写在本试卷上无效． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗．考试结束后，请将试卷 与答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ） A． B． C． D．0 2．一物体在力 的作用下，由点 移动到点 ，若 ，则 对物体所做的功为（ ） （北京）股份有限公司 A． B．23 C． D．19 3． （ ） A． B． C． D． 4．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．在 中，若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 6．在 中，A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知 ， ， ，则 的面 积为（ ） A． B． C． D． 7．若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 8．如图，AB 是单位圆O 的直径，点C,D 是半圈弧AB 上的两个三等分点，则 （ ） A．1 B． C． D． 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分．每小题给出的四个选项中，有多 （北京）股份有限公司 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．关于函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 的最大值为2 B． 的最小正周期为 C． 是 的一个的零点 D． 是 的一条对称轴 10．已知 ， ， 是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ， ，则 D．若 ，则 11．已知 ， ， 分别是 两边上的动点，若 ，则 面积的可能取值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．在 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则下列结论正确 的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分． 13．与向量 方向相反的单位向量的坐标为________． 14．如图，在四边形ABCD 中， ， ， ，且 ， ，则实数 __________． 15．已知 ， 是方程 的两根，则 __________． （北京）股份有限公司 16． 中，点 是边BC 的中点， ， ，则 的最大值为__________． 四、解答题：本大题共6 小题，共计70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 已知 ， ．求： （1） 的值； （2） 的值． 18．（本小题满分12 分） 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即：在 中，A，B，C 的对边分别是a，b，c，则 ， ， ． （1）用余弦定理证明： ； （2）用正弦定理证明： ； （3）用向量的方法证明： ． 19．（本小题满分12 分） 在锐角 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 ．求： （1）角 的大小； （2） 的取值范围． 20．（本小题满分12 分） 已知在直角梯形ABCD 中， ， ，若点 在线段AC 上． （1）若 ，求 ； （2）求 的取值范围． 21．（本小题满分12 分） （北京）股份有限公司 已知 ， ， ，直线经过A，B 两点，我们把向量 以及与它平行的非零向量都称为 直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，则向量 在直线的法向量上的投影向量的 模就是点 到直线的距离． （1）求直线的一个法向量； （2）运用上述方法，求点 到直线的距离． 22．（本小题满分12 分） 如图， 中， ， 的平分线AD 交BC 于 ． （1）若 ，求 的余弦值； （2）若 ，求AD 的取值范围． 参考答案 一、1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 7．A 8．C 二、9．BCD 10．BC 11．AB 12．AD 三、13． 14． 15． 16． 四、 17．解：（1）方法一：因为 ，所以 ， 又 ， （北京）股份有限公司 所以 ． 2 分 所以 ． 5 分 方法二：由 得， ， 即 ．① 2 分 又 ．② 由①②解得 或 ． 因为 ，所以 ． 5 分 （2）因为 ， ， 所以 ． 所以 ， 7 分 ． （北京）股份有限公司 所以 ． 10 分 18．解：（1）证明：根据余弦定理，左边 2 分 右边 所以 ． 4 分 （2）证明： 中有 ，则 6 分 所以 由正弦定理： 得 ． 8 分 （3）证明： 中有 所以 10 分 所以 即 12 分 （其它写法参照给分） 19．解：（1）由 结合正弦定理可得： ，∴ 2 分 为锐角三角形，故 ． 4 分 （2）由（1）得 （北京）股份有限公司 6 分 ． 8 分 由 可得： ， ， 10 分 则 ， ． 即 的取值范围是 ． 12 分 20．解：以 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 轴， 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ， ， ， ，设 ，则 ． 2 分 （1） ，则 ，所以 ， 所以 ． 5 分 （2）由题知： ， ． 7 分 则 ， （北京）股份有限公司 ∴ ， ． 10 分 当 时， 取得最大值为 ， 当 时， 取得最小值为 ， ∴ ． 12 分 21．解：（1）设直线的法向量 ． 由题知直线的一个方向向量为 ． 2 分 由直线的法向量 与直线垂直，则 ． 所以 ，取 ， 则直线的一个法向量 ． 4 分 （满足 即可） （2）向量 在法向量 上的投影向量 ． 6 分 所以 ． 8 分 又 ， ． 10 分 所以 ． 则点 到直线的距离为 ． 12 分 22．解：设A，B，C 的对边分别是a，b，c 因为AD 是 的平分线，所以 到AB，AC 的距离相等， （北京）股份有限公司 又 ，所以 ，所以 ． 2 分 （1）由题意 ， ． 中， （1） 中， （2） 联立（1）（2）得 ． 5 分 又 ，则 ． 所以 ． 7 分 （2）因为 ， ， ． 所以 9 分 所以 ． 所以 ． 因为 ，所以 ． 所以 ． 12 分 （北京）股份有限公司