安徽省部分学校2021-2022学年高二上学期10月第一次阶段性质量检测联考 数学(1)

2021－2022 学年高二上学期阶段性质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150 分，考试时间120 分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A 版必修第二册(30%)，选择性必修第一册第一章，第二章2.1～ 2.3(70%)。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若倾斜角为 的直线过A(2，a)，B(1， )两点，则实数a＝ A.3 B.2 C. D. 2.若平面向量m＝(2，0)，m－n＝(1，－ )，则m·n＝ A.3＋ B.2 C.1－ D.2 3.图1、图2 分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图。根据统计图，下列说法正 确的是 A.甲户的家庭全年各项支出比乙户的家庭全年各项支出高 B.乙户的教育支出占全年总支出的百分比比甲户的教育支出占全年总支出的百分比大 C.甲户的食品支出比乙户的食品支出高 D.甲户的其他支出占全年总支出的百分比比乙户的其他支出占全年总支出的百分比小 4.在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若 ＝a， ＝b， ＝c，点P 为A1C1与B1D1的 交点，则 ＝ A. B. C. D. 5.若M(2，7)，N(6，3)，则线段MN 的中垂线的方程为 A.x－y＋1＝0 B.x＋y－9＝0 C.x－y－1＝0 D.x＋y＋1＝0 6.已知直线l1：x－ay＋2＝0 与直线l2：(a＋2)x＋(a－4)y＋a＝0 平行，则a 的值是 A.－4 B.1 C.－4 或1 D.4 或－1 7.已知平面α 的一个法向量是m＝(－2，－1，2)，点A(3，4，－1)是平面α 内的一点，则 点P(1，2，－1)到平面α 的距离是 A.1 B. C.2 D.2 8.已知直线l：(2k－1)x＋(2k＋3)y－k＝0，则当k 变化时，直线l 恒过定点 A.( ， ) B.(－ ， ) C.( ，－ ) D.(－ ，－ ) 9.已知点A(－3，4)，点B(10，5)，直线l 过点O(0，0)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率 的取值范围为 A.[－ ， ] B.(－∞， ]∪[ ，＋∞) C.[ ，＋∞) D.(－∞，－ ] 10.已知a，b，c 是空间向量的一组基底，a，b＋c，b－c 是空间向量的另一组基底，若向 量p 在基底a，b，c 下的坐标为(2，3，－1)，则向量p 在基底a，b＋c，b－c 下的坐标是 A.(2，－1，－2) B.(2，－1，2) C.(2，1，－2) D.(2，1，2) 11.已知在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，点E 为AB 的中点，点F 为CD 的中点，将菱形 ABCD 沿AC 翻折，使平面ABC⊥平面ACD，则异面直线EF 和BD 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 12.数学家欧拉在1765 年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人 称这条直线为欧拉线。已知△ABC 的顶点A(6，0)，B(0，2)，若其欧拉线的方程为x＋y－4 ＝0，则符合条件的顶点C 的个数为 A.2 B.3 C.1 D.4 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，若点A 与B 关于实轴对称，且2z1＋z2 ＝3－2i，则z2＝ 。 14.在新冠肺炎防控期间，从国外归来的人，必须进行必要的隔离与核酸检测，甲、乙、丙 3 人从国外某高风险地区归来，3 人核酸检测是阳性的概率分别为： ， ， ，且各自 检测是否为阳性相互独立，则这3 人中恰好有2 人核酸检测是阳性的概率是 。 15.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，点P 是线段AC1上一点，记λ＝ ， 当∠BPD 为钝角时，实数λ 的取值范围是 。 16.如图，在矩形ABCD 中，AD＝2AB＝4，E 是AD 的中点，将△ABE，△CDE 分别沿 BE，CE 折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为 。 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10 分) 在①sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，②sin(B＋ )＝cosB＋ ，③c·cosA＋a·cosC＝ 2b·cosB 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答。 问题：在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinC，b＝2，且 。求 △ABC 的面积。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 18.(本小题满分12 分) 已知直线x－2y＋3＝0 与直线3x＋y＋2＝0 交于点P。 (1)求过点P 且平行于直线3x＋4y－5＝0 的直线l1的方程，并求出两平行线之间的距离； (直线方程写成一般式) (2)求过点P 且垂直于直线4x＋3y＋2＝0 的直线l2的方程；(直线方程写成一般式) (3)求过点P 并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l3的方程。(直线方程写成一般式) 19.(本小题满分12 分) 某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始， 凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴。某调研机构对 已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频 率分布直方图如图所示。 (1)求实数a 的值； (2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数(同一组数据用 该区间的中点值作代表)和中位数；(中位数精确到0.01) (3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在[3，5)间用分层抽样的方法抽取6 人，再从这6 人中随机抽取2 人进行调查，求抽到2 人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4)间的概率。 20.(本小题满分12 分) 已知异面直线a，b 及直线l，若l⊥a，l⊥b，且l∩a＝A，l∩b＝B，则称线段AB 的长为异 面直线a，b 间的距离。 (1)已知两条异面直线a，b 所成的角为θ，A，C∈a，B，D∈b，AB⊥a，AB⊥b，AC＝m， BD＝n，CD＝l。请利用向量知识证明：两异面直线间距离d＝ ； (2)利用(1)的结论解决如下问题：在圆柱O1O2中，底面半径为2，A，B 分别是上、下底面 圆周上的点(如图所示)，O1A 与O2B 所成的角为60°，AB＝2 ，求圆柱O1O2的体积。 21.(本小题满分12 分) 如图，AC 是圆O 的直径，B 是圆O 上异于A，C 的一点，PA⊥平面ABC，点E 在棱PB 上， 且AE⊥PB，∠PCA＝45°，AC＝4。 (1)求证：AE⊥PC； (2)当三棱锥P－ABC 的体积最大时，求平面EAC 和平面ABC 夹角的大小。 22.(本小题满分12 分) 如图1，四边形ABCD 是平行四边形，AB＝2AD＝2，∠ADC＝60°，E 是CD 的中点，将平 行四边形ABCD 沿着AE 翻折，使平面ADE⊥平面ABCE(如图2)，点G 是△ADE 的重心， 连结AC，BE 交于点F。 (1)求证：GF//平面CDE； (2)求直线GF 与平面BCD 所成角的正弦值。