2023-2024学年四川省绵阳南山中学高二上学期上月入学考试数学试卷

第1页，共5页 （北京）股份有限公司 2023 年8 月 绵阳南山中学高2022 级高二上入学考试试题 数 学 命题人：谢耀兵 审题人：鲁洁玉 一、选择题(本大题共8 个小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.) 1．若  2 i 1 z  ，则z ( ) A．2 i  B．2 i  C．2 i  D．2 i  2．若平面和直线a ，b 满足a A   ，b   ，则a 与b 的位置关系一定是( ) A．相交 B．平行 C．垂直或异面 D．相交或异面 3．某校举行演讲比赛，9 位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7 个有效评分，则这7 个有效评分与9 个 原始评分相比，不变的数字特征是( ) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 4．下列函数中，既是0, 2       上的增函数，又是以为周期的偶函数的是( ) A． tan y x  B． cos2 y x  C． sin 2 y x  D． in 1 s 2 y x  5．正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则该四棱台的体积为( ) A．28 7 3 B．28 7 C．56 3 D．56 6．已知函数   sin 0, 0, 2 y A x m A                  的最大值为4，最小值为0，且该函数 图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2 ，直线 6 x   是该函数图象的一条对称轴，则该 函数的解析式是( ) A． 4sin 6 y x          B． 2sin 2 2 6 y x           C． 2si 2 3 n 2 y x           D． 2sin 2 3 y x           7．平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足 2 BN NC     ，若AB AM AN          ， 第2页，共5页 则   的值是( ) A．4 B．2 C．1 4 D．1 2 8．已知三棱锥  P ABC 的顶点都在球O的球面上， , 2 2, AB AC BC   PB 平面ABC ，若球O的体积为36π ，则该三棱锥的体积的最大值是( ) A．4 7 3 B．5 C．8 7 3 D．8 3 二、多项选择题(每小题5 分，共4 小题，共20 分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.) 9．已知复数 1 z ， 2 z ，则下列结论正确的是( ) A．若 1 2  z z ，则 1 2  z z B．若 1 z 和 2 z 互为共轭复数，则 1 2  z z C．若 1 2 0 z z   ，则 1 2 z z  D． 2 1 1 1 z z z   10．下列各式中值为1 的是( ) A．2sin15 cos15   B． 3 cos10 sin10 2sin50    C． 2 3 2sin 15 2   D．(1 tan 27 )(1 tan18 ) 1     11．如图(1)，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产 中仍得到使用.如图(2)， 一个筒车按照逆时针方向旋转， 筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离 为d (单位：m)( P 在水下则d 为负数)、d 与时间t (单 位：s)之间的关系是 3 3sin 30 6 2 d t            ，则下列 说法正确的是( ) A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60s B．筒车的轴心O 距离水面的高度为1m C．盛水筒P 出水后至少经过20s 才可以达到最高点 D．   40,50 t  时，盛水筒P 处于向上运动状态 12．如图，正方体ABCD A B C D  的棱长为4，M 是侧面ADD A 上的一个动点(含边界)， 第3页，共5页 （北京）股份有限公司 点P 在棱CC上，且 1 PC，则下列结论正确的有( ) A．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短距离为 73 B．若保持| | 2 5 PM  ，则点M 的运动轨迹长度为4 3  C．保持PM 与BD垂直时，点M 的运动轨迹长度为3 2 D．平面AD P 被正方体ABCD A B C D  截得截面面积为7 33 2 三、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案直接填在答题卡中的横线上.) 13．已知   ,2 a x   ，   2,1 b  r ，若a b   ，则a b   r r ． 14．某校高中三个年级共有学生2800 名．已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到高二年级 学生的可能性是0.32．该校高三年级学生人数比高二年级学生多112 人，现用分层随机抽样 的方法在全校共抽取75 名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为 . 15． 若已知 0  ， 函数  cos 4 f x x           在 , 2 π π       上单调递增， 则的取值范围是 ． 16．某儿童玩具的实物图如图1 所示，从中抽象出的 几何模型如图2 所示，由OA，OB ，OC ，OD 四条 等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平 面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则 sin AOB   . 四．解答题(本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．设 1 e   与 2 e    是两个单位向量，其夹角为60°，且 1 2 1 2 2 , 3 2 a e e b e e                ， (1)求a b   ； (2)求, a b  的夹角． 18．已知函数  2 2cos sin 2 x f x a x b          . (1)当 1 a 时，求  f x 的单调递增区间； 第4页，共5页 (2)当 0 a  ，且   0, x   时，  f x 的值域是  3,4 ，求a ，b 的值. 19．如图，在三棱柱 1 1 1 ABC A B C - 中，侧面 1 1 ABB A ， 1 1 ACC A 均为正方形， 1 AC 交 1 AC 于点O ， 90 BAC   ，D 为BC 中点． (1)求证： 1 C A 平面 1 1 A B C ； (2)求直线 1 1 B C 与平面 1 1 A B C 所成的角． 20．△ABC 的内角、、 A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为 2 3sin a A . (1)求sin sin B C ; (2)若6cos cos 1, 3, B C a   求△ABC 的周长. 21．已知向量   sin ,cos a x x   ，   cos , 3cos b x x   ，函数  3 2 f x a b    ． (1)若 0 1 2 3 x f       ，且 0 π π , 2 2 x        ，求 0 sinx 的值； (2)已知   3,2 A  ，  3,10 B ， 将  f x 的图象向左平移π 12 个单位长度得到函数 g x 的图象． 在  g x 的图象上是否存在一点P ，使得AP BP  ？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标； 若不存在，说明理由． 22．如图，在四面体A BCD  中，ABC  为等边三角形， DBC △ 为以D 为直角顶点的直角三 角形， 60 DCB   o . E ， F ， G ， H 分别是线段AB ，AC ， CD ， DB 上的动点， 且四边形EFGH 为平行四边形. (1)求证：AD ∥平面EFGH ； (2)设多面体BCEFGH 的体积为 1 V ， 多面体ADEFGH 的体 积为 2 V ，若 2  EA EB，求 1 2 V V 的值. 第5页，共5页 （北京）股份有限公司