江西省新余市第四中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题

新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷 试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、单选题（每题5 分，满分60 分） 1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则(CU M )∩N= （ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ， ．若 ，则实数 （ ） A．2 或 B．2 C．0 D． 4．平面上三条直线 ，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数 k 可能的取值情况是（ ） A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值 5．实数 满足不等式组 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．小雨利用几何画板探究函数 图象，在他输入一组 的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数 值满足（ ） A． B． C． D． 7．若存在正数 ，使 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（ ） A． 的最小正周期为 B． 图象的一条对称轴方程为 C． 的单调递增区间为 D． 的单调递减区间为 9．《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指 底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵 中， ， =3，当阳马 的体积为8 时，堑堵 的外 接球表面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 10．已知数列 的首项为 ， ，且 ，若数列 单调递增， 则 的取值范围为（ ） A．1< a < 3 B． C． D． 11. 已知为等腰三角形，顶角A 为，腰长为2，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 12．已知 ， ， ，则 、 、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5 分，满分20 分） 13. 已知函数，若在区间上任意取一个数t，则在上为单调函数的概率为__________． 14．已知函数 （ ），若 的图像在 上与x 轴恰有两个交点，则 的取值范围是___________. 15. 已知a，b 为正实数，且a + b + ab = 3,则2a + b 的最小值为__________. 16．设 是定义在R 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且 是奇函 数.当 时， ， ，其中 .若在区间 上，关 于 的方程 有8 个不同的实数根，则 的取值范围是__________. 三、解答题（第17 题满分10 分，第18~22 题每题满分12 分，共计70 分） 17．已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， 成等比数列， ， ． （1）求 的通项公式和 的前 项和 及 的最小值； （2）求和： b1+b3+b5+⋯+b2n−1 ． 18．在△ABC 中，a、b、c 分别是三个内角A、B、C 的对边,若b=3,c=4,C=2B,且 . (1)求cos B 及a 的值； (2)求 的值. 19．如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是的 中点． 1 证明：平面； 2 求直线和平面所成的角的正弦值． 20．为开学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐 园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力， 后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中， 阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转 率f（20）＝5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读 者占阅读此篇文章的所有读者的5%．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章． 分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率． （1）随机选取一名篇目A 的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率； （2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B 的读者中抽取6 人， 任选其中2 人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率； （3）请依据图中的数据，比较篇目A 和篇目B 的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目 提出你的优化建议． 21．已知点 在圆 ： 上运动，点 ． （1）若点 是线段 的中点，求点 的轨迹 的方程； （2）过原点 且不与 轴重合的直线与曲线 交于 ， 两点， 是否为定值？ 若是定值，求出该值；否则，请说明理由． 22． 对于函数，若存在定义域中的实数a，b 满足且，则称函数为“M 类”函数． 试判断，是否是“M 类”函数，并说明理由； 试判断，是否是“M 类”函数，并说明理由； 若函数，，为“M 类”函数，求n 的最小值． 新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷（B 卷）参考答案 1~12. A D D C D B C D B C B A 10．【详解】当 时， ，因此有 ， 得： ，说明该数列从第2 项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们 的公差都是2，由 可得： ， 因为数列 单调递增，所以有 ， 即 ，解得： ， 故选：C 12．A 【详解】 ， ， 因为 ，所以 ，所以 ，即 ，由 ， ， ，因为 ， 则 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以 . 故选：A. 13． 7 9 14． [ 5 2 ,4) 15．4√2−3 16. . 15. 16.【详解】当 时， 即 又 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 ，如图，函数 与 的图象，要 使 在 上有个实根，只需二者图象有个交点即可. 当 时，函数 与 的图象有 个交点； 当 时， 的图象为恒过点 的直线，只需函数 与 的图象有 个交点.当 与 图象相切时，圆心 到直线 的距离为，即 ，得 ，函数 与 的图象有个交点；当 过点 时， 函数 与 的图象有个交点，此时 ，得 . 综上可知，满足 在 上有个实根的 的取值范围为 . 17．解：（1）设 是公差为 的等差数列， 由 ， ， ， 成等比数列，可得 ， 即 ，解得 ，则 ， ，当 时， 取得最小值﹣9． （2）设 是公比为q 的等比数列， 由 ， ，即 ，可得 ， 由 的奇数项是首项为1，公比为3 的等比数列， 可得 ． 18． 19．解： 证明：，D 是的中点．， ，， 面ABC，，， ，，， 平面 建立坐标系如图，在三棱柱中，，， 0，，，，0， 即，，0，， 设平面的法向量为y,， 即得出 得出0，， ， ， ，， 所以直线和平面所成的角的正弦值为. 20．解：（1）阅读量大于文章总量的80%的概率为 ； （2）阅读量没有达到30%即为10%和20%的频率相等，因此抽取的6 人各有3 人，分别编 号10%的编号为 ，20%的编号为 ，任取2 人的基本事件为： 共15 个， 其中均为10%的有 共3 个，概率为 ； （3）由折线图，阅读量增大时，跳转率也增大，特别是 更需进行优化． 建议： 从文中（阅读量50%）开始需优化，因为越往后跳转率越高，说明质量问题较大， 需提高特别是结尾质量． 21．解：（1）圆 的圆心 ，半径为4，设 的中点为 ，则 ， 依题意， ，所以点 的轨迹是以 为圆心，2 为半径的圆， 即 的轨迹 的方程为 ； （2）因过原点 且不与 轴重合，则可设直线的方程为 ． 由 消去 并整理得 ， 依题意知 ， 是上述关于x 的一元二次方程的两根，则 ， ， 于是有 ，所以 是定值 . 22. 解：是由题意可知， 所以必有在二次函数的对称轴直线的两侧， 故，因此，所以； 不是假设为M 类函数，则存在，使得， 则，或者，， 由，当，时，有，， 所以，可得，不成立； 当，时，有，， 所以，不成立，所以不为M 类函数． 则在单调递减，在单调递增， 又因为是M 类函数，所以存在，且， 由等式可得：，则， 所以， 则，所以得， 从而，则有，即， 所以， 因此， 由，则， 令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在， 使得，此时，因此n 的最小值为7．