河北省唐山市第一中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试卷

数学试题第1页（共6 页） 2021-2022 年度第二学期6 月调研考试 高二年级 数学试卷 命题人：孟 征 审核人：王筱颖 殷玉凤 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合𝐴= {𝑥|−𝑥2 + 2𝑥> 0}, 𝐵= {𝑥|𝑥> 1}，则𝐴∩(∁𝑅𝐵) = ( ) A. (0,1) B. (0,1] C. (−∞, 0) D. (1,2) 2．已知命题𝑃：“∃𝑥∈[ 1 2 , 4], 𝑥2 −𝑎𝑥+ 4 > 0”为真命题，则实数𝑎的取值范围是( ) A. 𝑎< 4 B. 𝑎< 17 2 C. 𝑎< 13 3 D. 𝑎> 5 3．已知𝑎= 𝜋 ln 𝜋，𝑏= 2 ln 2，𝑐= 𝑒，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为( ) A. 𝑎< 𝑐< 𝑏 B. 𝑏< 𝑎< 𝑐 C. 𝑐< 𝑎< 𝑏 D. 𝑐< 𝑏< 𝑎 4．某校开展课后服务活动，星期五下午安排语文素养课，数学思维课，英语拓展课，心 理活动课四种课程． 其中心理活动课不排第一节， 语文素养课和英语拓展课不相邻， 那么 星期五下午不同课表的排法种数有( ) A. 18 B. 14 C. 12 D. 10 5． （1+3x） （1﹣x）5 的展开式中x3 的系数为（ ） A．0 B．10 C．20 D．30 6．若直线𝑦= 𝑥+ 𝑚与曲线𝑦= e𝑥−2𝑛相切，则( ) A. 𝑚+ 𝑛为定值 B. 1 2 𝑚+ 𝑛为定值 C. 𝑚+ 1 2 𝑛为定值 D. 𝑚+ 1 3 𝑛为定值 7． 某地病毒爆发， 全省支援， 需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、 4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生， 则在有主任医师被选 派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( ) A. 3 8 B. 3 10 C. 3 11 D. 3 5 数学试题第2页（共6 页） 8．老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有𝐴，𝐵 两条线路可以选择． 乘坐线路𝐴所需时间(单位： 分钟)服从正态分布𝑁(44,4)， 下车后步 行到家要5分钟；乘坐线路𝐵所需时间(单位：分钟)服从正态分布𝑁(33,16)，下车后步 行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是( ) (参考数据：𝑍～𝑁(𝜇, 𝜎2)，则𝑃(𝜇−𝜎< 𝑍≤𝜇+ 𝜎) ≈0.6827，𝑃(𝜇−2𝜎< 𝑍≤𝜇+ 2𝜎) ≈ 0.9545，𝑃(𝜇−3𝜎< 𝑍≤𝜇+ 3𝜎) ≈0.9973) A. 若乘坐线路𝐵，18: 00前一定能到家 B. 乘坐线路𝐴比乘坐线路𝐵在17: 58前到家的可能性更小 C. 乘坐线路𝐵比乘坐线路𝐴在17: 54前到家的可能性更大 D. 若乘坐线路𝐴，则在17: 48前到家的可能性会超过1% 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．下列结论正确的是( )． A. 若随机变量𝑋服从两点分布，𝑃(𝑋= 1) = 1 2，则𝐷(𝑋) = 1 2 B. 若随机变量𝑌的方差𝐷(𝑌) = 2，则𝐷(3𝑌+ 2) = 8 C. 若随机变量𝜉服从二项分布𝐵(4, 1 2)，则𝑃(𝜉= 3) = 1 4 D. 若随机变量𝜂服从正态分布𝑁(5, 𝜎2)，𝑃(𝜂< 2) = 0.1，则𝑃(2 < 𝜂< 8) = 0.8 10．设函数f（x）＝x2﹣2x+a（a＞0） ，若f（m）＜0，则（ ） A．f（﹣m）＞0 B．f（m﹣1）＜0 C．f（﹣m+4）＞0 D．f（﹣m+2）＜0 11．已知由样本数据（xi，yi） （i＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方 程为𝑦 ̂ = 2𝑥−0.4，且𝑥= 2，去除两个歧义点（﹣2，1）和（2，﹣1）后，得到新的回 归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（ ） A．相关变量x，y 具有正相关关系 B．去除歧义点后的回归直线方程为𝑦 ̂ = 3𝑥−3 C．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小 数学试题第3页（共6 页） D．去除歧义点后，样本（4，8.9）的残差为0.1 12．函数𝑓(𝑥)图像上不同两点𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)处的切线的斜率分别是𝑘𝐴，𝑘𝐵，|𝐴𝐵|为 𝐴，𝐵两点间距离，定义𝜑(𝐴, 𝐵) = |𝑘𝐴−𝑘𝐵| |𝐴𝐵| 为曲线𝑓(𝑥)在点𝐴与点𝐵之间的“曲率”，给出 以下命题，其中正确的是( ) A. 存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数 B. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −𝑥2 + 1图像上两点𝐴与𝐵的横坐标分别为1，2，则“曲率”𝜑(𝐴, 𝐵) > √3 C. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏(𝑎> 0, 𝑏∈𝑅)图像上任意两点𝐴、𝐵之间的“曲率”𝜑(𝐴, 𝐵) ≤2𝑎 D. 设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)是曲线𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥上不同两点，且𝑥1 −𝑥2 = 1，若𝑡⋅ 𝜑(𝐴, 𝐵) < 1恒成立，则实数𝑡的取值范围是(−∞, 1) 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．若正实数a，b 满足3a+b＝2，则 1 𝑎+ 1 𝑏的最小值为 ． 14． 已知（2﹣x）4＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4， 则a0+a1+a2+a3+a4＝ ． 15． 已知随机事件A， B， 且P （A） = 1 3， P （B） = 1 2， P （B|A） = 1 2， 则P （A|B） ＝ ． 16．已知函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)满足：𝑓′(𝑥) −𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥，且𝑓(0) = 1，则𝑓(𝑥)的解析 式为𝑓(𝑥) = ；当𝑥> 0时，𝑥[𝑓(𝑥) −𝑎] ≥1 + 𝑙𝑛𝑥恒成立，则实数𝑎的取值范围 是 ． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （10 分）设全集𝑈= 𝑅，集合𝐴= {𝑥|𝑥(𝑥−5) < 0}，集合𝐵= {𝑥|1 −2𝑎2 ≤𝑥≤1 + 2𝑎}． (1)当𝑎= 1时，求(∁𝑈𝐴) ∩(∁𝑈𝐵)； (2)若𝐵⫋𝐴，，求𝑎的取值范围． 数学试题第4页（共6 页） 18． （12 分）为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统 𝐺有3个电子元件组成， 各个电子元件能正常工作的概率为 2 3， 且每个电子元件能否正 常工作相互独立，若系统𝐺中有超过一半的电子元件正常工作，则𝐺可以正常工作， 否则就需要维修，且维修所需费用为900元． (1)求系统需要维修的概率； (2)该电子产品共由3个系统𝐺组成， 设𝜉为电子产品所需要维修的费用， 求𝜉的分布列 和数学期望． 19． （12 分）某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三 年级每名学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生 后，共有男生300名，女生200名现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生， 按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如表． 分数段 性别 [40,50] [50,60] [60,70] [70,80] [80,90] [90,100] 男/人 3 9 18 15 6 9 女/人 6 4 5 10 13 2 附表及公式：其中𝑛= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑，𝜒2 = 𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2 (𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)． 𝑃(𝜒2 ≥𝜒0) 0.100 0.050 0.010 0.001 𝜒0 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果 判断数学成绩与性别是否有关； (2)规定成绩在80分以上为优秀， 请你根据已知条件补全所列的2 × 2列联表， 并判断 是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”． 数学试题第5页（共6 页） 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 20． （12 分）某电器企业统计了近10 年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x （十万元）的相关数据，散点图如图． 选取函数y＝m•xk（m＞0，k＞0）作为年广告费用x 和年利润额y 的回归类型．令u＝ lnx，v＝lny，则v＝lnm+ku，则对数据作出如下处理：令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得到相关 数据如表所示： ∑ 10 𝑖=1 𝑢𝑖𝑣𝑖 ∑ 10 𝑖=1 𝑢𝑖 ∑ 10 𝑖=1 𝑣𝑖 ∑ 10 𝑖=1 𝑢𝑖 2 30.5 15 15 46.5 （1）求出y 与x 的回归方程； （2） 预计要使年利润额突破2 亿， 下一年应至少投入多少广告费用？ （结果保留到万 元） 参考数据： 20 𝑒≈7.3575，7.35753 ≈398.282． 参考公式：回归方程𝑦 ̂ = 𝑎 ̂ + 𝑏 ̂ 𝑥中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏 ̂ = ∑ 𝑛 𝑖=1 (𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦) ∑ 𝑛 𝑖=1 (𝑥𝑖−𝑥)2 = ∑ 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦 ∑ 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 2−𝑛𝑥2 ，𝑎 ̂ = 𝑦−𝑏 ̂ 𝑥． 数学试题第6页（共6 页） 21． （12 分） 2020 年疫情期间， 某公司为了切实保障员工的健康安全， 贯彻好卫生防疫工 作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验480 人的血样 进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案． 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480 次． 方案②： 按k 个人一组进行随机分组， 把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这 时认为每个人的血化验 1 𝑘次） ；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一 次化验．这样，该组k 个人的血总共需要化验k+1 次． 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互 独立． （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X，求X 的分布列； （2）设p＝0.1．试比较方案②中，k 分别取2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并 指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后 结果四舍五入保留整数） ． 22． （12 分）已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑙𝑛𝑥，其中𝑎≥−3为常数． (1)设𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数，当𝑎= 6时，求函数𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) −𝑓′(𝑥) + 9 𝑥的极值； (2)设点𝐴(𝑥1, 𝑓(𝑥1))、 𝐵(𝑥2, 𝑓(𝑥2))(𝑥1 > 𝑥2 ≥1)， 曲线𝑦= 𝑓(𝑥)在点𝐴、 𝐵处的切线的 斜率分别为𝑘1、𝑘2，直线𝐴𝐵的斜率为𝑘，证明：𝑘1 + 𝑘2 > 2𝑘．