南阳市2022年秋期高中二年级期中质量评估数学试题

（北京）股份有限公司 2022 年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上, 在本试卷上答题无效. 2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体 工整,笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁,不折叠、不破损． 第Ⅰ卷选择题(共60 分) 一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 直线 的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 抛物线 的准线方程为 A. B. C. D. 3. 已知 , 则直线 通过____象限 A. 第一、二、三 B. 第一、二、四 C. 第一、三、四 D. 第二、三、四 4. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 （北京）股份有限公司 A. B. C. 1 D. 5. 如图, 已知 是椭圆 的左焦点, 是椭圆上的一点, 轴,( 为原点), 则 该椭圆的离心率是 A. B. C. D. （北京）股份有限公司 6. 设 , 直线 经过圆 的圆心, 则 的最小值为 A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知圆 , 动点 为圆 上任意一点, 则 的垂直平分线与 的交点 的轨迹方程是 A. B. C. D. 8. 过点 的直线交椭圆: 于 两点, 若 , 则直线的斜率为 A. B. C. D. 9. 数学家欧拉在 1765 年提出定理: 三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上, 且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半. 这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知 的顶点 , 且 , 则 的欧拉线的方程为 A. B. C. D. 10. 已知斜率为 的直线过抛物线 的焦点 , 与拋物线 交于 , 两点, 又直线与圆 交于 两点. 若 , 则 的值为 A. B. C. 1 D. 11. 如图所示, 是双曲线 的左、右 焦点, 过 的直线与 的左、右两 支分别交于 , 两点. 若 , 则双曲线的离心率为 （北京）股份有限公司 A. 2 B. C. D. 12. 已知 , 直线 为上的动点. 过点 作 的切线 , 切点分别为 , , 当 最小时, 直线 的方程为 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 双曲线 的焦点到其渐近线的距离为_____. 14. 如图是抛物线形拱桥, 当水面在时, 拱顶离水面2m, 水面宽4m. 水位下降1m 后, 水面宽____ _m. 15. 点(0,-1)到直线 距离的最大值为_____. 16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. ”诗中隐含着一 个有趣的数学问题—“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回 军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为 ,若将军从点 处出发,河岸线所在直线方程为 ,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则 “将军饮马”的最短总路程为_____. 三,解答题(本大题共6 小题,共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10 分) 已知 是 的三个顶点, 分别是边 的中点. (1) 求直线 的方程; (2) 求 边上的高所在直线的方程. 18. (本小题满分 12 分) 已知曲线 . (1)若曲线 是椭圆, 求 的取值范围; （北京）股份有限公司 (2) 若曲线 是双曲线, 求 的取值范围. 19.（本小题满分 12 分) 已知点 在圆 的外部. (1) 求实数 的取值范围; (2) 若 , 求过点 的圆 的切线的方程. 20. (本小题满分 12 分) 已知点 到点 的距离比点 到直线 的距离小 1 . (1) 求点 的轨迹方程; （北京）股份有限公司 (2) 求线段 中点 的轨迹方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 的焦点为 为 上任意一点, 以 为圆心, 为半径的圆与直线 相切. (1) 求 的值; (2) 若点 , 过点 的直线与 交于 两点, 在 轴上是否存在定点 , 使 恒成立, 若存在, 求出点 的坐标, 若不存在, 请说明理由. 22. (本小题满分 12 分) 已知动点 到两个定点 的距离之和为 4 , 记点 的轨迹为 . (1)求 的方程; (2) 若点 , 过点 的直线与 交于 两点, 求 面积的最大值.