广东省茂名市电白区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题(2)

2022-2023 学年度第二学期期中考试 高二数学 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题卡相应位置上） 1.某同学从 本不同的科普杂志、 本不同的文摘杂志、 本不同的娱乐新闻杂志中任选本阅读，则不同的 选法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2.下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3.已知函数 的图象上一点 及附近一点 ，则 （ ） A. B. C. D. 4.有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式 共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.随机变量 的分布列如下表，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6.在 展开式中，下列说法错误的是（ ） A.常数项为 B.第 项的系数最大 C.第 项的二项式系数最大 D.所有项的系数和为 7.偶函数 为函数 的导函数， 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8.方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国 古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由 个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从 点出发，沿着竹棍到达 点，则蚂蚁选择的不同的最短路径 共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分，请把正确的选项填 涂在答题卡相应位置上） 9.下列各式中，等于 的是（ ） A. B. C. D. 10.已知函数 ，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C.点 是曲线 的对称中心 D.直线 是曲线 的切线 11.已知 ，则（ ） A.展开式中所有项的二项式系数和为 B.展开式中所有奇数项系数和为 C.展开式中所有偶数项系数和为 D. 12.若函数 是自然对数的底数）在函数 的定义城上单调递增，则称函数 具有 性质，下列函数中具有 性质的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，其中16 题第一个空2 分，第二个空3 分，共计20 分，请把正确的结果填写在答题卡相应位置上） 13. .（写出具体数学表示） 14.设随机变量 的方差 ，则 的值为 . 15.曲线 上的点到直线 的最短距离等于 . 16.杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合 数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设 ，若 的展开式中，存 在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称 具有性质 .如 的展开式中，二、 三、四项的二项式系数为 ，依次成等差数列，所以 具有性质 .若存在 ，使 具有 性质 ，则 的最大值为 . 四、解答题解答题（本大题共6 小题，共计70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17.已知直线 为曲线 在点 处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 . （1）求直线 的方程； （2）求由直线 和 轴所围成的三角形的面积. 18.袋子中装有大小形状完全相同的 个小球，其中红球 个，白球 个，现每次从中不放回地取出个球， 直到取到白球为止. （1）求取球次数 的分布列； （2）求取球次数 的均值和方差. 19.从 名男生和 名女生中选出 人去参加一项创新大赛. （1）如果 人中男生女生各选 人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？ （4）如果 人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 20.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应，由长期的经验知，三家的正品率分别为 ，三家产品数 的比为 ，混合在一起，从中任取一件. （1）求取出的这一件产品为正品的概率是多少？ （2）已知取到产品是一件正品，则它来自由甲、乙、丙三个厂中哪间工厂的可能性大？ 21.已知函数 在 处取得极大值为 . （1）求函数 的解析式； （2）若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最小值. 22.已知函数 . （1）当 时，讨论 的单调性； （2）当 时， ，求 的取值范围； （3）设 ，证明： . （北京）股份有限公司 2022-2023 学年度第二学期期中考试 高二数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上） 1.解析：由分类加法计数原理可知，共有 种不同的选法，故选B. 2.解析： ，A 错误； ，B 错误； ，C 错误， ，D 正确.故选D 3.解析：因为 所以 .故选：C 4.解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 种排列方 式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 种插空方式；注 意到丙丁两人的顺序可交换，有 种排列方式，故安排这 名同学共有： 种不同的排列方式， 故选B 5.解析：由随机变量分布列的性质求得 .由 ，得 . 故 .故选：C 6.解析： 展开式的通项为： ； 对于A，令 ，解得： ， 常数项为 ，A 正确； 对于B，由通项公式知：若要系数最大， 所有可能的取值为 ， 则 ， ， ， ， 展开式第 项的系数最大， B 错误； （北京）股份有限公司 对于C，展开式共有 项，则第 项的二项式系数最大，C 正确； 对于D，令 ，则所有项的系数和为 ，D 正确.故选B. 7.解析：由 图象可知， 的图象从左往右，是增 减 增，由此排除AD 选项， 由 图象可知，当 时， 增长越来越快，由此排除C 选项.故选B 8.解：由题意可知，从A 到B 最少需要 步完成，其中有 步是横向的， 步是纵向的， 步是竖向的，则 蚂蚁选择的不同的最短路径共有 种.故选A （北京）股份有限公司 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分， 共计20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上） 9.解析：对选项A， ，故A 错误. 对选项B， ，故B 错误. 对选项C， ，故C 正确. 对选项D， ，故C 正确 故选CD 10.解析：因为 ，所以 . 令 ，解得 或 ；令 ，解得 . 所以 在区间 ， 上单调递增，在区间 内单调递减. 又函数 的值域为 ，且 ， ， 所以 有两个极值点，有且仅有一个零点.故选项A 正确，选项B 错误. 又 ，则 关于点 对称，故选项C 正确. 假设直线 是曲线 的切线，其切点为 ，则 解得 或 显然点 和 均不在曲线 上，故选项D 错误.故选AC 11.解：A 项，二项式系数之和为 ，故A 正确； ， 当 时， （北京）股份有限公司 当 时， B 项， 可得， 故B 正确； （北京）股份有限公司 C 项， 可得， ，故C 错误； D 项， ，令 ，则 ，令 ，则 ， ，故D 正确.故选ABD 12.解析： 对于A， ，则 ， 在 的定义域 上单调递增，符合题意. 对于B， ，则 ， 在 的定义域 上单调递减，不符合题意. 对于C， ，则 . 当 时， ，当 时， . 所以 在 的定义域 上先减后增，不符合题意. 对于D， ，则 ， ， 在 的定义域 上恒成立，符合题意.故选 AD. 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，其中16 题第一个空2 分，第二个空3 分，共计20 分.请把正确 的结果填写在答题卡相应位置上） 13.解析： =84.故填84 （北京）股份有限公司 14.解析： .故填9 15.解：设l 是曲线 的切线，且与直线 平行. 对于曲线 ， . 令 ，解得 ，则易知切线l 与曲线 的切点的坐标为 . （北京）股份有限公司 由点到直线的距离公式，得d= = .故填 . 16.解：若存在 ，使 具有性质P，假设存在 ， ， 使 ， ， 成等差数列，所以 ， 即 化简得： 整理得： ，即 ，所以 为完全平方数， 又 ， 不是完全平方数， 也不是完全平方数， 是完全平方数.所以n 的最大值为 故答案为 四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 17.解：（1）因为 ， 所以直线 1的斜率 ， 所以直线 的方程为 . 设直线 过曲线 上的点 ， 则 的方程为 . 因为 ，所以 ，解得 . 所以直线 的方程为 . （北京）股份有限公司 （2）联立直线 的方程，得 ，解得 . 所以直线 和 的交点坐标为 . （北京）股份有限公司 由（1）得 与 轴交点的坐标分别为 ， 所以所求三角形的面积 . 18.解：（1）由题意知， 的可能取值有 ， ， ， ， 故 的分布列为 （2）由（1）知，取球次数 的均值为 ， 的方差 . 19.解：（1）如果 人中男生女生各选 人，有 种选法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的 人中任选 人，有 种选法； （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，包含两种情况， 第一种甲和乙都在内的选法有 种， 第二种情况，甲乙选人，有 种选法， 则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，共有 种选法； （4）如果 人中必须既有男生又有女生，先从所有 人中选 人，去掉只有男生和只有女生的情况， （北京）股份有限公司 故有 种选法. 20.解：设事件 表示取到的产品为正品， 分别表示产品由甲、乙、丙厂生产. （1）由已知，得 ， ， （北京）股份有限公司 故 ， 所以取出一件产品是正品的概率为 ， （2）当取出的一件产品已知为正品时，它可能来自于甲、乙、丙三间工厂中的任意一间，来自各工厂的概率 依次为 ， ， ，且 故它是由丙厂生产的可能性大. 21.解析：（1） ， . 由题意得 ，即 ， 解之得 经检验成立，所以 . （2）令 ，即 .得 . 在区间 内，当 变化时 及 随的变化而变化如下表所示 增 极大值 减 极小值 增 2 因为 ， ，所以当 时， . 对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ， （北京）股份有限公司 所以 .所以 的最小值为 . 22.解：（1）当 时， ，则 （北京）股份有限公司 当 时， ，当 时， ， 故 的减区间为 ，增区间为 （2）当 时，要证 ，等价于证 ， 设 ，则 ，又 ， 设 ， ， 若 ，则 ， 因为 为连续不间断函数， 故存在 ，使得 ，总有 ， 故 在 为增函数， 故 ，故 在 为增函数， 故 ，与题设矛盾. 若 ，则 ， 下证：对任意 ，总有 成立， 证明：设 ，故 ， 故 在 上为减函数，故 即 成立 由上述不等式有 ， 故 总成立，即 在 上为减函数，所以 当 时，有 ， 所以 在 上为减函数，所以 . （北京）股份有限公司 综上， . （3）取 ，则 ，总有 成立，令 ， 则 ， （北京）股份有限公司 故 即 对任意的 恒成立. 所以对任意的 ，有 ， 整理得到： ， 故 ，故不等式成立.