湖北省十堰市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题(1)

（北京）股份有限公司 十堰市2022~2023 学年度上学期期末调研考试题 高二数学 本试卷共4 页，22 题，均为必考题．全卷满分150 分．考试用时120 分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴 在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．非选择题用0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题 卷、草稿纸上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知数列 ，则该数列的第100 项为（ ） A．99 B． C． D．111 2．已知直线 与直线 ，若 ，则 （ ） A． B．2 C．2 或 D．5 3．如图，在四面体 中，E 是 的中点， ，设 ，则 （ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 4．在x，y 轴上的截距分别为 ，3 的直线l 被圆 截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 5．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别 （北京）股份有限公司 ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．过直线 上一点P 向圆 作切线，切点为Q，则 的最 小值为（ ） A． B． C． D． 7．在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射 后必经过另焦点我有一椭圆 ，从一个焦点 发出的一条光线经椭圆C 内壁上一点 P 反射后经过另一个焦点 ，若 ，且 ，则椭圆C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格，若反面朝上，则往前 跳一格．记跳到第n 格可能有 种情况， 的前n 项和为 ，则 （ ） A．56 B．68 C．87 D．95 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．已知双曲线 ，则（ ） A．C 的一个顶点坐标为 B．C 的实轴长为8 C．C 的焦距为 D．C 的离心率为 10．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A 为“第一次骰子出现的点数 为3”，事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C 为“两次点数之和为8”，事件D 为“两次点数之和 为7”，则（ ） （北京）股份有限公司 A．A 与B 相互独立 B．A 与D 相互独立 C．B 与C 为互斥事件 D．C 与D 为互斥事件 11．如图，平行六面体 的体积为 ， ， ， （北京）股份有限公司 ，且 ，M，N，P 分别为 的中点，则（ ） A． 与 夹角的余弦值为 B． 平面 C． D．P 到平面 的距离为 12．若直线l 与抛物线 有且仅有一个公共点 ，且l 与C 的对称轴不平行，则称直线l 与抛物线C 相切，公共点P 称为切点，且抛物线C 在点P 处的切线方程为 ．已知抛物线 上有两点 ．过点A，B 分别作抛物线C 的两条切线 ，直线 交于点 ，过抛物线C 上异于A，B 的一点 的切线 分别与 交于点M，N，则（ ） A．直线 的方程为 B．点A，Q，B 的横坐标成等差数列 C． D． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无 平局），乙每局比赛获胜的概率都为 ，则最后甲获胜的概率是______________． 14．已知两圆 与 外离，则整数m 的 一个取值可以是_____________． 15，“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就．如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 为 图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列 的第n 项，则 ___________． （北京）股份有限公司 16．如图所示，在几何体 中， ， 平面 ，则点E 到直线 的距离为_________、直线 与平面 所成角的 正弦值为_______________．（本题第一空2 分，第二空3 分） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）已知数列 的前n 项和为 ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n 项和 ． 18．（12 分）某两个班的100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 ． （北京）股份有限公司 （1）求语文成绩在 内的学生人数． （2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112 分的概率． （3）若语文成绩在 内的学生中有2 名女生，其余为男生．现从语文成绩在 （北京）股份有限公司 内的学生中随机抽取2 人背诵课文，求抽到的是1 名男生和1 名女生的概率． 19．（12 分）已知圆C 经过点 ，且圆心在直线 上． （1）求圆C 的方程； （2）若平面上有两个点 ，点M 是圆C 上的点且满足 ，求M 的坐标． 20．（12 分）如图，在四棱锥 中， 是边长为2 的菱形，且 ， ， ，E，F 分别是 的中点． （1）证明：平面 平面 ． （2）求二面角 的大小． 21．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆与x 轴正半轴的交点为 A，与y 轴正半轴的交点为B，M 在C 上， 垂直于x 轴，O 为坐标原点，且 ， ． （1）求椭圆C 的标准方程． （2）过 的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点，当直线l 的斜率存在时，试判断x 轴上是否存在一点T，使得 ．若存在，求出T 点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12 分）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ． （北京）股份有限公司 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）设D 为双曲线C 的右顶点，直线l 与双曲线C 交于不同于D 的E，F 两点，若以 为直径的圆经过点 D，且 于点G，证明：存在定点H，使 为定值． 十堰市20222023 学年度上学期期末调研考试题 （北京）股份有限公司 高二数学参考答案 1．B 该数列的通项公式为 ，所以 ． 2．A 若 ，则 ，所以 或 ． 当 时， 重合；当 时，符合题意． 3．B 因为E 是 的中点， ，所以 ． 4．C 由题意可知直线l 的方程为 ，即 ．因为圆C 的圆心为 ，半径为4，所以 圆心到直线l 的距离 ，故直线l 被圆C 截得的弦长为 ． 5．D 由题意可知 ，解得 ． 6．A 因为圆C 的半径为 ，所以 ．当 时， 最小，因为圆C 的圆心为 ， 所以 ，所以 的最小值为 ． 7．D 因为 ，所以 ． 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ，所以 ． 8．C 根据题意，跳到第 格有两种可能，一种是从第 个格跳过来，有 种方式，另一种是从第n 个格跳过来，有 种方式．所以 ．因为 ，所以 ， ， ， ， ， ，所以 ． （北京）股份有限公司 9．BD 因为 ，所以 ．因为焦点在y 轴上，所以C 的顶点 坐标为 ，实轴长为8，离心率为 ，焦距为 ． （北京）股份有限公司 10．ABD 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同 结果如下： ．共36 个． 依题意， ，事件C 包括 ，共5 个， ， 事件D 包括 ，共6 个， ． 对于A，事件 只有结果 ，A 与B 相互独立，A 正确； 对于B，事件 只有结果 ，A 与D 相互独立，B 正确； 对于C，事件 含有结果 ，不是互斥事件，C 不正确； 对于D，事件 是不可能事件，即C 与D 是互斥事件，D 正确． 11．AD 因为 ，且 ，所以四边形 的面积为 ． 因为平行六面体 的体积为 ，所以平行六面体 的高为 ．因为 ，所以 在底面的投影在 上．设 在底面的投影为O，则 ，因为 ，所以 ． 因为 ，所以O 为 的中点．以O 为坐标原点， 的方向分别为x，y，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ． ， （北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， ， ． 因为 ，所以 与 夹角的余弦值为 ，故A 正确． （北京）股份有限公司 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，则 ．因为 ，所以 与平面 不平行，故B 错误． 因为 ，所以 与 不垂直，故C 错误． 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 ． 因为 ，所以P 到平面 的距离为 ，故 D 正确． 12．ACD 由题意知，抛物线C 在点A，B 处的切线方程分别为 ． 因为直线 交于点 ，所以 ， 所以 在直线 上，即直线 的方程为 ，故A 正确． 联立方程组 得 ． 因为 ，所以 ，所以 ，故B 错误． 因为抛物线C 在点 处的切线方程为 ， （北京）股份有限公司 联立方程组 可得 ，同理得 ． （北京）股份有限公司 因为 ，所以 ， ，所以 ， 所以 ，即 ，故C 正确． 因为 具有等价性，所以同理可得 ，即 ，故D 正确． 13． 因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为 ，所以最后甲获胜 的概率 ． 14． （或 或 ）（只需从 中写一个答案即可）因为圆 的圆心为 ，圆 的 圆心为 ，所以两圆圆心的距离为 ．因为圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，所以 所以 ，故整数m 的取值可能 是 ． 15．5050 因为数列 的递推公式为 ， 所以 ， 所以 ， 故 ． 16． ； 以A 为原点， 的方向分别为x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， （北京）股份有限公司 则 ． ． 因为 ，所以 ，所以点E 到直线 的距离为 （北京）股份有限公司 ． 记平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 ． 因为 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 17．解：（1）当 时， ． 当 时， ， 所以 ， 因为 也满足，所以通项公式为 ． （2）因为 ， 所以 ． 18．解：（1）由频率分布直方图，知 ，解得 ， 语文成绩在 内的学生人数为 ． （北京）股份有限公司 （2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112 分的概率 ． （3）由频率分布直方图，知语文成绩在 内的学生有 （北京）股份有限公司 人，其中女生2 名，男生3 名，分别记2 名女生为A，B，3 名男生为a，b，c， 样本空间为 ，其中抽到1 名男生和1 名女生的情况有 ， 所以抽到的是1 名男生和1 名女生的概率为 ． 19．解：（1）因为圆心在直线 上，所以可设圆心 ． 因为圆C 经过点 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以圆心C 为 ， 因为半径 ，所以圆C 的方程为 ． （2）设 ，则 ， 由 ，可得 ， 化简得 ． 联立方程组 解得 即点M 的坐标为 或 ． 20．（1）证明：取 的中点G，连接 ． 因为 ，所以 ． 在 中， ，所以 为等边三角形，所以 ． 因为 ，所以 平面 ． 因为E，F 分别是 的中点，所以 ， （北京）股份有限公司 所以平面 平面 ，所以 平面 ． 因为 平面 ，所以平面 平面 ． （2）解：由（1）知 平面 ．因为 ，所以可求得四棱锥 的高为 ． 以G 为坐标原点， 的方向分别为x，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ． （北京）股份有限公司 ． 记平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 ． 记平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 ． 因为 ，且二面角 为纯角， 所以二面角 为 ． 21．解：（1）由题意可知点M 的坐标为 ， 因为 ，所以 ，即 ，得 ． 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 故椭圆C 的标准方程为 ． （2）假设x 轴上存在点 ，使得 ，则 ． 设直线l 的方程为 ， （北京）股份有限公司 联立方程组 消去x 整理得 ， 则 ， ， 即 ． 由 ，解得 ， 故存在 ，使得 ． 22．（1）解：由题意知 ． 因为双曲线C 的渐进线方程为 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 放双曲线C 的标准方程为 ． （2）证明：设 ． ①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 ， 联立方程组 化简得 ， 则 ，即 ， 且 （北京）股份有限公司 因为 ， （北京）股份有限公司 所以 ， 化简得 ， 所以 或 ，且均满足 ． 当 时，直线l 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾； 当 时，直线l 的方程为 ，过定点 ． ②当直线l 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线 ， 联立方程组 得 （舍去）或 ，此时直线l 也过定点 ． 因为 ，所以点G 在以 为直径的圆上，H 为该圆圆心， 为该圆半径． 故存在定点 ，使 为定值6．