广西钦州市2022-2023学年高一上学期期末教学质量监测数学试题(1)

（北京）股份有限公司 钦州市2022 年秋季学期教学质量监测 高一 数学 （考试时间：120 分钟；赋分：150 分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个备选项中，有 且只有一项是符合题目要求的．（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．） 1. 一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同， 则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 2 3 D. 3 4 2. 已知集合A={x∨0<log4 x<2}，B={x∨e x−3≤1}，则A ∩(∁R B)=¿( ) A. (3,16) B. (3,8) C. (1,3¿ D. (1,+∞) 3. 当一个非空数集G满足：如果a，b∈G，则a+b，a−b，ab∈G，且b≠0时，a b ∈G时， 我们称G就是一个数域.以下关于数域的说法： 0 ①是任何数域的元素;②若数域G有非零元素， 则2019∈G;③集合P={x∨x=2k ,k ∈Z }是一个数域．④有理数集是一个数域.其中正确的 选项是( ) A. ①②④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 4. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R，用[x] 表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−0.5]=−1，[1.5]=1.已知函数 f ( x)=1 2 x 2−3 x+4(1≤x ≤4)，则函数y=[f ( x)]的值域为( ) A. ¿ B. {−1,0,1} C. {−1,0,1,2} D. {0,1,2} 5. 定义集合运算：A ⋅B={z∨z=x 2( y −1), x ∈A , y ∈B.设A={−1,1}，B={0,2}，则集合 A ⋅B中所有元素之和为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （北京）股份有限公司 6. 若在直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f ( x)的图象上;②P，Q 两点关于原点对称，则称点对[P ,Q]是函数y=f ( x)的一对“友好点对”(点对[P ,Q]与[Q , P] 看作同一对“友好点对”).已知函数f ( x)={ 2 x , x⩽0, x 2−2 x , x>0, 则此函数的“友好点对”有( ) A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对7. 德国著名数学家狄 利克雷在数学领域成就显著，函数f ( x)={ 1, x∈Q , 0, x∈∁RQ被称为狄利克雷函数，其中R为实数集， Q为有理数集.以下关于狄利克雷函数f ( x)的五个结论中正确的个数是( ) ①对于任意的x∈R，都有f (f ( x))=1;②函数f ( x)是偶函数; ③函数f ( x)的值域是{0,1}; ④若T ≠0且T为有理数，则f ( x+T )=f ( x)对任意的x∈R恒成立; ⑤在f ( x)图象上存在三个不同的点A，B，C，使得△ABC为等边三角形． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 设函数f ( x)={ log3 x , x>0, x 2+2 x−2, x⩽0, 若f (a)=1，则a=¿( ) A. 3 B. ±3 C. −3或1 D. ±3或1 9. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的 方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( ) A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 10. 已知a=ln 2，b=2 0.8，c=ln 2 3，则( ) A. a<c<b B. c<a<b C. c<b<a D. a<b<c 11. 函数f ( x)= ❑ √2 x+1 2 x 2−x−1的定义域是( ) A. {x∨x≠1 2 } B. {x∨x>−1 2 } C. {x∨x≠−1 2且x≠1} D. {x∨x>−1 2且x≠1} 12. 设集合P={3,log3a}，Q={a,b}，若P∩Q={0}，则P∪Q等于( ) A. {3,0} B. {3,0,2} C. {3,0,1} D. {3,0,1,2} （北京）股份有限公司 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品 中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率 为0.35，则抽到二等品的概率为___________． 14. 某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关．现有一 位参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为1 2，1 3，则该参加者有资格闯第三关的概率 为________． 15. 若点P(4,2)在函数f ( x)=loga x的图象上，点Q(m, 1 4 )在f ( x)的反函数图象上，则 m=¿__________． 16. 光线通过一块玻璃，强度损失10%，那么至少遇过___________块这样的玻璃，光线强 度能减弱到原来1 5以下．(lg3≈0.477,lg2≈0.3) 三、解答题：本大题共6 题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 如图，已知ΔABC，AB=AC=5，BC=8，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC的垂 线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设BP=x，Ω的面积为S( x)，Ω的周长为L (x )． (1)求S( x)和L( x)的解析式； (2)记F( x)= S( x) L( x)，求F( x)的最大值． 18. (本小题12分) （北京）股份有限公司 已知定义在R上的函数f ( x)=−2 x+a 2 x+1+2 是奇函数． (1)求实数a的值； (2)解方程f ( x)=−7 18； (3)若对任意的x∈R，不等式f (4 x−2 x+1+3)+f (2 2 x+1−k 2 x)<0恒成立，求实数k的取值范围． 19. (本小题12分) 已知函数f ( x)=loga(2 x−3)+1(a>0,a≠1)． (1)当a=2时，求不等式f ( x)<3的解集； (2)当a=10时，设g( x)=f ( x)−1，且g(3)=m，g(4)=n，求log645(用m，n表示)； (3)在(2)的条件下，是否存在正整数k，使得不等式2 g( x+1)>lg(k x 2)在区间[3,5]上有解，若 存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由． 20. (本小题12分) 某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需 另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为 R( x)=5 x−1 2 x 2(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为年产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)？ 21. (本小题12分) 已知函数f ( x)的图象在定义域(0,+∞)上连续不断.若存在常数T >0，使得对于任意的x>0， f (Tx)=f ( x)+T恒成立，称函数f ( x)满足性质P(T )． (1)若f ( x)满足性质P(2)，且f (1)=0，求f (4)+f ( 1 4 )的值； (2)若f ( x)=log1.2 x，试说明至少存在两个不等的正数T 1,T 2，同时使得函数f ( x)满足性质 P(T 1)和P(T 2).(参考数据：1.2 4=2.0736) （北京）股份有限公司 (3)若函数f ( x)满足性质P(T )，求证：函数f ( x)存在零点． 22. (本小题12分) 某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊 跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图 如图所示． (1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值(同一组中的数据用该区间的中点值作代表， 结果保留一位小数)； (2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数； (3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某 选手专业得分的平均数和方差分别为x1=8.4，S1 2=0.015，媒体得分的平均数和方差分别为 x2=8.8，S2 2=0.054，大众得分的平均数和方差分别为x3=9.4，S3 2=0.064，将这30名评审的 平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差(结果保留三位小数)． 附：方差S 2=1 n∑ i=1 n ( xi−x) 2=1 n∑ i=1 n xi 2−x 2． （北京）股份有限公司 参考答案 1.A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B 9.C 10.B 11.D 12.C 13.0.21 14.2 3 15.−2 16.16 17.解：(1)作△ABC的高AD，AB=AC=5，BC=8，AD=3， sinB=3 5，cosB= 4 5 ，tanB= 3 4 ，设垂线段l长为ℎ， 当0<x ≤4，tanB= 3 4 =ℎ x ，ℎ= 3 4 x， S( x)=1 2 x⋅3 4 x=3 8 x 2， L( x)=x+ 3 4 x+❑ √x 2+( 3 4 x) 2=3 x， 当4<x ≤8，tanC=tanB= 3 4 = ℎ 8−x ，ℎ= 3 4 (8−x)， S( x)=12−3 8 (8−x) 2， L( x)=x+5+5−5 4 (8−x)+ 3 4 (8−x)=6+ 3 2 x， （北京）股份有限公司 综上可得，S (x )={ 3 8 x 2,0<x⩽4 12−3 8 (8−x ) 2,4<x⩽8 , L (x )={ 3 x ,0<x⩽4 6+ 3 2 x ,4<x⩽8； (2)当0<x ≤4时，F( x)= S( x) L( x)=1 8 x ≤1 2，最大值为1 2； 当4<x⩽8时，F( x)= S( x) L( x)= 12−3 8 (8−x ) 2 6+ 3 2 x −3 8 x 2+6 x−12 6+ 3 2 x =−3 x 2+48 x−96 48+12 x ¿ −x 2+16 x−32 4 (x+4 ) ， 令t=x+4，8<t ≤12，则x=t −4， 则y=−1 4 ⋅t 2−24t+112 t =−1 4 (t+ 112 t )+6， ∴y=−1 4 (t+ 112 t )+6在(8,4 ❑ √7¿上单调递增，在[4 ❑ √7 ,12]上单调递减， ∴当t=4 ❑ √7时，ymax=6−2❑ √7， ∵6−2❑ √7> 1 2， （北京）股份有限公司 ∴F( x)max=6−2❑ √7． 综上可知F( x)最大值为6−2❑ √7． 18.解：(1)f (0)=0 ⇒a=1，经检验a=1时，对任意x∈R，都有f (−x)=−f ( x)，故a=1． (2)由f ( x)=−7 18得−2 x+1 2 x+1+2 =−7 18，令t=2 x，t ∈(0,+∞)得， −t+1 2t+2 =−7 18 ,∴t=8,∴2 x=8,∴x=3． (3) f ( x)=−2 x+1 2 x+1+2 = 1−2 x 2(2 x+1) =1 2 ⋅2−(2 x+1) 2 x+1 =1 2 ( 2 2 x+1 −1)． 因为y=2 x+1单调递增，所以y= 2 2 x+1 −1单调递减，即f ( x)单调递减. f (4 x−2 x+1+3)+f (2 2 x+1−k 2 x)<0得f (4 x−2 x+1+3)<−f (2 2 x+1−k 2 x)． 因为f ( x)是奇函数，所以f (4 x−2 x+1+3)<−f (2 2 x+1−k 2 x)=f (k 2 x−2 2 x+1)． 所以4 x−2 x+1+3>k 2 x−2 2 x+1在x∈R上恒成立. 令t=2 x，t ∈(0,+∞)得，t 2−2t+3>kt −2t 2，∴k< 3t 2−2t+3 t ． 令ℎ(t )=3t 2−2t+3 t =3t+ 3 t −2，ℎ(t )在(0,1]单调递减，在¿单调递增． 所以ℎ(t )min=ℎ(1)=4∴k<4． 19.解：(1)当a=2时，f ( x)=lo g2(2 x−3)+1<3， 故0<2 x−3<4，解得3 2 <x< 7 2， ∴不等式f ( x)<3的解集为( 3 2 , 7 2 )． (2)当a=10时，g( x)=f ( x)−1=lg(2 x−3)， （北京）股份有限公司 ∴m=g(3)=lg3,n=g(4)=lg5， ∴lo g645=lg 45 lg6 =lg ⁡9+lg ⁡5 lg ⁡3+lg ⁡2= 2m+n m−n+1． (3)在(2)的条件下，不等式2 g( x+1)>lg(k x 2)化为lg ⁡(2 x−1) 2>lg ⁡(k x 2) 即k<(2 x−1) 2 x 2 在区间[3,5]上有解； 令ℎ( x)=(2 x−1) 2 x 2 , x∈[3,5]， 则k<ℎ( x)max， ∵ℎ( x)=(2 x−1) 2 x 2 =( 1 x −2) 2 ，1 x ∈[ 1 5 , 1 3 ]， ∴k<ℎ( x)max=ℎ(5)=81 25， 又k是正整数， 故k的最大值为3． 20.解：(1)设年产量为x(单位：百台)时，利润为y(单位：万元)， 则y={ R( x)−0.5−0.25 x(0≤x ≤5) R(5)−0.5−0.25 x( x>5) ， 即y={ −1 2 x 2+ 19 4 x−1 2 (0≤x ≤5) 12−1 4 x( x>5) ． (2)当0≤x ≤5时，y=−1 2 x 2+ 19 4 x−1 2=−1 2 ( x−19 4 ) 2+ 345 32 ， （北京）股份有限公司 当x=19 4 =4.75时，ymax=345 32 ; 当x>5时，y< 43 4 ． 所以当x=4.75，即年产量为475台时，企业所得利润最大． (3)要使企业不亏本，则y ≥0， 即{ 0⩽x⩽5 −1 2 x 2+ 19 4 x−1 2 ⩾0或{ 12−1 4 x⩾0 x>5 , 解得19−❑ √345 4 ⩽x⩽5或5<x⩽48， 即19−❑ √345 4 ⩽x⩽48． 又19−❑ √345 4 ≈0.11， 即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本． 21.解：(Ⅰ)因为f ( x)满足性质P(2)， 所以对于任意的x>0，f (2 x)=f ( x)+2恒成立． 又因为f (1)=0， 所以，f (2)=f (1)+2=2， f (4)=f (2)+2=4， 由f (1)=f ( 1 2 )+2可得f ( 1 2 )=f (1)−2=−2， 由f ( 1 2 )=f ( 1 4 )+2可得f ( 1 4 )=f ( 1 2 )−2=−4， 所以，f (4)+f ( 1 4 )=0. (Ⅱ)若正数T满足log1.2(Tx)=log1.2 x+T，等价于log1.2T=T (或者1.2 T=T )， 记g( x)=x−log1.2 x，(或者设g( x)=1.2 x−x , x ∈(0,+∞)) ， 显然g(1)>0，g(2)=2−log1.22=log1.21.44−log1.22<0， 因为1.2 4>2，所以1.2 16>16，16>log1.216，即g(16)>0. 因为g( x)的图像连续不断， （北京）股份有限公司 所以存在T ∈(1,2)1,T 2∈(2,16)，使得g(T 1)=g(T 2)=0， 因此，至少存在两个不等的正数T 1,T 2，使得函数f ( x)同时满足性质P(T 1)和P(T 2)． (Ⅲ)①若f (1)=0，则1即为f ( x)的零点； ②若f (1)=M <0，则f (T )=f (1)+T，f (T 2)=f (T )+T=f (1)+2T，⋯， 可得f (T k)=f (T k −1)+T=f (1)+kT , k 其中∈N +¿¿． 取k=[ −M T ]+1>−M T 即可使得f (T k)=M +kT >0． 所以，f ( x)存在零点． ③若f (1)=M >0，则由f (1)=f ( 1 T )+T，可得f ( 1 T )=f (1)−T， 由f ( 1 T )=f ( 1 T 2 )+T，可得f ( 1 T 2 )=f ( 1 T )−T=f (1)−2T，⋯， 由f ( 1 T k −1 )=f ( 1 T k )+T，可得f ( 1 T k )=f ( 1 T k −1 )−T=f (1)−kT , k 其中∈N +¿¿． 取k=[ M T ]+1> M T 即可使得f ( 1 T k )=M −kT <0.所以，f ( x)存在零点． 综上，f ( x)存在零点. 22.解：(1)由频率分布直方图知，(0.01+0.015+0.020+2 x+0.030+0.035+0.040)×5=1， 解得x=0.025， 因此复赛选手年龄的平均值 x=(22.5×0.010+27.5×0.025+32.5×0.035+37.5×0.040+42.5×0.030+47.5×0.025+52.5×0.020+57.5× ≈39.6(岁)． (2)因为(0.010+0.025+0.035+0.040+0.030)×5=0.7<0.75， 所以第75百分位数落在¿区间内，设为t， 则(0.010+0.025+0.035+0.040+0.030)×5+(t −45)×0.025=0.75， 解得t=47，即第75百分位数为47分． (3)由S 2=1 n∑ i=1 n ( xi−x) 2 ， 设该名选手最终的平均分为y，最终方差为s 2， （北京）股份有限公司 则y= 1 8+10+12 (8.4×8+8.8×10+9.4×12)≈8.933(分)， s 2= 1 30 {8[S1 2+( x1−y) 2]+10[S2 2+( x2−y) 2]+12[S3 2+( x